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1、 微分算子法整理总结 微分算子法 微分算子法分类小结 1、 n阶微分方程 1、二阶微分方程： +p(*)+q(*)y=f(*) 2、n阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ . +any=f(*) 2、 微分算子法 1、定义符号：，D表示求导，如D*3=3*2，Dny表示y对* 求导n次；表示积分，如*=2,*表示 对* 积分n次，不要常数。 2、计算 将n阶微分方程改写成下式： Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ . +an-1Dy+any=f(*) 即 （Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an）
2、y=f(*) 记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an 规定特解：y*= 3、的性质 (1)性质一：ek* =ek* (F(k) 不等于0） 注：若k为特征方程的m重根时，有 ek* = *mek* = *mek* (2)性质二：ek* v(*)= ek*v(*) (3)性质三：特解形如sin(a*)和 cos(a*) i.考察该式（该种形式万能解法）：eia* 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 eia*= cos(a*)+isin(a*) 虚数 i2 = y=e*,则(D3-3D2+3D-1)y=e* 特
3、解y*=e* =e*1 =e*1=*3e* (性质二） 例5、-y=sin*,则(D3-1)y=sin*,特解y*=sin* 考察ei* ei*= ei*=ei*=ei* =(cos*+isin*) =-(cos*+sin*)+i(cos*-sin*) 取虚部为特解y*=(cos*-sin*) (性质一、三) 例6、+y=cos* ，则(D2+1)y=cos* ，特解y*=cos* 考察ei* ei*= ei*=ei* =ei*=ei*1 =-*ei*=*sin*-i*cos* 取实部为特解y*=*sin* (性质一、二、三） 例7、-y=e* ，则(D4-1)y= e* 特解y*=e*=e*
4、 = e* = e* =e* =e* 1=*e* （性质一、二、五） 例8、 +y=*2-*+2,则(D2+1)y= *2-*+2 特解y*=(*2-*+2) =(1-D2)(*2-*+2)=*2-* (性质四) 例9、+2+2y=*2e-*,则(D2+2D+2)y=*2e-* 特解y*=*2e-*=e-*2 =e-*2=e-*(1-D2)*2=e-*(*2-2) （性质二、四） 例10、+y=*cos* ，则(D2+1)y=*cos* ， 特解y*=*cos* ，考察*ei* *ei*=*ei*=ei* =ei*=ei* =ei* =ei* =(cos*+isin*)* =(*cos*+*2sin*)+i(*sin*-*2cos*) 取实部为特解y*=(*cos*+*2sin*) (性质二、三、四） 7