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1、机械零部件可靠性设计潘尔顺 副教授上海交通大学工业工程与管理系3/7/2022主要内容n机械可靠性设计的基本特点n静态应力强度干涉模型n几种常用分布的可靠度计算n安全系数与可靠度n机械零件的可靠性设计3/7/2022机械可靠性设计的基本特点传统的机械设计采用确定的许用应力法和安全系数法；机械可靠性设计，又称为概率设计则以非确定性的随机方法研究，设计机械零件和机械系统。传统的机械设计和机械可靠性设计的核心内容都是针对所研究对象的失效与防失效问题，建立起一整套的设计计算理论和方法。状态方程传统的机械设计与机械可靠性设计的相同点),(21nsssfs),(21nrrrgr),(),(2121nnrr
2、rgrsssfs3/7/2022机械可靠性设计的基本特点1.设计变量处理方法的不同2.传统机械设计:确定性设计法;可靠性设计:非确定性概率设计方法.传统的机械设计与机械可靠性设计的不同点s1r1s2r2rs安全间距s1r1s2r2f(s1)f(s2)g(r1)g(r2)g(r)f(s)3/7/2022机械可靠性设计的基本特点2. 设计变量运算方法的不同在传统的机械设计中,有一受拉力作用杆件,则横截面上的正应力为在机械可靠性设计中,由于设计变量是非确定的随机变量,因此,它们均服从一定的分布规律,用概率函数及分布参数来表征,传统的机械设计与机械可靠性设计的不同点AFs ),(),(),(AAFFs
3、sAFs3/7/2022机械可靠性设计的基本特点3. 设计准则含义的不同在传统的机械设计中,判断一个零件是否失效,是以危险截面的计算应力 是否小于许用应力 ,以及计算安全系数n是否大于许用安全系数n来决定的,相应的设计准则为:在可靠性设计中,由于应力和强度是随机变量,因此,判断一个零件是否安全可靠,是以强度大于应力所发生的概率来表示的,其设计准则为:传统的机械设计与机械可靠性设计的不同点nnca)(RsrPtRca3/7/2022静态应力强度干涉模型应力与强度分布情况f(s)f(s)f(s)g(r)g(r)g(r)f(s)g(r)g(r)g(r)f(s)f(s)R=1R=0应力强度干涉3/7/
4、2022静态应力强度干涉模型应力与强度的干涉f(s)f(s)g(r)g(r)sr其中干涉面积为图中阴影部分，在干涉面积中将出现应力的取值大于强度取值的情况，其可靠、度定义为；0)(srPsrPtR3/7/2022静态应力强度干涉模型阴影部分的放大f(s)g(r)rdsf(s)(rgsr,)(rgf(s)3/7/2022静态应力强度干涉模型应力取值落在小区间ds的概率等于ds小微元的面积，即式中：s横坐标在干涉部分的任一取值。零件强度r大于s0的概率为：若应力与强度的随机变量s,r相互独立，则应力值处于小ds，且强度r大于应力的概率为：dssfdsssdssP)(220000)(0sdrrgsr
5、P0)()(0sdrrgdssf3/7/2022静态应力强度干涉模型强度的所有取值比应力的所有取值都大的概率，即可靠度为同理可得可靠度等于所有应力取值小于强度取值的概率，即dsdrrgsfRs)()(drdssfrgRr)()(3/7/2022几种常用分布的可靠度计算应力和强度的概率密度函数为：设随机变量Y=r-s，则其概率密度函数为1、应力和强度均为正态分布的可靠度计算 2221exp21)(21exp21)(rrrsssrrgssf221exp21)(YYYYYfsrY22srY3/7/2022几种常用分布的可靠度计算当rs或r-s0时，产品可靠，故可靠度R为令 ，则令 ，则当Y=0时，当
6、Y，z 则可靠度公式可以写成1、应力和强度均为正态分布的可靠度计算02021exp21)()0(dYYdYYfYPRYYYYYYzYdYdzYYRzYYRzzRYYzzdzedzzYPR2222121exp21)0(3/7/2022几种常用分布的可靠度计算联结方程例：已知某机器零件的英里s和强度r均为正态分布，其分布参数分别为 ，试计算零件的可靠度。解：联结方程为查表得：R（t）=0.9984.1、应力和强度均为正态分布的可靠度计算22srsrYYRzMPa25MPa,5 .39MPa,500MPa362rsrs，952. 25 .39253625002222srsrRz3/7/2022几种常
7、用分布的可靠度计算当应力s和强度r服从对数正态分布，即lnr和lns为正态分布，意味着随机变量lnY=lnr-lns也服从正态分布，其分布参数为：由可靠度的定义得令Y=r/s，则上式可表示为2、应力和强度均为对数正态分布的可靠度计算2ln2lnlnlnlnlnsrYsrY1/)(srPsrPtR1)(1dYYfYP3/7/2022几种常用分布的可靠度计算可靠度为将上式化为标准正态分布：这里的积分上限为2ln2lnlnlnlnlnsrsrYYRz0ln21ln)(ln210ln)(2lnlnYdeYPtRYYYYYYdzetRzlnln22121)(3/7/2022几种常用分布的可靠度计算对数正
