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1、线性定常系统的反馈结构及状态观测器第1页，本讲稿共56页6.1 常用反馈结构及其对系统特性的影响常用反馈结构及其对系统特性的影响 一一.两种常用反馈结构两种常用反馈结构式中：式中：v是是p维参考输入向量；维参考输入向量；K是是pn维实反馈增维实反馈增 益矩阵。益矩阵。在在系系统统的的综综合合设设计计中中常常用用的的反反馈馈形形式式是是状状态态反反馈馈和和输输出反馈出反馈。1.1.状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈设有设有n维线性定常系统维线性定常系统引入状态的线性反馈：引入状态的线性反馈：线性状态反馈，简称状态反馈第2页，本讲稿共56页状态反馈系统的结构图状态反馈系统的结构图uxy+BCA状态反
2、馈状态反馈(闭环闭环)系统的状态空间描述为：系统的状态空间描述为：特征多项式：特征多项式：传递函数矩阵：传递函数矩阵：K+-v第3页，本讲稿共56页2.2.输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈有两种形式输出反馈有两种形式:a)将输出量反馈至参考输入将输出量反馈至参考输入（常用形式）（常用形式）b)将输出量反馈至状态微分（少见形式）将输出量反馈至状态微分（少见形式）1)1)将输出量反馈至参考输入将输出量反馈至参考输入将输出量反馈至参考输入将输出量反馈至参考输入当将系统的控制量当将系统的控制量u取为取为输出输出y的线性函数的线性函数时时，称称之之为为线线性性输输出出反反馈馈，常常简简称称为为输
3、输出出反反馈馈。式式中中：v是是p维参考输入向量；维参考输入向量；F是是pq维实反馈增益矩阵。维实反馈增益矩阵。第4页，本讲稿共56页输出反馈系统的结构图输出反馈系统的结构图v+-Fuxy+BCA输出反馈输出反馈(闭环闭环)系统的状态空间描述为：系统的状态空间描述为：特征多项式：特征多项式：传递函数矩阵：传递函数矩阵：第5页，本讲稿共56页传递函数矩阵：传递函数矩阵：uxy+-BHCA2)2)将输出量反馈至状态微分将输出量反馈至状态微分将输出量反馈至状态微分将输出量反馈至状态微分将输出量反馈至状态微分的系统结构图：将输出量反馈至状态微分的系统结构图：输出反馈输出反馈(少见少见)系统的状态空间描
4、述为：系统的状态空间描述为：特征多项式：特征多项式：第6页，本讲稿共56页3.状态反馈结构与输出反馈结构比较状态反馈结构与输出反馈结构比较状态反馈结构与输出反馈结构比较状态反馈结构与输出反馈结构比较相同点：相同点：相同点：相同点：1)无无论论是是状状态态反反馈馈结结构构还还是是输输出出反反馈馈结结构构都都使使闭闭环环系系统的系统矩阵不同于原系统矩阵统的系统矩阵不同于原系统矩阵 A。2)状态反馈是一种完全的系统信息反馈，输出反馈状态反馈是一种完全的系统信息反馈，输出反馈则是系统结构信息的一种不完全反馈。则是系统结构信息的一种不完全反馈。3)设设计计者者可可以以通通过过选选取取适适当当的的反反馈馈
5、矩矩阵阵K或或F来来改改变变系统的特性，达到设计要求。系统的特性，达到设计要求。不同点：不同点：不同点：不同点：输输出出反反馈馈能能完完成成的的设设计计任任务务,状状态态反反馈馈必必然然能能够够完完成成；状状态反馈能完成的设计任务态反馈能完成的设计任务,输出反馈不一定能完成。输出反馈不一定能完成。第7页，本讲稿共56页1.对系统可控性和可观测性的影响对系统可控性和可观测性的影响二.反馈结构对系统性能的影响定定理理：状状态态反反馈馈不不改改变变系系统统的的可可控控性性，但但可可能能改改变变系系统的可观测性。统的可观测性。证明：证明：证可控性不变。证可控性不变。显然对于任意的显然对于任意的K阵以及
6、所有的阵以及所有的s，有，有根据系统可控性的根据系统可控性的PBH秩判据可知，其可控性在状秩判据可知，其可控性在状态反馈前后保持不变。态反馈前后保持不变。第8页，本讲稿共56页再来证状态反馈系统，不一定能保持可观测性。由于状态反馈改变系统的极点(特征值)，若发生零点与极点抵消情况，则改变系统的可观性。例：已知可控可观测系统例：已知可控可观测系统原系统的传递函数：原系统的传递函数：若采用的状态反馈是：若采用的状态反馈是：第9页，本讲稿共56页则闭环系统的系统矩阵为：则闭环系统的系统矩阵为：闭环系统可观测性判别矩阵为：闭环系统可观测性判别矩阵为：则闭环系统为：则闭环系统为：所以闭环系统是不完全可观
