示范教案三角函数的诱导公式.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结教学分析1.3三角函数的诱导公式整体设计可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的连续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导 入,仍是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转

2、化为求锐角的三角函数值,均清楚的得到表达,在教学中留意数学思想渗透于学问的传授之中, 让同学明白化归思想,形成初步的化归意识,特殊是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180+角为第一争论对象,-角为其次争论对象 ,正是化归思想的运用.公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90的非负角 ,但是在推导中却把拓广为任意角 ,这一思维上的转折使同学难以懂得,甚至会导致对其必要性的怀 疑,因此它成为本课时的难点所在.课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任 意角 .同学第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外 ,诱导公式中角度制

3、亦可转化为弧度制 ,但必需留意同一个公式中只能实行一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习 .三维目标1.通过同学的探究,明白三角函数的诱导公式的来龙去脉,懂得诱导公式的推导过程;培育同学的规律推理才能及运算才能,渗透转化及分类争论的思想.2.通过诱导公式的详细运用,娴熟正确的运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 ,体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领会把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变 ,多题归一 ,提高分析问题和解决问题的才能.重点难点教学重点 : 五个诱导公式的推导和六组诱导公式的敏捷运用,三角函数式的求值、化简和证明等 .教学难点 : 六组诱

4、导公式的敏捷运用.课时支配2 课时教学过程第 1 课时导入新课思路 1.利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一 ,并且利用公式一可以把肯定值较大的角的三角函数转化为0到 3600 到 2内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于 90到 360到 2范围内的角的三角函数2怎样求解 ,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范畴内来求解,这一节就来探讨这个问题 .推动新课可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

5、第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -新知探究提出问题由公式一把任意角转化为 0,360 内的角后 ,如何进一步求出它的三角函数值.活动 :在中学学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值 同学记住了 ,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用运算器求得.老师可组织同学摸索争论如下问题:0 到 90的角的正弦值、 余弦值用何法可以求得.90到 360的角 能否与锐角 相联系 .通过分析 与 的联系 ,引导同学得出解决设

6、问的一种思路:如能把求90,360 内的角 的三角函数值 ,转化为求有关锐角的三角函数值,就问题将得到解决,适时提出 ,这一思想就是数学的化归思想,老师可借此向同学介绍化归思想.图 1争论结果 :通过分析 ,归纳得出 :如图 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结180a, 90,180 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=180a,360a,提出问题180 270,270 ,360 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结锐角 的终边与180+角的终边位置关系如何.它们与单位圆的交点的位置关系如何.任意角

7、与 180+了.活动 :分 为锐角和任意角作图分析: 如图 2.图 2引导同学充分利用单位圆,并和同学一起争论探究角的关系.无论 为锐角仍是任意角,180 +的终边都是的终边的反向延长线,所以先挑选180+为争论对象 .利用图形仍可以直观的解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的 ,对应点的坐标分别是Px,y和 P-x,-y.指导同学利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二 :sin180 +-sin= ,cos180 -+cos= .并指导同学写出角为弧度时的关系式:sin +-sin= ,cos-c+os = ,tan + =tan.引导同学观看公式的特点,明白各

8、个公式的作用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -争论结果 : 锐角 的终边与180 +角的终边互为反向延长线.它们与单位圆的交点关于原点对称.任意角 与 180 +角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题有了以上公式,我们下一步的争论对象是什么.-角的终边与角的终边位置关系如何.活动 :让同学在单位圆中争论-与 的位置关系 ,这时可通过

9、复习正角和负角的定义,启示同学摸索 :任意角 和-的终边的位置关系; 它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探究、概括、对比公式二的推导过程,由同学自己完成公式三的推导,即:sin- =-sin ,co-s =cos ,t-an=-tan .老师点拨同学留意:无论 是锐角仍是任意角,公式均成立 .并进一步引导同学观看分析公式三的特点 ,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.争论结果 :依据分析下一步的争论对象是-的正弦和余弦 .-角的终边与角的终边关于x 轴对称 ,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题下一步的争论对象是什么.-角的终边