8、态分布的随机变量的均值为两边取对数后上式可改写为对数正态随机变量r的方差Dr为2exp2lnlnrrrrE2ln2lnlnrrr1exp1exp2/2exp1exp2exp2exp22exp2ln22ln2lnln2ln2lnln2lnln2lnln2rrrrrrrrrrrrrrD3/7/2022几种常用分布的可靠度计算整理后可得同样可得到1ln22lnrrr2ln2lnlnsss1ln22lnsss3/7/2022几种常用分布的可靠度计算例：已知某零件的应力s和强度r均为对数正态分布，其均值和标准差分别为试计算该零件的可靠度解：6002. 40806. 420274. 060ln2lnln2
9、lnlnrsss，2222ln027. 016010ln1lnMpasssMPaMPaMPaMParrss10,100,10,602222ln00995. 0110010ln1lnMparrr6886. 200234. 000995. 00806. 46002. 42ln2lnlnlnsrsrRz9964. 0)(tR3/7/2022几种常用分布的可靠度计算当应力s和强度r服从指数分布时可靠度为由于则可靠度为3、应力和强度均为指数分布的可靠度计算rrssrsergesf)(;)(0)(00)()(rssssssssdsedseedsdrrgsfsrPRrsrsrrssrEsE1;1rsrR3/
10、7/2022几种常用分布的可靠度计算应力s呈指数分布，其概率密度函数为强度r呈正态分布，其概率密度函数为考虑到指数分布只有正值，且sr，故有4、应力为指数（或正态）而强度为正态（或指数）分布的可靠度计算0 ;)(sesfsss221exp21)(rrrrrg00)()(drdssfrgRr3/7/2022几种常用分布的可靠度计算而上式中：从而有rrsrssrssseedsedssf1|)(00002020221exp2121exp21121exp21drerdrrdrerRrrrrrrrrrrrss3/7/2022几种常用分布的可靠度计算令又令则当r=0时，z的下限为0221exp21drrA
11、rrrrrrzdrdzrrrrrz03/7/2022几种常用分布的可靠度计算代入A的表达式并考虑到z是标准正态分布变量，则可得再令)(1)(121exp212rrzdrzArr04222220202221exp2121exp2121exp21drrdrrrdrerBrsrsrrsrrrsrrrrrrrs3/7/2022几种常用分布的可靠度计算又令则当r=0时，t的下限为 ，代入B的表达式得rrsrrt/2drdtrrrsrt/2222222221exp1221exp21exp212rssrrrsrrssrrrsrdttB3/7/2022几种常用分布的可靠度计算可靠度的表达式为同理，当强度r呈指
12、数分布而应力呈正态分布时，可得到可靠度的表达式为222221exp11rssrrrsrrrR0)()(dsdrrgsfRs222221exp1srrsssrsR3/7/2022几种常用分布的可靠度计算例：已知某机械零件强度r为正态分布， ，作用在零件上的应力服从指数分布，其均值为50MPa，试计算该零件的可靠度。8619. 0501050/100221exp1050/101001101001222RMPaMParr10100，3/7/2022几种常用分布的可靠度计算强度r为威布尔分布时的概率密度函数为式中累积分布函数为5、应力为正态分布而强度为威布尔分布的可靠度计算0 exp)(0001000
13、rrrrrrrrrmrgmm位置参数尺度参数形状参数00rrm exp1)(00mrrrrF3/7/2022几种常用分布的可靠度计算均值和方差为m=1时即为指数分布应力s为正态分布时的概率密度函数为220001121)(11)(mmrmrrrr 221exp21)(sssssf3/7/2022几种常用分布的可靠度计算由此可见令则上式第一项积分是标准正态密度曲线下从 到 的面积，可以用 表示，而对于上式第二项积分，令 000002200221exp2121exp21exp121exp21)()(rmsssrsssrmsssrdsrrrsdssdsrrrsdssFsfsrPFssszssrz0zs
14、sr013/7/2022几种常用分布的可靠度计算则有又因为于是在上式终，根据 三个参数采用积分法进行计算，可得出失效概率)/()(00rrsy000)(s )/(rryrdsdysssssssrryrrys0000)()(020000)(21exp211dyyrryrrsrPFmsssssssssrrm00,和3/7/2022几种常用分布的可靠度计算由于零件的可靠度R为令则由累积分布函数的性质可知，G与H的极限范围是01，由此得到6、强度和应力为任意分布的可靠度图解计算法0)()(dsdrrgsfRssrssFdssfHsFdrrgG0)()()(1)(dssfdH)(10GdHR3/7/20
15、22几种常用分布的可靠度计算图解法求可靠度 H0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0GR1-R3/7/2022几种常用分布的可靠度计算例 对某零件的工作状态进行模拟试验，在模拟运转条件下对应力进行了10次观测，得到应力值及相应的累积频率 ，记录如表所示，将 对 的曲线画在图上，此曲线是近似的应力概率分布函数曲线。同样，由零件的强度分析给出了14个强度值，数据如表2所示。应力数据)(sF)(sFs序号12345678910应力s20.7523.6024.5026.2526.5