7、测，其传递函数为所以闭环系统是不完全可观测，其传递函数为第10页，本讲稿共56页定理：输出反馈不改变系统的可控性和可观测性。证明：证明：证可控性不变。证可控性不变。可见对于任意的可见对于任意的F阵以及所有的阵以及所有的s，有，有根根据据系系统统可可控控性性的的PBH秩秩判判据据可可知知，其其可可控控性性在在输输出出反反馈前后保持不变。馈前后保持不变。第11页，本讲稿共56页证可观性不变：证可观性不变：可见对于任意的F阵以及所有的s，有根据系统可观测性的PBH秩判据可知，其可观测性在输出反馈前后保持不变。第12页，本讲稿共56页2.反馈结构对系统稳定性的影响反馈结构对系统稳定性的影响可可镇镇定定
8、性性：如如果果采采用用反反馈馈措措施施能能够够使使闭闭环环系系统统稳稳定定，称该系统是反馈可镇定的。称该系统是反馈可镇定的。状状态态反反馈馈和和输输出出反反馈馈都都改改变变系系统统的的特特征征值值，故故都都影影响系统的稳定性。响系统的稳定性。镇镇定定：加加入入反反馈馈，使使得得通通过过反反馈馈构构成成的的闭闭环环系系统统成成为为稳定系统，称之为镇定。稳定系统，称之为镇定。由于状态反馈具有许多优越性，而且输出反馈总由于状态反馈具有许多优越性，而且输出反馈总可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨可以找到与之性能等同的状态反馈系统，故在此只讨论状态反馈的可镇定性问题。论状态反馈的可镇定性问题
9、。第13页，本讲稿共56页对于线性定常受控系统对于线性定常受控系统如果可以找到状态反馈控制律如果可以找到状态反馈控制律使得通过反馈构成的闭环系统使得通过反馈构成的闭环系统是是渐渐近近稳稳定定的的，即即（A-BK）的的特特征征值值均均具具有有负负实实部部，则称系统则称系统实现了状态反馈镇定实现了状态反馈镇定。定定理理：当当且且仅仅当当线线性性定定常常系系统统的的不不可可控控部部分分渐渐近近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。稳定时，系统是状态反馈可镇定的。第14页，本讲稿共56页证明：证明：由于系统由于系统A,B不完全可控，其结构分解为不完全可控，其结构分解为对于任意的状态反馈矩阵对于任意的状态反馈
10、矩阵 ，可导出，可导出即即状状态态反反馈馈不不能能改改变变不不可可控控极极点点，因因此此使使闭闭环环系系统统稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。其中：其中：第15页，本讲稿共56页6.2 系统的极点配置系统的极点配置()p 利利用用状状态态反反馈馈和和输输出出反反馈馈使使闭闭环环系系统统的的极极点点位位于于所所希希望望的的极极点点位位置置，称称为为极极极极点点点点配配配配置置置置。状状态态反反馈馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。和输出反馈都能配置闭环系统的极点。p 状状态态反反馈馈K不不能能改改变变不不可可控控部部分分的的极极点点，但但能能够够任意
11、配置可控部分的极点。任意配置可控部分的极点。p 输输出出反反馈馈F也也只只能能配配置置可可控控部部分分的的极极点点，但但不不一一定定能能实实现现期期望望极极点点的的任任意意配配置置；肯肯定定不不能能将将极极点点配置到系统的零点处。配置到系统的零点处。第16页，本讲稿共56页一极点可配置条件一极点可配置条件定理9-5（P484）利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。证明：证明：以单输入以单输入多输入系统来证明该定理。多输入系统来证明该定理。1）充充分分性性：若若系系统统完完全全可可控控，则则通通过过非非奇奇异异线线性性变变换换 可变换为可控标准型可变换为可控标准型:其中：其中
