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1、6.5 晶体能带的对称性晶体能带的对称性一、一、En(k)函数的对称性函数的对称性 引入描述点群对称操作的算符T()，其物理意义是对于任意函数f(r)，有其中，1是的逆操作，其定义是1 r点经操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量（单电子）为：将T()和H同时作用在任意函数f(r)上，由于2在正交变换下形式不变，而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换，所以，而电子的势能函数U(r)应具有与晶格相同的对称性，即由于f(r)是任意函数，所以T()与H可对易由此可以可得一个推论：若n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T()n,k(r)也是方程的解，且n,k(r)与T()n,k(r)有相同的能量本
2、征值。在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数这里n为能带标记，k为简约波矢，对应的能量本征值为En(k)。将T()作用在n,k(r)上得，由于是正交变换，因此，有另外，由于 也是以Rl为周期的周期函数，因此，可以改写为这表明，用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。所以，有这表明，在k空间中En(k)具有对称性，将取遍晶体点群的所有对称操作，上式都成立。于是，我们就证明了，在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。另外，由于在晶体中电子运动的哈密顿算符是实算符，H*H，所以，如果n,k(r)是方程的
3、解，那么*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即在晶体中，另一方面，用k取代k，得 需要指出的是，这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。从以上讨论可以看出，对于同一能带对于同一能带，有来自于晶格的周期性来自于晶格的周期性来自于晶体的点群对称性来自于晶体的点群对称性来自于时间反演对称性来自于时间反演对称性PPPkxky以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称相关。在这些点，电子都有相同的能量En(k)。因此，我们只
4、需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的Oh(m3m)点群，只需研究(1/48)b即可。XZMkxky-/a/a-/a 对于一般位置k，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得 k=k 或 k=k+Gl这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置：MXRZST简单立方晶格的简约区中k的特殊位置：二、自由电子的能带二、自由电子的能带自由电子的能量
5、为这里，k为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢Gn,使得k为简约波矢。1.一维情况k为简约波矢为简单，取k的单位为En(0)(k)的单位为第一能带：n=1，n=0相应波函数：第二能带：n=2，n=1相应波函数：第三能带：n=3，n=1相应波函数：2.二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿X（即kx）轴作出En(0)(k)曲线。为简单，取kx、ky的单位为En(0)(k)的单位为XZMkxky-/a/a-/a在X轴上，ky=0(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)相应的波函数为显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能
6、量最低。（第一布里渊区）（单）相应的波函数：第一近邻倒格点：（单）波函数：（双）波函数：（单）波函数：第二近邻倒格点：（双）相应的波函数：（双）相应的波函数：L XU,K LX U,KEnergy(eV)L XU,K6.6 能态密度和费米面能态密度和费米面一、能态密度一、能态密度1.定义能态密度：dSdkkxkyEE+dEdZ为能量在EE+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋），即能态密度为能带中单位能量间隔内的电子能态数。dZ=2(k)(k空间中能量在EE+dE两等能面间的体积)2.近自由电子的能态密度对于自由电子：在k空间中，能量为E的等能面是半径为的球面，在球面上 考虑周期场的影响，在
7、近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内外侧附近各作一个自由电子的等能面（球面）。0QQPNMM在布里渊区边界面的内侧：对自由电子：EP(0)=EQ(0)考虑周期场的影响：EQ(0)EQ，EP(0)EP所以，EPEQ在布里渊区边界面的外测：对自由电子：EN(0)=EM(0),考虑周期场影响后，EM(0)EM，EN(0)EN，即，考虑周期场影响后，EMEN。所以，考虑周期场影响后，在布里渊区边界面的内侧与外测等能面均形成向外突出的凸面。近自由电子的
8、等能面近自由电子的能态密度EAN(E)N(E)EBEBECECEE当EC EB时，出现能带重叠；当ECKBT，所以，在T0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发，其费米半径的相对变化为在室温下，这个比值约为102，因此，可以认为金属的费米面基本上与T无关。1.费米面的构造步骤 根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球 （或费米园）；将处在各个布里渊区中的费米球（园）分块按倒格矢 平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第n个 能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费米面 图形；按照近自由电子作必要的修正。2.修正的依据 电子的能量只在布里渊区
9、边界附近偏离自由电子能量，等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突 出的凸包；等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决 于电子与晶格相互作用的细节；周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：在k空间中，En(k)具有反演对称性，En(k)En(k)又由于En(k)的平移对称性，En(k)En(kGn)在布里渊区边界面附近，将k分解为kkk，由于布里渊区边界面是倒格矢的垂直平方面，所以，在布里渊区边界面上，有沿布里渊区边界面的法线方向上，如果沿一个边界面的法线方向上处处都有那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，k的分布密度：如果晶体中平均每个原子有个价电子，称其电子浓度为电子/原子。对于简单晶格，每个原胞中只有一个原子，则晶体的价电子总数为其中为简约区的内切园半径电子浓度kF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954kxky简约区中自由电子的费米面=1第一能带=2,3=4,5,6第二能带第三能带第四能带简约区中近自由电子的费米面=1第一能带=2,3=4,5,6第二能带第三能带第四能带