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1、2023年新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）专题08 数列专题（新定义）一、单选题1（2023春甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（）ABCD2（2023春浙江高三开学考试）对任意正整数对，定义函数如下：，则（）ABCD3（2023春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列已知周期数列满足：，（），则（）ABCD14（2023秋福建南平高二统考期末）若数列的前n项和为，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列
2、的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（）ABCD5（2023秋山西长治高三校联考阶段练习）对于一个项数列，记的“Cesaro平均值”为，若数列的“Cesaro平均值”为2022，数列的“Cesaro平均值”为2046，则（）A24B26C1036D15416（2023春湖北咸宁高二校考开学考试）等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，中最大的是（）ABCD7（2022秋北京高二北京二中校考期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差下列四个结论中所有正确结论的序号是（）若数列满足，则该数列是等比差数列；数列是等比差数列；所有的等比数列
3、都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列ABCD8（2019秋北京高三101中学校考阶段练习）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在上的如下函数：；，其中是“保等比数列函数”的序号为（）ABCD9（2023秋吉林高二吉林一中校考期末）若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（）.AB1C6D1210（2022秋陕西渭南高二统考期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（）ABCD11（2023全国高三专题练习）对于数列，若存在正整数，
4、使得，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（）A2B7C2，7D2，5，712（2023全国高二专题练习）若数列满足，则称为“对奇数列”已知正项数列为“对奇数列”，且，则（）ABCD13（2022春辽宁葫芦岛高二校联考阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中，则（）A21B20C41D4014（2023春湖北高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（）ABCD15（2023全国高三专题练习）若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”已知数列满
5、足，且，若“等同数列”的前项和为，且，则（）A4711B4712C4714D471816（2022全国高三专题练习）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，则数列为收敛数列下列关于收敛数列说法正确的是（）A若等比数列是收敛数列，则公比B等差数列不可能是收敛数列C设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D设数列的前项和为，满足，则数列是收敛数列17（2022春安徽亳州高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列：，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，2，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是
6、（）ABCD18（2022春江苏无锡高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列an满足，则称数列an为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列cn的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（）AB（-，1）CD（1， +）19（2022浙江高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（）A6B12C18D108二、多选题20（202
7、2秋安徽阜阳高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列满足：对任意正整数为递减数列，则称数列为“差递减数列”给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）ABCD21（2023春江西新余高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列满足：，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.A若数列是等差数列，则具有“三项相关性”B若数列是等比数列，则具有“三项相关性”C若数列是周期数列，则具有“三项相关性”D若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，数列的通项公式为，与的前项和分别为，则对，恒成立22（2023春广东惠州高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那
8、契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（）A数列是递增数列BCD23（2023秋河北邯郸高二统考期末）若不是等比数列，但中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）ABCD24（2023春安徽蚌埠高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”，则定义在上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（）A为“保比差数列函数”B为“保比差数列函数”C为“保比差数列函数”D
9、为“保比差数列函数”25（2022秋福建福州高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）A是平方等差数列B若是平方等差数列，则是等差数列C若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列D若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列26（2023秋山西吕梁高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则（）ABCD数列的前n项和为27（20
10、23春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；第次得到数列1，,2记，数列的前n项和为，则（）ABCD三、填空题28（2022春上海长宁高二上海市延安中学校考期中）对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为_29
11、（2022秋福建泉州高二统考期末）对于数列，记：，（其中），并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则m=_.30（2023河南郑州统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数
12、列，下列说法正确的有_若，则从开始出现数字2；若（，2，3，9），则的最后一个数字均为k；不可能为等差数列或等比数列；若，则均不包含数字431（2023秋内蒙古阿拉善盟高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则_.32（2023秋宁夏吴忠高二吴忠中学校考期末）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为_33（2023秋安徽淮北高二淮北一中校考期末）对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列
13、的各项均为，且，则_34（2022秋上海高二期中）定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”已知数列有（为常数,且）,它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 _35（2023高二课时练习）定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是_.36（2023春湖北襄阳高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_37（2022春高二单元测试）对于任意一个有穷数列，可以通过在
14、该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式_.38（2022黑龙江绥化绥化市第一中学校考模拟预测）定义：若有穷数列，满足，即（，且），则称该数列为“对称数列”若数列是项数为的对称数列，且，构成首项为，公差为的等差数列，记数列的前项的和为，则取得最大值时的值为_39（2020秋陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和已
15、知数列是等和数列，且，则这个数列的前项的和为_.40（2020秋陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为，那么这个数列的前项的和为_.四、解答题41（2023秋上海浦东新高二上海南汇中学校考期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.42（2023全国高三专题练习）对
16、于给定的正整数k，若数列满足：，对任意正整数总成立，则称数列是“P（k）数列”若数列an既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：是等差数列43（2023春安徽淮北高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差(1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列44（2022春上海黄浦高三校考阶段练习）对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”(1)若，数列、是否为“