10、与角的终边位置关系如何.活动 :争论 -与 的位置关系 ,这时可通过复习互补的定义,引导同学摸索 : 任意角 和 -的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标 .探究、概括、对比公式二、三的推导过程 ,由同学自己完成公式四的推导,即:sin - =sin ,co-s =-cos ,tan-=-tan .强调无论是锐角仍是任意角,公式均成立 .引导同学观看分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求 -角的三角函数值转化为求角 的三角函数值 .让同学分析总结诱导公式的结构特点,概括说明 ,加强记忆 .我们可以用下面一段话来概括公式一 四: +k 2 Zk,- , 的三角函数值 ,等于

11、的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 .进一步简记为 : “函数名不变 ,符号看象限 ”点.拨、引导同学留意公式中的是任意角 .争论结果 :依据分析下一步的争论对象是-的三角函数 ;-角的终边与角的终边关于y 轴对称 ,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用思路 1例 1 利用公式求以下三角函数值:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos22511;2sin3;3sin16;4cos-2 040 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 : 这是直接运用公式的题目类型,让同学熟识公式,通过练习加深印象, 逐步达到娴熟

12、、正确的应用.让同学观看题目中的角的范畴,对比公式找出哪个公式适合解决这个问题.解： 1cos225 =cos180 +45=-cos45 =2 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112sin=sin4333=-sin=;32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品名师归纳总结163sin3=-sin=316=-sin33;2=-sin5+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4cos-2 040=cos2 040=cos6 360 -120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=cos120 =cos1801-60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=-cos60 =.2点评 :利用公式一 四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按以下步骤进行:上述步骤表达了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求以下三角函数值:17可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos-510 15 ;2sin3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 1cos-51015=cos510 15=cos360 +150 15=cos150 15 =cos1-289045=-cos29 45-0.8=68 2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin17 =sin333-3 2 =sin =.32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 2007 全国高考 ,1 cos330 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11A.B.2233C.D.22可编辑资料 - -

15、- 欢迎下载精品名师归纳总结答案 :C变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简 :12 sin 290cos 430可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 250cos 790可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:12sin290cos 430可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 250cos 790可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word

16、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 sin 360=70 cos36070 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin18070 cos72070 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 sin 70=sin 70cos 70cos 70| cos 70cos 70sin 70|sin 70可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 70=cos 70cos 701 .sin 70可

17、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 化简 cos315+sin-30 +sin225 +cos480.活动 :这是要求同学敏捷运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解: cos315+sin-30 +sin225 +cos480可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=cos360-45 -sin301+sin180 +45 +cos360+120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=cos-45-sin452+cos120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

18、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=cos45 22+cos1802-60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212=222-cos60=-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评 :利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证 : tan2 sin 2 cos6tan.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos sin5分析 :利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证

19、明 :左边 =tan 2 sin 2 cos6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos sin 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan= sin cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan=cos sinsincos=tan 右=边 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cossin所以原式成立 .规律总结 :证明恒等式 ,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1 3.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答 : 1.1-cos;2-sin1;3-sin9;4cos70 6.5可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 利用诱导公式转化为锐角三角函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.11;2213;30.642 8;4.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值 . 3.1-sin 2 cos ;24s

21、in.点评： 先利用诱导公式变形为角的三角函数 ,再进一步化简 .课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化 简三角函数式及证明三角恒等式时是常常用到的,为了记牢公式,我们总结了 “函数名不变 ,符号看象限 ”的简便记法 ,同学们要正确懂得这句话的含义,不过更重要的仍是应用,我们要多加练习 ,切实把握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题1.3A 组 2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性1 角 的终边与角 +的终边关于原点对称.2 角 的终边与角 -的终边关于x 轴对称 .3 角 的终边与角-的终边关于y 轴对称 .二、三角函数的诱导公式应留

22、意的问题1 +k 2Zk,- , 的三角函数值等于的同名函数值 ,前面加上一个把看成锐角时原函数的符号 ;可简洁记忆为 : “函数名不变 ,符号看象限 . ”2 公式中的是任意角 .3 利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.公式三或一公式一基本步骤是 :任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0 到 2 角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的三角函数公式二 、四查表锐角的三角函数三角函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即负化正 ,大化小 ,化为锐角再查表.导入新课第 2 课时设

23、计者：沈献宏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上一节课我们争论了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名同学上黑板默写公式.在此基础上 ,我们今日连续探究别的诱导公式,揭示课题 .推动新课新知探究提出问题终边与角 的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系.活动 :我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.老师充分让同学探究,启示同学借助单位圆,点拨同学从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系 ,关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - -

