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1、人教版课标一般高中数学 必修1.3三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、学问与技能1. 理解诱导公式的推导过程；2. 通过诱导公式的具体运用，娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用3. 进一步领悟把未知问题化归为问题的数学思想，通过一题多解，一题多变， 多题归一，提高分析问题和解决问题的力量二、过程与方法利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、 y 轴、直线 yx 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性动身，通过学生的探究，明白三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培育学生的规律推理力量及运算力量，渗透转化及分类争论的思想三、情感、态度
2、与价值观通过本节的学习使学生生疏到了解任何事物须从它较为生疏的一面入手，利用转 化的方法将事物转化为我们熟知的事物，从而到达了解事物的目的，并使学生养成乐观探究、科学争论的好习惯教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的敏捷运用，三角函数式的求值、化简和证明等教学难点：六组诱导公式的敏捷运用 教学关键：五组诱导公式的探究教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究 教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中1. 充分利用多媒体引导学生完善从特别到一般的认知过程；2. 强调记忆规律，加强公
3、式的记忆；3. 通过对例题的学习，完成学习目标 教学预备教师预备：多媒体，投影仪、直尺、圆规 学生预备：练习本、直尺、圆规教学过程一、创设情境，导入课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性能否利用圆的这种对称1教师备课系统多媒体教案性来争论三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于 x 轴、y 轴、直线 y=x 的轴对称性以及关于原点 O 的中心对称性等动身，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作沟通提出问题锐角 的终边与p + 角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起争论探究角的关系无论 为锐角还是任意角， + 的
4、终边都是 的终边的反向延长线，所以先选择 + 为争论对象利用图形还可以直观地解决问题，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是 P1(x，y)和 P2 (-x，-y)指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(p +)=-sin，cos( +)=-cos，tan(+)=tan 提出问题：- 角的终边与角 的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中争论- 与 的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考- 角的终边与角 的终边关于 x 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数从而完成公式三的推导，即：si
5、n(-)=-sin，cos(-)=cos，tan(-)=-tan教师点拨学生留意：无论 是锐角还是任意角，公式均成立并进一步引导学生观看分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值提出问题：- 角的终边与角 的终边位置关系如何？师生互动：争论 - 与 的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考： 任意角 和 - 的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：- 角的终边与角 的终边关于 y 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数从而完成公式四的推导，即：sin(-)=sin，cos(-)=-cos，tan(-)
6、=-tan强调无论 是锐角还是任意角，公式均成立引导学生观看分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求- 角的三角函数值转化为求角 的三角函数值让学生分析总结诱导公式的构造特点，概括说明，加强记忆 我们可以用下面一段话来概括公式一四：2人教版课标一般高中数学 必修+k2(kZ)，-， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”点拨、引导学生留意公式中的 是任意角提出问题终边与角 的终边关于直线 y=x 对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角 的终边关于直线 y=x 对称的角的数量关系教师充分让学生探究，
7、启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线 y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进展引导争论结果：如图，设任意角 的终边与单位圆的交点 P1 的坐标为(x，y)，由于角 2 -的终边与角 的终边关于直线 y=x 对称，角 2 - 的终边与单位圆的交点 P2 与点 P1 关于直线 y=x 对称，因此点P2 的坐标是(y，x)，于是，我们有sin=y，cos=x，cos( 2 -)=y，sin( 2 -)=x从而得到公式五：cos( 2 -)=sin， sin( 2 -)=cos提出问题能否用已有公式得出 2 + 的正弦、余弦与 的正弦、余弦之间的关系式
