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1、第第 四四 次次 课课 原方案的内容：l替换法重点l从变量中找不变量的方法重点l割补法l构造法l代数法l转化法l消去法第一节第一节 抓抓“不变量解题不变量解题l一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。l例例1l将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9，求所加的这个数。l例例1：有两筐苹果，第一筐苹果的质量是第：有两筐苹果，第一筐苹果的质量是第二筐的二筐的3/5，假设从第一筐中拿出，假设从第一筐中拿出20千克千克放入第二筐中，那么第一筐苹果的质量是第放入第二筐中，那
2、么第一筐苹果的质量是第二筐的二筐的1/3，原来第一筐苹果有多少千克？，原来第一筐苹果有多少千克？l解法一：因为分数的分子与分母加上了一解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是仍是18，所以，原题转化成了一各简单的，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：分数问题：“一个分数的分子比分母少一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的，切分子是分母的7/9，由此可求出新分，由此可求出新分数的分子和分母。数的分子和分母。l 分母：分母：61-4317/981l 分子：分子：81 7/9 63l 81-6120或或63-4320l解法
3、二：解法二：43/61的分母比分子多的分母比分子多18，7/9的分母的分母比分子多比分子多2，因为分数的，因为分数的 7/9与分母的差不变，与分母的差不变，所以将所以将7/9的分子、分母同时扩大的分子、分母同时扩大182=9倍。倍。l 7/9的分子、分母应扩大：的分子、分母应扩大：61-439-79倍倍l约分后所得的约分后所得的7/9在约分前是：在约分前是：63/81l所加的数是所加的数是81-6120l 答：所加的数是答：所加的数是20。l例例2：育红小学原有科技书、文艺书假设干：育红小学原有科技书、文艺书假设干本，其中科技书占本，其中科技书占1/5。后来又买来科技书。后来又买来科技书180
4、本，这时科技书占两种书的本，这时科技书占两种书的5/13。现。现在这两种书共多少本？在这两种书共多少本？l例例2：l 将一个分数的分母减去将一个分数的分母减去2得得4/5，如果将，如果将它的分母加上它的分母加上1，那么得，那么得2/3，求这个分数。，求这个分数。l解法：因为两次都是改变分数的分母，所以解法：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由分数的分子没有变化，由“它的分母减去它的分母减去2得得4/5可知，分母比分子的可知，分母比分子的5/4倍还多倍还多2。由。由“分母加分母加1得得2/3可知，分母比分子可知，分母比分子的的3/2倍少倍少1，从而将原题转化成一个盈亏，从而将原
5、题转化成一个盈亏问题。问题。l分子：分子：2+13/25/4=12l分母：分母：123/2-117l例例3：l在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5/7。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于1/2，求原来的最简分数是多少。l解法解法：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即5/7=10/14，1/2=7/14。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想10/14和7/14的分子和分母再乘以2。所以l5/710/1420/28，1/27/1414/28l故原来的最简分数是。l例例4：l有一个分数，如果分子加1，这个分数等于1/2；如果分母加1
6、，这个分数就等于1/3，这个分数是多少？例4分析l根据“分子加1，这个分数等于1/2可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于1/3可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是1+23-2=3，分母是32+2=8。所以，这个分数是3/8。第2节 一题多解l 一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。l 在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最正确途径。l例题例题1
7、有一个正方形池塘，四周种树，每有一个正方形池塘，四周种树，每边种边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等。四周一共种了多少棵树？距离都相等。四周一共种了多少棵树？n方法一：方法一：根据条件可知，每边种根据条件可知，每边种8棵，棵，4边就是边就是84=32棵，但每边起点一棵算了两次，一共多算了棵，但每边起点一棵算了两次，一共多算了4棵，所以四周一共种了棵，所以四周一共种了324=28棵树。棵树。n方法二：方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种个顶点的，每边种8棵；再数另一组对边的，不数两棵；再数另一
8、组对边的，不数两个顶点的，每边种个顶点的，每边种82=6棵。所以，一共有：棵。所以，一共有：8262=28棵棵。n方法三：方法三：把正方形四边拉直，每边种把正方形四边拉直，每边种8棵，就是把每棵，就是把每边分成了边分成了7等份，等份，4边共分成了边共分成了28等份，每一等份对应等份，每一等份对应一棵树，所以共有一棵树，所以共有28棵树。棵树。l例题例题2 :l一瓶花生油连瓶一共重一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩连瓶一起称，还剩550克。瓶里原有多少克克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？油？空瓶重多少克？n方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油方法一：
