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1、一、引理一、引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式五、泰勒公式第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、引理引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .二、罗尔定理定理4.1 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该
2、点的切线必定平行于x轴.例如f(x)=|x|在1,1上连续，且f(1)=f(1)=1,但是|x|在(1,1)内有不可导的点，本例不存在 使 .又如f(x)=x在0,1上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .再如 f(x)在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在0,1上不连续，本例不存在还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例如 在0,3上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ，使 .三、拉格朗日中值定理定理4.2 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上
3、连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.拉格朗日中值定理的几何意义：如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.作辅助函数即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.弦线的方程为证 令由于f(x)在a,b上连续，因此 在a,b上连续.由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.又由于因此 在a,
4、b上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即从而有 ，或表示为上述结论对ba也成立.如果f(x)在(a,b)内可导，则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.其中 为之间的点.也可以记为或推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有其中C为某常数.由推论1可知f
5、(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得例1 选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有().注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在a,b上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0，因此应排除B.对于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.综合之，本例应单选.例2 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b
6、)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.例3 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =().由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x)在1,3上满足拉格朗日中值定理条件.分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(1)=4,而 因此有可解得 ，因此本例应
7、选D.例4 试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.证 设f(x)=arctan x,不妨设a0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的.即进而知四、柯西中值定理定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,
8、b)内，则至少存在一点在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.五、泰勒公式由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 处可导，则有从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)上述近似公式有两点不足：1.精度往往不能满足实际需要；2.用它作近似计算时无法估计误差.因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望能用多项式来近似表达函数f(x)，并使得当 时，为比 高阶的无穷小,还希望能写出
9、 的具体表达式，以便能估计误差.设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使与f(x)尽可能相近，希望可知从而得到由f(x)构造的n次多项式若用 在点 附近来逼近f(x)，有下列两个结论：(1)余项rn(x)=f(x)Pn(x)是关于(xx0)n的高阶无穷小，即(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以表示为综上所述，可以描述为：泰勒公式 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n阶导数，则当 时有泰勒公式 设函数f(x)在含x0 的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数，则当 时有通常称为f(x)在x0处的n次泰勒多项式.以上 展开式也称为f(x)的n阶泰勒公式.若在泰勒公式中令 ，则得到麦克劳林公式.其中 介于0与x之间.