8、？师生互动：教师点拨学生将2 + 转化为- ( 2 -)，从而利用公式四和公式五到达我们的目的由于 2 + 可以转化为 - ( 2 -)，所以求 2 + 角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：sin ( 2 +)=cos，cos( 2 +)=-sin提出问题你能概括一下公式五、六吗？3教师备课系统多媒体教案师生互动：结合上一堂课争论公式一四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进展概括争论结果： 的正弦(余弦)函数值，分别等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上2一个把 看成锐角时原函数值的符号进一步可以
9、简记为：函数名转变，符号看象限利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化 公式一六都叫做诱导公式三、拓展创，应用提高例 1 利用公式求以下三角函数值：1cos225；2sin 11 ；3sin( - 16 )；4cos(-2 040)33解：1cos225=cos(180+45)=-cos45= -2 ；22sin 11 =sin(4 - )=-sin = -3 ；33323sin( - 16 )=-sin 16 =-sin(5+ )=-(-sin )=3 ；333324cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-
10、cos60= - 1 2点评：利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按以下步骤进展：上述步骤表达了由未知转化为的化归的思想方法 例 2 化简cos(180 +a) sin(a + 360).sin(-a -1800) cos(-180 -a)解： sin(-a -180) = sin-(a +180)= -sin(a +180) = -(-sina) = sina4人教版课标一般高中数学 必修cos(-180 -a) = cos-(180 +a) = cos(180 +a) = - cosa.所以，原式=-cosa sina= 1. sina (-cosa)33例 3 证明：
11、1sin( 2 -)=-cos；2cos( 2 -)=-sin3证明：1sin( 2 -)=sin+( 2 -)=-sin( 2 -)=-cos；32cos( 2 -)=cos+( 2 -)=-cos( 2 -)=-sin3点评：由公式五及六推得22k + 1 的三角函数值与角 的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到用2(kZ)的情形本例的结果可以直接作为诱导公式直接使例 4 化简sin(2 - a)cos( + a)cos( + a)cos( 11 - a)22.cos( - a)sin(3 - a)sin( - - a)sin( 9 + a)2(-sin a)(-cos a)(-si
12、n a)cos5 + ( - a)解：原式=2(-cos a)sin( - a)-sin( + a)sin4p + (+ a)2-sin2 a cos a-cos( 2 - a)- sin a=四、小结(-cos a)sin a-(-sin a)sin( + a)2=cos a=-tana熟记诱导公式；公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进展简洁的求值；运用诱导公式进展简洁的三角化简 课堂作业1. 在ABC 中，以下等式肯定成立的是()A + BCA. sin2=-cos 2B. sin(2A+2B)=-cos2CC. sin(A+B)=-sinCDsin(A+B)=sinC 2假设
13、 f(sinx)=cosx，那么 f(-cosx)等于()5教师备课系统多媒体教案AsinxBcosxC-sinxD-cosx 3计算以下各式的值：1sin(-1 200)cos(1 290)+cos(-1 020)sin(-1 050)+tan945；sin(540 - a) tan(a - 270 )cos( a - 270) .cos(a - 180 ) tan(810 + a)sin( -a - 360 )2tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)4化简：参考答案：1D2A 312；2-1 4-tana教案 B教学目标一、学问与技能1. 牢记诱导公式.2. 理
14、解和把握公式的内涵及构造特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进展简洁三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1. 通过诱导公式的推导，培育学生的观看力、分析归纳力量，领悟数学的归纳转化思想方法.2. 通过诱导公式的推导、分析公式的构造特征，使学生体验和理解从特别到一般的数学归纳推理思维方式.3. 通过根底训练题和力量训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1. 通过诱导公式的推导，培育学生主动探究、勇于觉察的科学精神，培育学生的创意识和创精神.2. 通过归纳思维的训练，培育学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特别到一般、把未知转化为的辨证唯物主义思想.