9、根据条件可知，花生油和瓶的重量油800800克变为克变为550550克，是因为吃掉了一半油，半瓶克，是因为吃掉了一半油，半瓶油的重量是油的重量是800800550=250550=250克，一瓶油的重量是克，一瓶油的重量是2502=5002502=500克，油瓶的重量是克，油瓶的重量是800800500=300500=300克。克。n方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重550550克，克，从从550550克中减去半瓶油的重量克中减去半瓶油的重量800800550=250550=250克，克，550550250=300250=300克即为瓶的重量，油的重量为：克即为
10、瓶的重量，油的重量为：800800300=500300=500克。克。n方法三：根据方法三：根据“并瓶油连瓶共重并瓶油连瓶共重550550克可求克可求出一瓶油和两个瓶共重出一瓶油和两个瓶共重5502=11005502=1100克，所以克，所以瓶重：瓶重：11001100800=300800=300克，油重克，油重800800300=500300=500克。克。l例题例题3:l 甲班有甲班有42人，乙班有人，乙班有35人，开学时来了人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等？相等？n方法一：根据条件，我们可求出转来了方法一：根据条件，我们可求出转来
11、了25位同位同学后的总人数为：学后的总人数为：423525=102人，再求人，再求出平均每班为出平均每班为1022=51人，再根据甲班乙班人，再根据甲班乙班原有的人数分别求出甲班分了：原有的人数分别求出甲班分了：5142=9人，人，乙班分了：乙班分了：5135=16人。人。n方法二：根据条件，我们可先求出乙班比甲班方法二：根据条件，我们可先求出乙班比甲班少少4235=7人，那么人，那么25位新同学中我们可先位新同学中我们可先分分7人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下剩下257=18人。剩下的人。剩下的18人，我们再平均人，我们再平均分给两班，每班各分分给
12、两班，每班各分182=9人。人。第三节 复合应用题l一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的条件是间接的，数量关系比较系交织在一起，有的条件是间接的，数量关系比较复杂，表达的方式和顺序也比较多样。因此，一般复杂，表达的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐
13、步推出所求问题综合法；们可以从条件出发，逐步推出所求问题综合法；也可以从问题出发，找出必须的两个条件分析法也可以从问题出发，找出必须的两个条件分析法。在实际解时，可以根据题中的条件，灵活运用。在实际解时，可以根据题中的条件，灵活运用这两种方法。这两种方法。l例例1 五年级有六个班，每班人数相等。从五年级有六个班，每班人数相等。从每班选每班选16人参加少先队活动，剩下的同学人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来相当于原来4个班的人数。原来每班多少人个班的人数。原来每班多少人？l分析：从每班选16人参加少先队活动，6个班共选166=96人。剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来
14、64个班人人数，所以，原来每班962=48人。l例例2:某车间按方案每天应加工某车间按方案每天应加工50个零件，个零件，实际每天加工实际每天加工56个零件。这样，不仅提前个零件。这样，不仅提前3天完成原方案加工零件的任务，而且还多天完成原方案加工零件的任务，而且还多加工了加工了120个零件。这个车间实际加工了个零件。这个车间实际加工了多少个零件？多少个零件？l分析:如果按原方案的天数加工，加工的零件就会比原方案多563120=288个。为什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了5650=6个。因此，原方案加工的天数是2886=48天，实际加工了5048120=1520个零件。l例例3 :l甲
15、、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了个零件，乙中途停了15天没有加工。天没有加工。40天天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？这时两人各加工了多少个零件？l分析:l甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同样多。l由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工620=120个。这120个零件相当于乙25-20=5天加工的个数，乙每天加工12025-20=24个。乙一共加工了2425=
16、600个，甲一共加工了6002=1200个l例例4 :l服装厂要加工一批上衣，原方案服装厂要加工一批上衣，原方案20天完成天完成任务。实际每天比方案多加工任务。实际每天比方案多加工60件，照这件，照这样做了样做了15天，就超过原方案件数天，就超过原方案件数350件。件。原方案加工上衣多少件？原方案加工上衣多少件？l分析 :由于每天比方案多加工60件，15天就比原方案的15天多加工6015=900件，这时已超过方案件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件数就是原方案2015天中的工作量。所以，原方案每天加工上衣9003502015=110件，原方案加工11020=2200件。l例例5:l
17、 王师傅原方案每天做王师傅原方案每天做60个零件，实际每天个零件，实际每天比原方案多做比原方案多做20个，结果提前个，结果提前5在完成任务。在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？王师傅一共做了多少个零件？l分析分析:l按实际做法再做按实际做法再做5天，就会超产天，就会超产60205=400个。为什么会超产个。为什么会超产400个个呢？是因为每天多生产了呢？是因为每天多生产了20个，个，400里面里面有几个有几个20，就是原方案生产几天。，就是原方案生产几天。40020=20天，因此，王师傅一共天，因此，王师傅一共做了做了6020=1200个零件。个零件。应用题二 l例例1 工程队要铺设一段地下