16、027.5029.2530.0033.7537.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0)(sF序号1234567891011121314强度r33.8034.3035.4035.9036.0036.8036.8037.0037.1037.2038.2038.5040.0042.000.070.140.210.280.350.430.500.570.640.710.780.850.931.00强度数据)(rF3/7/2022几种常用分布的可靠度计算0 15 20 25 30 35 40 45 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
17、)(sFs应力s的近似概率分布函数0 30 32 34 36 38 40 420.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0)(rFs强度r的近似概率分布函数3/7/2022几种常用分布的可靠度计算图解法求可靠度 H0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0GR=0.98981-R3/7/2022几种常用分布的可靠度计算应力s/kPa应力s/kPa001.00350000.960.811000001.00360000.980.671500001.
18、00370000.990.42200000.071.00380000.9950.22250000.311.00390001.000.12300000.771.00400001.000.05320000.870.98410001.000.02330000.900.95420001.000.01340000.940.90)(sFH )(1rFG)(1rFG)(sFH 3/7/2022蒙特卡洛法7、用蒙特卡洛法模拟求解可靠度开始输入应力和强度分布类型和参数，模拟次数N，置j=1对应力和强度各产生一个随机数xsj和xrj比较xsj和xrj，并记下xsjxrj的次数N1输出R=N1/N结束j=Nj=j+
19、1否是3/7/2022蒙特卡落法7、用蒙特卡洛法模拟求解可靠度例：已知应力服从对数正态分布，sln(6.20463，0.099752)；强度服从正态分布，rN(600，602)，用蒙特卡洛模拟法求可靠度解：按上页流程图编制计算机程序，输入是： sln(6.20463，0.099752) rN(600，602)模拟次数N=1000，上机计算运行结果为R=0.8943/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算代数和设有两个随机变量 ，又令 ，则z也是正态分布，即 ，当x,y相互独立，则有若x，y相关，则上式中为相关系数，若x,y完全相关若x,y线性无关，表示x,y相互独立1、函数的
20、数学期望和方差计算),(),(22yyxxNyNx22yxzyxzyxz),(2zzNzyxyxz2222yxyxz22223/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算正态随机变量的乘积已知x,y均为正态随机变量，其乘积z=xy，由概率论知：若x,y相关，则有1、函数的数学期望和方差计算222222yxxyyxzyxz2222222yyyxyxxxyxz3/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算正态随机变量的商已知x,y均为正态随机变量，其商z=x/y，由概率论知：若x,y相关，则有1、函数的数学期望和方差计算2222221/yyyxxyyzyxz22222y
21、yyxyxxxyxz3/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算其它形式的函数表1、函数的数学期望和方差计算函数式均值标准偏差2xz 3xz nxz xz cbxaxz222xx2/1422)24(xxx323xxxxx23nx4/12221xxcbaxxx)(22xnxn12/12/12221xxx2/1222)46(babaxxx3/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算例1 一力矩M作用在一臂长为L的杆件上，L与M均为独立的随机变量，并服从正态分布，已知参数为 求在L一端与该力矩相平衡的作用力解：由于力矩M=FL，故F=M/L，由此可得1、函数的数学期望
