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1、第9讲 周长、面积、体积、表面积,梁 碧 湘,第一节 巧求周长,专题简析: 对于一些不规则的比较复杂的几何图形,要求它们的周长,我们可以运用平移的方法,把它转化为标准的长方形或正方形,然后再利用周长公式进行计算。 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形,那么图形周长就会增加几个长或宽;反之,将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形,图形周长就会减少几个长或宽。,例题1 : 下图是一个楼梯的侧面图,求此图 形的周长。,例题2 :下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的,这个图形的周长是多少厘米?,分析:这题我们可以用平移的方法将它转化 为一个长方形,如下图:,例题3 : 两个大小相
2、同的正方形拼成一个 长方形后,周长比原来两个正方形周长的和减 少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘?,例题4: 将一张边长为36厘米的正方形纸,剪成4个完全一样的小正方形纸片,这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米?,第二节 组合图形的面积,第一专题简析: 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种:一是拼合组合,二是重叠组合。要正确解答组合图形的面积,应该注意以下几点: 1,切实掌握有关简单图形的概念、公式,牢固建立空间观念; 2,仔细观察,认真思考,看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的; 3,适当采用增加辅助线等方法帮助解题; 4,采用
3、割、补、分解、代换等方法,可将复杂问题变得简单。,例1 : 一个等腰直角三角形,最长的边是12厘米,这个三角形的面积是多少平方厘米?,分析与解答 : 由于此三角形中只知道最长的边是12厘米,所以,不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形,且拼成了下图正方形。显然,这个正方形的面积是1212,那么,一个三角形的面积就是12124=36平方厘米。,例3: 四边形ABCD和四边形DEFG都 是正方形,已知三角形AFH的面积是 7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米?,分析 : 设大正方形的边长是a,小正方 形的边长是b。 (1)梯形EFAD的面积是(a+b)b2,三
4、角形EFC的面积也是(a+b)b2。所以,两者的面积相等。 (2)因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积梯形EFHD的面积,而三角形CDH的面积=三角形EFC的面积梯形EFHD的面积,所以,三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等,也是7平方厘米。,例4 下图中正方形的边长为8厘米,CE为20厘米,梯形BCDF的面积是多少平方厘米?,分析 :要求梯形的面积,关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一个三角形EFC,用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积:8202882=48平方厘米。FD=48220=4.8厘米,所求梯形的面积就是(4.88)82=51
5、.2平方厘米。,例5 图中ABCD是长方形,长为6,宽为4, 三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米,求ED的长。,分析: 因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米,所以,三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角形BCE的面积是646=30平方厘米,EC的长则是3026=10厘米。因此,ED的长是104=6厘米。,组合图形的面积(二),专题简析: 在组合图形中,三角形的面积出现的机会很多,解题时我们还可以记住下面三点: 1,两个三角形等底、等高,其面积相等; 2,两个三角形底相等,高成倍数关系,面积也成倍数关系; 3,两个三角形高相等,底成倍数关系,
6、面积也成倍数关系。,例题2 下图中,边长为10和15的两个正方体并放在一起,求三角形ABC(阴影部分)的面积。,分析 三角形ADC的面积是10152=75,而三角形ABC的高是三角形BCD高的1510=1.5倍,它们都以BC为边为底,所以,三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是:7.5(11.5)1.5=45。,例题3 : 两条对角线把梯形ABCD分割成四个 三角形。已知两个三角形的面积(如图所示),求另两个三角形的面积各是多少?(单位: 平方厘米),分析:,1,因为三角形ABD与三角形ACD等底等高,所以面积相等。因此,三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等,也是6
7、平方厘米。 2,因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍,所以BO的长度是OD的2倍,即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以,三角形AOD的面积是62=3平方厘米。,例题4 : 在三角形ABC中,DC=2BD,CE=3AE,阴影部分的面积是20平方厘米,求三角形ABC的面积。,分析,(1)因为CE=3AE,所以,三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍,是20(13)=80平方厘为; (2)又因为DC=2BD,所以,三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半,是802=40平方厘米。因此,三角形ABC的面积是8040=120平方厘主。,复杂面积问题,专题简析: 解答有关“图形
8、面积”问题时,应注意以下几点: 1,细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决; 2,从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。,例4:街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?,例1:街心花园中一个正方形的花坛四周有1 米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平 方米,中间花坛的面积是多少平方米?,分析与解答:,把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。因此,一个长方形的面积是124=3平方米。因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是31=3米。从图中可以看出正方形
9、花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是31=2米。中间花坛的面积是22=4平方米。,例2:一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少?,分析与解答:,把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+85=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。所以,原来正方形的边长是22113=17分米。,第三节 体积,专题简析: 解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点: (1)物体沉入水中,水面上升