12、：第17页，本讲稿共56页引入状态反馈：引入状态反馈：其中：其中：第18页，本讲稿共56页闭环特征方程为：闭环特征方程为：则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：第19页，本讲稿共56页闭环特征方程为：该该n阶特征方程中的阶特征方程中的n个系数，可通过个系数，可通过 来来独独立立设设置置，也也就就是是说说 的的特特征征值值可可以以任任意意选选择，即系统的极点可以任意配置。择，即系统的极点可以任意配置。2）必必要要性性：如如果果系系统统（A,b）不不可可控控，说说明明系系统统的的有有些些状状态态将将不不受受u的的控控制制，则则引引入入状状态态反反馈馈时时就就不不可可能通过控制能通过控制 k 来影响
13、不可控的极点。来影响不可控的极点。第20页，本讲稿共56页二二.单输入单输入单输出系统的极点配置算法单输出系统的极点配置算法()给给 定定 可可 控控 系系 统统(A,b,c)和和 一一 组组 期期 望望 的的 闭闭 环环 特特 征征 值值 ,要要确确定定(1n)维维的的反反馈馈增增益益向向量量k,使使闭闭环环系系统统矩矩阵阵(A-bk)的特征值为的特征值为 。1.1.通用的计算方法通用的计算方法通用的计算方法通用的计算方法()()()()：设设(1)计算期望的特征多项式：计算期望的特征多项式：第21页，本讲稿共56页(2)用待定系数计算闭环系统的特征多项式：(3)由下列由下列n个方程计算反馈
14、矩阵个方程计算反馈矩阵k的元素：的元素：注注注注意意意意：系系统统完完全全可可控控，单单输输入入系系统统的的极极点点配配置置有有唯唯一一解解；系系统统不不完完全全可可控控，若若期期望望极极点点中中包包含含所所有有不不可可控极点，极点配置有解，否则无解。控极点，极点配置有解，否则无解。第22页，本讲稿共56页例例 9-36(P485)已知线性定常系统状态方程为已知线性定常系统状态方程为求反馈向量k，使系统的闭环特征值为：解：解：(1)计算期望的特征多项式：计算期望的特征多项式：(2)设设 用用待待定定系系数数计计算算闭闭环环系系统统的的特特征征多项式：多项式：第23页，本讲稿共56页(3)系数对
15、应相等：系数对应相等：解得：解得：即：即：第24页，本讲稿共56页(1)计算计算A的特征多项式的特征多项式:(2)计算期望的特征多项式计算期望的特征多项式:(3)计算计算(可控标准型可控标准型)反馈矩阵反馈矩阵 :2.完全可控完全可控系统极点配置的规范算法系统极点配置的规范算法第25页，本讲稿共56页(6)计算原系统的反馈增益阵：计算原系统的反馈增益阵：(4)计算变换矩阵计算变换矩阵P-1:(5)计算计算P：第26页，本讲稿共56页例例 9-36的规范计算方法的规范计算方法解：解：系统的可控性判别阵为：系统的可控性判别阵为：系统是完全可控的，满足可配置条件。系统是完全可控的，满足可配置条件。1
16、）系统的特征多项式为：）系统的特征多项式为：第27页，本讲稿共56页2）系统的期望特征多项式为：）系统的期望特征多项式为：3）计算）计算 ：4）变换矩阵为：）变换矩阵为：第28页，本讲稿共56页5）求）求P：6）计算反馈增益向量：）计算反馈增益向量：第29页，本讲稿共56页6.3 全维状态观测器及其设计全维状态观测器及其设计 问题的提出问题的提出 全维状态观测器全维状态观测器观测器的结构形式观测器的结构形式 观测器的存在条件观测器的存在条件 观测器综合算法观测器综合算法第30页，本讲稿共56页图图1 状态重构问题的直观说明状态重构问题的直观说明一、问题的提出一、问题的提出n 维的线性定常系统维
17、的线性定常系统+观测器+-图图1 加入状态反馈后的系统结构图加入状态反馈后的系统结构图第31页，本讲稿共56页状态观测器：输出 渐进等价于原系统状态x(t)的观测器，即以为性能指标综合得到的观测器。状态观测器全维状态观测器：降维状态观测器：重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数.重构状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数第32页，本讲稿共56页二、全维状态观测器二、全维状态观测器考虑n维的线性定常系统 该该系系统统的的状状态态x不不能能直直接接加加以以量量测测，但但输输出出y和和输输入入u是可以量测并加以利用的。是可以量测并加以利用的。的一个的一个n维线性定常系统维线性定常系统.所所谓