15、教学重点、难点教学重点：用联系的观点，觉察并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题 教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，觉察问题，提出争论方法 学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探究、动手实践、合作沟通的方式进展学习在学习中了解和体验公式的发生、进展过程，让学生领悟到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等学问的连续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归6人教版课标一般高中数学 必修纳推导公式教学用具：电脑、投影机、三角板 教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边一样的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把确定值较大的
16、角的三角函数转化为0到 360(0 到 2)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90到 360( 2 到 2)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题二、探究知1. 诱导公式二：思考：1锐角a 的终边与180 +a 的终边位置关系如何？2写出a 的终边与180 +a 的终边与单位圆交点P, P ” 的坐标3任意角a 与180 +a 呢？+a结 论 ： 任 意 a 与 180的 终 边 都 是 关 于 原 点 中 心 对 称 的 则 有P(x, y), P ”(-x, - y) ，由正弦函数、余弦函数
17、的定义可知：sina = y ，cosa = x ；sin(180= - y ，cos(180= - x +a )+a)+a )+a)从而，我们得到诱导公式二：sin(180= -sina ； cos(180= - cosa 说明：公式中的a 指任意角；假设a 是弧度制，即有sin( +a ) = -sina ， cos( +a ) = - cosa ；公式特点：函数名不变，符号看象限；+a)可以导出正切： tan(180=用弧度制可表示如下：= -sinasin(180 +a) cos(180 +a)- cosa= - tana sin( + a= -sina ； cos( + a= -co
18、sa ； tan( + a= tana 2. 诱导公式三：思考：1 360 -a 的终边与-a 的终边位置关系如何？从而得出应先争论-a ；7教师备课系统多媒体教案2任意角a 与-a 的终边位置关系如何？ 结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin(-a) = -sina ； cos(-a) = cosa 说明：公式中的a 指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切： tan(-a) = - tana 3. 诱导公式四： sin(180 -a) = sina ；cos(180 -a) = - cosa 说明：公式四中的a 指任意角；在角度制和弧
19、度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切： tan(180 -a) = - tana 用弧度制可表示如下：sin( - a= sina ； cos( - a= -cosa ； tan( - a= -tana 4. 终边与角a 的终边关于直线 y=x 对称的角有何数量关系 结论：如下图，设任意角 a 的终边与单位圆的交点 P1 的坐标为x，y，由于角 2 -a的终边与角a 的终边关于直线 y=x 对称，角 -a的终边与单位2圆的交点 P2 与点 P1 关于直线 y=x 对称，因此点 P2的坐标是y，x，于是我们有sina =y，cosa =x；sin( 2 -a) =
20、x， cos( 2 -a) = y从而得到诱导公式五：sin( 2 -a) = cosa，cos( 2 -a) = sina由于 2 +a =-( 2 -a)，由公式四及五可得8人教版课标一般高中数学 必修公式六sin( 2 +a) = cosa，cos( 2 +a) =- sina公式五和公式六可以概括如下：2 a的正弦余弦函数值，分别等于a的余弦正弦函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一六都叫做诱导公式.三、例题讲解例 1 求以下三角函数值：1 sin 960 ； 2 cos(- 43p ) 6= sin(960
21、 - 720 ) = sin 240解：1 sin 960= sin(180 + 60 ) = -sin 60 = -3 22 cos(- 43) = cos 43 = cos(7 + 6) = cos 766663= cos( + ) = - cos = -662例 2 ： tana = 3 ，求 2cos( -a) - 3sin( +a) 的值.4cos( -a) + sin(2 -a)解： tana = 3 ，原式=-2cos a + 3sin a= -2 + 3tan a= 7 4cos a - sina4 - tana例 3 化简sin(a + n) + sin(a - n) (n
22、Z) sin(a + n)cos(a - n)解：当n = 2k，k Z 时，原式= sin(a + 2k) + sin(a - 2k) =2sin(a + 2k)cos(a - 2k)cosa当n = 2k +1,k Z 时，9教师备课系统多媒体教案原式=sina + (2k +1) + sina - (2k +1) = -2sina + (2k +1)cosa - (2k +1)cosa例 4 a 2， cos(a + ) = m(m 0) ，求tan(2 -a ) 的值633333解：由于 2 -a =-(a + ) ，所以，cos( 2 -a) =cos-(a + ) = -cos(a
23、 + ) -m.由于所以 a 263于是3330 2 -a 321-cos2( 2 -a)31 - m2=sin( 2 -a) =3.1 - m 232sin( 2 -a)所以， tan( 3 -a) =四、课堂小结cos( 2 -a) = -m31五组公式可概括如下：a + k 360 (k Z ), -a,180 a,360-a 的三角函数值等于a 的同名函数值，前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号；2. 要化的角的形式为k90 a k 为常整数；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；k 为奇数还是偶数3. 利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”五、作业课本第 29 页习题 13B 组第 1、2 题.10