22、和方差计算NmNmMM88011000，mmLL35. 1,90),(FFFNLMF12290/11000/NLLLMMLLF947. 935. 19035. 1110008809090112222222222223/7/2022机械零件的可靠性设计（1）正态随机变量的计算例2 函数 ，式中M，r均为正态分布，又已知求1、函数的数学期望和方差计算mmmmKNmKNmrrMM1 .020,8 .1225，),(ssS3/4rMS3/7/2022机械零件的可靠性设计（2）随机变量函数的数学期望和方差的近似计算首先考虑x是一维变量的情况，对于x=的点，用泰勒展开y=f(x)至前三项（B是余项）上式的
23、数学期望为1、函数的数学期望和方差计算Bfxfxfxfy)()(21)()()()( 2)(! 21)()(! 21)()()()()(21)()()( 2xDffBxDffffBEfxEfxfEfEyE3/7/2022机械零件的可靠性设计上式是数学期望的近似值，若方差很小，可以进一步忽略第二项，得到为得到D(y)的近似值，再一次考虑用泰勒级数展开到前两项：对上式取方差)()(fxfEyEBfxfxfy)()()()()()()()(2xDffxDfDyD3/7/2022机械零件的可靠性设计例1 杆的半径均值和标准差为 ，求截面积A的均值和标准偏差。解: 由面积的标准偏差为得2)(rrfA2)
24、(2)( rfrrf；222201. 41 . 0)2(212)2(21)(mmfAErr42222578. 11 . 0)22()2(mmADrr2256. 1mmADAmmmmrr1 . 0,0 . 23/7/2022机械零件的可靠性设计对于n维随机变量函数f，有经泰勒展开和化简得期望值为如果进一步忽略上式的第二项，则方差为：),(21nxxxfy21),(1221ixniinxDxffyEii),(21nfyE)(),(21121ixniiiixniinxDxfxxfDfDyDiiii3/7/2022机械零件的可靠性设计例2 有一断面为圆形的拉杆，已知材料的屈服极限拉杆直径 ，求拉杆所能
25、承受的拉力MPa)25,290(),(mmdddd)3 . 0 ,30(),(3/7/2022机械零件的可靠性设计（1）承受纯拉伸载荷的机械零件设计设拉杆承受的载荷随机变量Q服从 ，其最小截面积A服从 ，拉杆承受的拉应力s服从 ，且Q，A相互独立，故s=Q/A，当截面积是半径为r的圆截面时，2、机械零件的概率工程设计),(2QQNQ),(2ssNs),(2AANAAQs/2222221AAAQQAAs2rArrrrrArrrA2)(2)()(4)(4222223/7/2022机械零件的可靠性设计当截面是以a为边的正方形时，A=a2,则当截面是bh的矩形，则有aaaaaAaaA2)(2)()(4
26、422222/1222222)()()()()()(hbbhhbAhbA3/7/2022机械零件的可靠性设计例 有一圆截面拉杆，已知分布参数如下：所受载荷：拉杆材料的拉伸强度值：试计算：（1）在可靠度R=0.999下，最小拉杆半径；（2）在此半径基础上，以 为间距，计算不同半径下的可靠度，供结构优化时选取解（1）计算工作应力而kNkNNQQQQQ3200),(2，MPaMPaN301076),(2，mm2 . 02rQAQsrrArA2,)(23/7/2022机械零件的可靠性设计一般零件的公差尺寸均为其名义尺寸（或均值）的0.015倍，即若此公差取3sigma水平，则有rr0154. 0222
27、6366220000001. 02005. 03015. 03rrrQAQsArrArrrr22222222222263.114701. 01300001. 020000011rrAAAQQAAs3/7/2022机械零件的可靠性设计（2）由联结方程求拉杆半径当R=0.999时，ZR=3.09，代入联结方程得整理后得代入联结方程验算，取8.106，舍去7.314mm则222222)/(65.114730)/(63662107609. 3rrssmmmmr314. 7106. 8和mmrrmmrrrrr123. 0106. 83041. 0005. 03/7/2022机械零件的可靠性设计从 开始，
28、每隔0.2mm取一值，代入联结方程，计算结果如下mmr7半径7.0153.9381299.2223.4210-5.8657.2162.8601228.0523.1379-4.0780.0000237.4172.0341162.5620.9579-2.3650.0090167.6181.4581102.1819.8631-0.7280.233327.8191.1341046.3818.86310.8360.795588.0201.062994.71917.93172.3260.989998.2211.241946.78817.06773.7440.9999098.4221.671902.23916.26465.0920.999999mmr/22/mmrMPas/MPas/RzR0由上表可见，当半径为8mm时，零件的可靠度为0.98999，而当半径为7.4mm时，可靠度只有0.009，这说明杆半径在7.48.0之间变化时，可靠度变化的灵敏度较高。安装于某系统中的拉杆，应视其在系统中的重要程度来选取半径值。重要程度大，、选取高可靠度的半径，反之则选取可靠度低的半径，以免增加质量和成本。3/7/2022