18、谓全全维维状状态态观观测测器，就是以器，就是以y和和u为输入，且其输出为输入，且其输出 满足如下关系式满足如下关系式(1)(2)其中：其中：A，B和和C分别为分别为nn，np，qn实常阵。实常阵。第33页，本讲稿共56页开环观测器的状态方程为：开环观测器的状态方程为：1、全维状态观测器的结构形式+图图2 开环状态观测器开环状态观测器被控系统被控系统开环状态观测器开环状态观测器式中：是被控对象状态向量x的估计值.1)开环观测器第34页，本讲稿共56页+-+图图3 3 全维状态观测器全维状态观测器-状态反馈状态反馈被控系统全维状态观测器状态空间描述为：全维状态观测器状态空间描述为：（3）2)全维状
19、态观测器观测器输出反馈阵第35页，本讲稿共56页图图4 全维状态观测器全维状态观测器(3)式可改写为：+被控系统被控系统闭环状态观测器闭环状态观测器(4)第36页，本讲稿共56页2、观测器的存在条件 状状态态观观测测器器分分析析设设计计的的关关键键问问题题是是能能否否在在任任何何初初始始条条件下，即尽管件下，即尽管 与与 不同，但总能保证不同，但总能保证成立。只有满足上式，状态反馈系统才能正常工作，成立。只有满足上式，状态反馈系统才能正常工作，或或所示系统才能作为实际的状态观测器。所示系统才能作为实际的状态观测器。(4)(3)(2)那那么么，如如何何通通过过选选取取H，使使得得由由式式(3)或
20、或(4)反反映映的的观观测器能满足式测器能满足式(2)呢？呢？第37页，本讲稿共56页观测器的存在条件（即观测器任意极点配置的条件）定定理理9-7(P489)：若若被被控控系系统统(A,B,C)可可观观测测，则则必可采用必可采用所所示示的的全全维维状状态态观观测测器器来来重重构构其其状状态态，并并且且必必可可通通过过选择增益阵选择增益阵H而任意配置而任意配置(A-HC)的全部特征值。的全部特征值。第38页，本讲稿共56页证：利用对偶原理，系统(A,B,C)可观测意味着其对偶系统 可控。由极点配置的结论：利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。所所以以对对于于可可控控系系统统 来来
21、说说，对对于于任任意意给给定定的的n个个特特征征值值，必必可可以以找找到到一一个个状状态态反反馈馈增增益益阵阵 ，使使反反馈馈后后的的系系统统特特征征值值等等于于指指定定的的特特征征值值 ，即即使使下下式式成立：成立：(5)其中：其中：第39页，本讲稿共56页是是由由期期望望特特征征值值所所确确定定的的闭闭环环系系统统特特征征多多项项式式。由由于于矩矩阵的转置不改变矩阵的特征值，故阵的转置不改变矩阵的特征值，故(6)这这就就意意味味着着(A-HC)的的特特征征值值可可由由H任任意意配配置置。因因此此，只只要要给给定定的的系系统统（A,B,C）可可观观测测，必必然然可可以以通通过过选选择择增增益
22、益阵阵H将将(A-HC)配配置置到到特特定定的的特特征征值值上上，从从而而使使设设计计的的全全维维状状态态观观测测器器满满足足观观测测器器存存在在条条件件，可可以以实实际际运用。运用。第40页，本讲稿共56页3、观测器综合算法方法一：原理性算法方法二：规范算法 对于给定的n维被控系统设系统(A,B,C)可观测，再对要设计的全维状态观测器给定一组期望的特征值:，设计全维状态观测器。第41页，本讲稿共56页方法一：原理性算法（方法一：原理性算法（）1)计算期望的特征多项式计算期望的特征多项式2）设设反反馈馈增增益益阵阵 ，用用待待定定系系数数计计算算闭闭环环观测系统特征多项式观测系统特征多项式其中