18、排水管道，用工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要长管子铺需要25根，用短管子铺需要根，用短管子铺需要35根。根。这两种管子的长相差这两种管子的长相差2米，这段排水管道长米，这段排水管道长多少米？多少米？l分析 因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子长50米。而这50米就相当于3525根短管子的长度。因此，每根短管子的长度就是503525=5米，这段排水管道的长度应是535=175米。l例例2:l 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结帐时，千克。结帐时，甲和乙都要付
19、给丙甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元，每千克苹果多少元？元？分析:三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。2423=16千克，也就是丙少拿16千克苹果，所以得到242=48元。每千克苹果是4816=3元。例例3:l 甲城有甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？时耗油最少？l分析:大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油105
20、=2升；小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油52=2.5升。显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。1775=35辆2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。例例4:l 有一栋居民楼，每家都订有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报份，江海晚报30份，电视报份，电视报22份。那么份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？订江海晚报和电视报的共有多少家？分析 :这栋楼共订报纸34+30+22=86份，因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有862=43家。在这
21、43家居民中，有34家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订了江海晚报和电视报。应用题三应用题三 l例例1:l 甲、乙两工人生产同样的零件，原方案每天甲、乙两工人生产同样的零件，原方案每天共生产共生产700个。由于改进技术，甲每天多生个。由于改进技术，甲每天多生产产100个，乙的日产量提高了个，乙的日产量提高了1倍，这样二倍，这样二人一天共生产人一天共生产1020个。甲、乙原方案每天个。甲、乙原方案每天各生产多少个零件？各生产多少个零件？l分析 二人实际每天比原方案多生产1020700=320个。这320个零件中，有100个是甲多生产的，那么320100=220个就是乙日产量的1倍，即乙原来的日
22、产量，甲原来每天生产700220=480个。例例2:把一根竹竿插入水底，竹竿湿了把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的局部比它的一半长的局部比它的一半长13厘米。求竹竿的长。厘米。求竹竿的长。l分析:l 因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的局部是402=80厘米。这时，湿的局部比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是80132=134厘米。l例例3:l 将一根电线截成将一根电线截成15段。一局部每段长段。一局部每段长8米，米，另一局部每段长另一局部每段长5米。长米。长8
23、米的总长度比长米的总长度比长5米的总长度多米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？米。这根铁丝全长多少米？l分析 设这15段中有X段是8米长的，那么有15X段是5米长的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米列出方程，并进行解答。l例例4:l 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前小时改装机器，因此前4小时甲比乙少小时甲比乙少做做400个零件。又同时加工个零件。又同时加工4小时后，甲总小时后，甲总共加工的零件反而比乙多共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙个。甲、乙每小时各加工零件多少个？每小时各加工零件多少个？l分析分析:l1在
24、后在后4小时内，甲一共比乙多加工了小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600个零件，甲每小时比乙个零件，甲每小时比乙多加工多加工46004=1150个零件。个零件。l 2在前在前4小时内，甲实际只加工了小时内，甲实际只加工了42.5=1.5小时，甲小时，甲1.5小时比乙小时比乙1.5小时应多做小时应多做11501.5=1725个零件，因此，个零件，因此，1725400=2125个零件就是乙个零件就是乙2.5小时的工作量，即小时的工作量，即乙每小时加工乙每小时加工21252.5=850个，甲每小时加个，甲每小时加工工8501150=2000个。个。l例例5:l 加工一批零件，单给甲加工需加工一批零件，单给甲加工需10小时，单小时，单给乙加工需给乙加工需8小时。甲每小时比乙少做小时。甲每小时比乙少做3个个零件，这批零件一共有多少个？零件，这批零件一共有多少个？l分析分析:l 因为甲每小时比乙少做因为甲每小时比乙少做3个零件，个零件，8小时就小时就比乙少做比乙少做38=24个零件，所以，个零件，所以，24个零件就是甲个零件就是甲108小时的工作量。甲小时的工作量。甲每小时加工每小时加工24108=12个，个，这批零件一共有这批零件一共有1210=120个。个。下次课的内容:l平均数应用题l工程问题l行程问题谢谢大家!