24、 - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图 3争论结果 : 如图 3,设任意角的终边与单位圆的交点P1 的坐标为 x,y, 由于角-的终2边与角 的终边关于直线y=x 对称 ,角-的终边与单位圆的交点P2 与点 P1 关于直线y=x2对称 ,因此点 P2 的坐标是 y,x, 于是 ,我们有sin =y,cos =x,cos- =y,sin- =x.22从而得到公式五:cos- =sin,2sin- =cos .2提出问题能

25、否用已有公式得出+的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 :老师点拨同学将+转化为- 从,22而利用公式四和公式五达到我们的目的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于+可以转化为- 所,22以求+角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为利用公式五 ,这时可以让同学独立推导公式六.争论结果 :公式六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题你能概括一下公式五、六吗.Sin+ =cos ,2cos+ =-sin .

26、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 :结合上一堂课争论公式一 四的共同特点引导同学寻求公式五、六的共同特点,指导同学用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.争论结果 :的正弦 余弦 函数值 ,分别等于 的余弦 正弦 函数值 ,前面加上一个把看成2锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名转变 ,符号看象限 .利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -公式一 六都叫做诱导公式.提出问题学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括 .讨 论 结 果 : 诱 导 公 式 一 四 , 函 数 名 称 不 改 变 , 这 些 公 式 左 边 的 角 分 别 是2k +kZ , -可,看作 0- 其. 中 2k , 是,0横坐标轴上的角,因此 ,上述公式可归结为横坐标轴上的角函,数名称不转变.而公式五、六及上面的例1, 这些公式左边的角分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3,22- 其.中, 3是纵坐标轴上的角,因此这些公式

28、可归结为纵坐标上的角函,数名22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称要转变 .两类诱导公式的符号的考查是一样的,故而全部的诱导公式可用十个字来概括: 纵变横不变 ,符号看象限 .老师指点学习方法:假如我们孤立的记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将非常苦累, 且效率低下 .学习过程中 ,能挖掘各个公式的本质特点,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此 ,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯 燥无味的了 .示例应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 证明 1sin3- =-cos 2思路 13;2cos- =-sin .2可

29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 :直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 : 1sin3- =sin +- =-sin- =-cos ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cos- =cos +- =-cos22- =-sin .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评 :由公式五及六推得3的三角函数值与角的三角函数值之间的关系,从而进一步可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以推广到2k12 k

30、Z 的情形 .本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 化简sin2cosa cosa sin3a cos2a sin11acosa 2.a sin9a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 :认真观看题目中的角,哪些是可以利用公式二 四的 ,哪些是可以利用公式五、六的 .认真应用诱导公式,达到化简的目的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 原式 =sin acosasin a cos5a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa sinasina sin4a2可编辑资料 - - - 欢迎

31、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2=a cosacos2asin=a=- tan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa sin asin a sina 2cos a思路 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 1 已知 fcosx=cos17x, 求证 :fsinx=sin17x;2 对于怎样的整数n,才能由 fsinx=sinnx推出 fcosx=cosnx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - -

32、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -活动 : 对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观看题目特点,要敏捷变形 .观看本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦 ,留意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos-x 或 cosx=sin-x. 要善于观看条件和结论的结构特点,找出它们的共性与差异;22要留意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证 明 : 1fsinx=fcos fsinx=sin17x.-x=cos1

33、72-x=cos8+22sin x, n-17x=cos24k ,kZ ,-17x=sin17x,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2fcosx=fsin-x=sinn2n-x=sin22-nx=cosnx, n sin nx ,ncosnx ,n4k1, kZ ,4k2, kZ ,4k3, kZ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故所求的整数n=4k+1k Z .点评 :正确合理的运用公式是解决问题的关键所在.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 cos6- =mm 1求,2sin3-的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

34、总结解: 2- =2,-= +- .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3623262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin- =sin+32-=cos6- =m.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评 : 1当两个角的和或差是的整数倍时 ,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例 2 已知 sin 是方程 5x 2-7x-6=0 的根 ,且 为第三象限角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

35、品名师归纳总结sina求3 . sin 322cos2a . tan2 2a) . cos2a) . tanaa的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动 :老师引导同学先确定sin 的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.解: 5x2-7x-6=0 的两根 x=2 或 x=3 ,5-1x1, sin = 3 .524又 为第三象限角, cos= - 1 - sin=.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan3= .4cos a . cos a . tan2a . tan a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 =sin a . sin