23、：系数其中：系数ai中包含未知元素中包含未知元素hi。第42页，本讲稿共56页3）求解下列n个方程，计算出反馈矩阵H的元素4）计计算算(A-HC)，则则所所要要设设计计的的全全维维状状态态观观测测器器就就为为而而 即为即为x的估计状态。的估计状态。第43页，本讲稿共56页方法二：规范算法（方法二：规范算法（）1）导出被控系统）导出被控系统(A,B,C)的对偶系统的对偶系统(AT,CT,BT)；2）利利用用完完全全可可控控系系统统极极点点配配置置的的规规范范算算法法，计计算算系系统统(AT,CT,BT)的反馈增益阵的反馈增益阵HT；3）计算）计算(A-HC)，则所要设计的全维状态观测器就为，则所
24、要设计的全维状态观测器就为而而 即为即为x的估计状态。的估计状态。第44页，本讲稿共56页例：例：给定系统给定系统解：方法一解：方法一观测器系统的特征值为：,试构造全维状态观测器.1)期望特征多项式：期望特征多项式：该系统可观测，可任意配置全维状态观测器的极点。第45页，本讲稿共56页4）设计的全维状态观测器为：）设计的全维状态观测器为：3）得到方程组：）得到方程组：2）设增益阵 ,闭环观测系统特征多项式为第46页，本讲稿共56页方法二：方法二：第47页，本讲稿共56页 第48页，本讲稿共56页6.4 分离特性分离特性 现在要讨论的是用全维状态观测器提供的估计状态 代替真实状态x来实现状态反馈
25、，其闭环特性与利用真实状态进行反馈的情况会有什么区别？当观测器被引入系统以后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器的闭环极点配置，观测器输出反馈阵H是否需要重新设计？第49页，本讲稿共56页考虑考虑n维的线性定常系统维的线性定常系统假设系统是可观测的，则可设计全维状态观测器假设系统是可观测的，则可设计全维状态观测器 得到真实状态得到真实状态 x 的估计值的估计值 ，引入状态反馈，引入状态反馈此时此时状态反馈子系统的状态空间描述为：状态反馈子系统的状态空间描述为：全维状态观测器的状态空间描述为：全维状态观测器的状态空间描述为：第50页，本讲稿共56页故组合系统的状态空间描述为：由由此此可
26、可见见，引引入入全全维维状状态态观观测测器器的的状状态态反反馈馈系系统统，其其维维数数为为被被控控系系统统和和观观测测器器系系统统的的维维数数之之和和（2n维维）。第51页，本讲稿共56页+-+-状态反馈被控系统图5 引入全维状态观测器的状态反馈系统全维状态观测器第52页，本讲稿共56页可以证明：引入全维状态观测器的状态反馈系统的传递函数矩阵为：引入真实状态的状态反馈系统的传递函数矩阵为：引入全维状态观测器的状态反馈系统与利用真实状态进行反馈得到的状态反馈系统具有相同的传递特性，与观测器部分无关，可用估计状态代替真实状态进行反馈。第53页，本讲稿共56页还可证明组合系统特征多项式为：该该式式表
27、表明明该该组组合合系系统统特特征征值值分分属属于于状状态态反反馈馈和和状状态态观观测测器器,两两部部分分特特征征值值相相互互独独立立,彼彼此此不不受受影影响响,故故状状态态反反馈馈矩矩阵阵K和观测器中输出反馈矩阵和观测器中输出反馈矩阵H可分别独立设计。可分别独立设计。定定理理9-8（P491）：若若被被控控系系统统可可控控可可观观测测，用用状状态态观观测测器器的的状状态态估估计计值值实实现现状状态态反反馈馈控控制制系系统统时时，其其系系统统的的极极点点配配置置和和观观测测器器设设计计可可分分别别独独立立进进行行，即即状状态态反反馈馈矩矩阵阵K的的设设计计和和观观测测器器中中输出反馈矩阵输出反馈
28、矩阵H的设计可以分别独立进行。的设计可以分别独立进行。第54页，本讲稿共56页参考题：参考题：设不完全可控系统（设不完全可控系统（A,B,C）为）为能能否否找找到到状状态态反反馈馈矩矩阵阵K，使使闭闭环环特特征征值值配配置置到到下下列位置：列位置：-2，-2，-1，-1；-2，-2，-2，-1；-2，-2，-2，-2。提示：对系统作可控性结构分解，得到系统有一个不可控特征值-1。第55页，本讲稿共56页习题习题9-30 被控系统（被控系统（A,B,C）为）为试设计全维观测器，使观测器极点位于试设计全维观测器，使观测器极点位于-r,-2r,试设计全维观测器，使观测器极点位于-r,-2r,(r 0)。解：期望观测器特征多项式为用待定系数计算观测器的特征多项式全维状态观测器为第56页，本讲稿共56页