10、部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出,水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中,那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。,解答立体图形的体积问题时要注意:,(2)把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积保持不变。 (3)求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积。 (4)求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试,防止思维定势。,例题1:有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里,两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大
11、水池里,大水池的水面升高多少厘米?,分析:中、小水池升高部分是一个长方体,它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米,两堆碎石的体积就是330.06+220.04=0.7(立方米)。把它沉到大水池里,水面升高部分的体积也就是0.7立方米,再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。 330.06+220.04=0.7(立方米) 0.76的平方=7/360(米)=1又17/18(厘米),例题2:一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中,水深8厘米,要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块,把铁块竖放在水中,水面上升几厘米?,分析:,在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中,还
12、是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中,排开水的体积是8815=960(立方厘米)。而现在瓶中水深是8厘米,要淹没15厘米高的铁块,水面就要上升158=7(厘米),需要排开水的体积是(3.14101088)7=1750(立方厘米),可知铁块是部分在水中。,分析:,当铁块放入瓶中后,瓶中水所接触的底面积就是3.14101088=250(平方厘米)。水的形状变了,但体积还是3.1410108=2512(立方厘米)。水的高度是2512250=10.048(厘米),上升10.0488=2.048(厘米) 3.1410108(3.14101088)8 =25122508 =10.0488 =2.048(
13、厘米),例题3:某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池,它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时,求这堆面粉的体积(如图28-1所示)。,分析:,设圆锥体的底面半径是r,则长方体的高和宽也都是r,长是2r。长方体的容积是2rrr=24,即r的立方=12。这个半圆锥体的体积是1/3r的平方r2=1/6r的立方,将r的立方=12代入,就可以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是r,则长方体的容积是2rrr=24,r的立方=12。 1/33.14r的平方r2 =1/63.14r的立方 =1/63.1412 =6.28(立方米),例题4:如果把12件同样的长方体物
14、品打包,形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包物体的表面积最小呢?,分析:,设长方体物品的长、宽、高分别是a、b、c,并且abc(入土28-4)。比较“34”和“26”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc,图28-6中大长方体的表面积为4ab+12ac+24bc,两个式子中都曲调相同的部分4ab+8ac+24bc后,式与式的大小要看2ab与4ac的大小。(1)当b=2c时,2ab=¥ac,两种包法相同。(2)当b2c时,“34”的包法表面积最小。(3)当b2c时,“26”的包法表面积最小。,例题5:一只集装箱,它的内尺寸是181818。现在有批货箱,它的外尺寸是
15、149。问这只集装箱能装多少只货箱?,分析:因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数,所以,只能先在181618的空间放货箱,可放181618(149)=144(只)。这时还有18218的空间,但只能在18216的空间放货箱,可放18216(149)=16(只)。最后剩下1822的空间无法再放货箱,所以最多能装144+16=160(只)。 181618(149)+18216(149) =144+16 =160(只),第4讲 表面积,专题简析:,小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、 正方体、圆柱体和圆锥体。 在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点: (1)充分利用正方体六个面 的面积都
16、相等,每个面都是正方形的特点。 (2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。 (3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来。,例题1:从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?,这是一道开放题,分几种情况考虑: 按图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。 按图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。 按图27
17、-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为672平方厘米。,例题2:把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图形,求这个立 体图形的表面积。,要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。,而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)2来计算。 (339+338+3310)2 =(81+72+90)2 =2432 =486(平方厘米),例题3:把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个 大长方体,
18、这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?,分析:把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体,需要把两个相同面拼合,所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个97的面。 (99+94+74)22972 =(63+36+28)4126 =508126 =382(平方厘米),例题4:一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方里,求原长方体的表面积。,分析:我们知道:体积=长宽高;由长增加2厘米,体积增加40立方厘米,可知宽高=402=20(平方厘米
19、);由宽增加3厘米,体积增加90立方厘米,可知长高=903=30(平方厘米);由高增加4厘米,体积增加96立方厘米,可知长宽=964=24(平方厘米)。而长方体的表面积=(长宽+长高+宽高)2=(20+30+24)2=148(平方厘米)。,即: 402=20(平方厘米) 903=30(平方厘米) 964=24(平方厘米) (30+20+24)2 =742 =148(平方厘米) 答:原 长方体的表面积是148平方厘米。,例题5:如图27-10所示,将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。,如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51 =3.14(4.5+3+2+1) =3.1410.5 =32.97(平方米),下次课内容:,数图形 体积 一笔画问题 错中求解,