17、类数列”？(2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”；(3)若数列满足，为常数求数列前2022项的和45（2023高二课时练习）定义：称为个正数，的“均倒数”已知数列的前项的“均倒数”为，(1)求的通项公式；(2)设，试判断并说明（为正整数）的符号；(3)设函数，是否存在最大的实数，当时，对于一切的自然数都有专题08 数列专题（新定义）一、单选题1（2023春甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（）ABCD【答案】D【分析】确定，取和带入式子，相减得到答案.【详解】，即，故；两式相减得，所以故选：D2（20
18、23春浙江高三开学考试）对任意正整数对，定义函数如下：，则（）ABCD【答案】C【分析】根据新定义得，令即可判断A，根据累乘可判断B，利用二项式定理求得，结合判断C，结合等比数列的前项和公式判断D.【详解】，令，则，A错误；，累乘得：，令，则B错误；因为，所以，则C正确；，则D错误故选：C3（2023春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列已知周期数列满足：，（），则（）ABCD1【答案】D【分析】写出周期数列的前几项，发现周期为6，进而求得的值.【详解】写出周期数列的前几项：1，3，2，1，3，2
19、，1，发现周期数列是周期为6的周期数列，故选：D4（2023秋福建南平高二统考期末）若数列的前n项和为，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】由新定义求得，然后由求得，从而可求得（裂项相消法）后得的最小值，解相应不等式可得结论【详解】由题意,即,时，又，时，易知是递增数列，的最小值是（时取得），由题意，解得故选：B5（2023秋山西长治高三校联考阶段练习）对于一个项数列，记的“Cesaro平均值”为，若数列的“Cesaro平均值”为2022，数列的“Cesaro平均值”为2046，则（）A2
20、4B26C1036D1541【答案】B【分析】先求出的值，再根据Cesaro平均值的求法列出等式，即可求出的值.【详解】因为数列的“Cesaro平均值”为，所以.因为的“Cesaro平均值”为，所以，所以，解得，故选:B.6（2023春湖北咸宁高二校考开学考试）等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，中最大的是（）ABCD【答案】C【分析】根据题意分析的符号，结合前项之积的性质运算求解.【详解】，则当为奇数时，当为偶数时，当或时，当或时，由题意可得：，令，解得，若取到最大，则，即中最大的是.故选：C.7（2022秋北京高二北京二中校考期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k
21、叫做公比差下列四个结论中所有正确结论的序号是（）若数列满足，则该数列是等比差数列；数列是等比差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列ABCD【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】数列满足，则，满足等比差数列的定义，故正确；数列，不满足等比差数列的定义，故错误；设等比数列的公比为，则，满足等比差数列，故正确；设等差数列的公差为，则，故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即正确；故答案为：故选：B.8（2019秋北京高三101中学校考阶段练习）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等
22、比数列函数”现有定义在上的如下函数：；，其中是“保等比数列函数”的序号为（）ABCD【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论通过积的乘方，即可判断；通过指数的幂的运算，即可判断；通过积的运算即可判断；由对数的运算法则，即可判断【详解】设是等比数列，由等比数列性质知，对于，即仍是等比数列，故正确；对于，即不是等比数列，故不正确；对于，即是等比数列，故正确；对于，即不是等比数列，故不正确；故选：C9（2023秋吉林高二吉林一中校考期末）若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（）.AB1C6D12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列是
23、以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列满足，可得，故正项数列是以为公比的等比数列，则，故选：D10（2022秋陕西渭南高二统考期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（）ABCD【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.【详解】对于A：，化简得：，存在正整数，使得对任意的，恒成立，所以是间隔递增数列；对于B：，因为为正整数且，所以，所以，所以是间隔递增数列；对于C：，因为为正整数且，所以，所以，所以是间隔递增数列；对于D：，当正奇数，时，的正负由的奇偶性决定，此时不恒
24、成立，不符合间隔递增数列的定义；当正偶数，时，的正负由的奇偶性决定，此时不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；故选：D.11（2023全国高三专题练习）对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（）A2B7C2，7D2，5，7【答案】C【分析】先求出，再得到，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解【详解】因为，所以，当，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，所以数列的“谷值点”为，故选：C.12（2023全国高二专题练习）若数列满足，则称为“对奇数列”已知正项数列为“对奇数列”，且，则（）ABCD【答案】
25、D【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以故选：D13（2022春辽宁葫芦岛高二校联考阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中，则（）A21B20C41D40【答案】C【分析】设的公比为q，根据和求出，从而得和，再根据的定义可求出结果.【详解】设的公比为q，则，所以，则，所以.所以落在区间内的偶数共有41个，故.故选：C14（2023春湖北高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（）ABCD【
26、答案】A【分析】根据与的关系求出，再根据等差数列的求和公式求出，将化为对任意的恒成立，分类讨论可求出结果.【详解】由，时,，时，也成立，数列的前n项和为：，对任意的恒成立，即，即，即，即，即对任意的恒成立，当时，对任意的恒成立，因为，所以，当时，恒成立，当时，对任意的恒成立，因为，所以，综上可得：实数p的取值范围为故选：A15（2023全国高三专题练习）若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，则（）A4711B4712C4714D4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得是周期数列，即
27、可得【详解】由得，则，故,所以，所以，所以，因为，所以，解得，同理得，故数列是以3为周期的数列，所以，故选:D16（2022全国高三专题练习）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，则数列为收敛数列下列关于收敛数列说法正确的是（）A若等比数列是收敛数列，则公比B等差数列不可能是收敛数列C设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D设数列的前项和为，满足，则数列是收敛数列【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因
28、此选项AB不正确；选项C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D：因为，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17（2022春安徽亳州高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列：，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，2，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由题意可得，从而可得且，可得，再根据指数函数的单调
29、性求出的最小值即可【详解】由题意可得，所以，且，当时，成立；当，3，10时，应有成立，因为在R上单调递增，所以随着n的增大而减小，故，综上，q的取值范围是.故选：C.18（2022春江苏无锡高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列an满足，则称数列an为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列cn的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（）AB（-，1）CD（1， +）【答案】A【分析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为所以当时, 两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列当时, 所以，则由“差半递增”数列的定义可知化
30、简可得解不等式可得即实数的取值范围为故选：A.19（2022浙江高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（）A6B12C18D108【答案】A【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，从而可得，从而可求出，从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为，
31、由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.二、多选题20（2022秋安徽阜阳高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列满足：对任意正整数为递减数列，则称数列为“差递减数列”给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）ABCD【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A，若，
32、则，由函数在上单调递增，所以为递增数列，故错误；对B ，若，则，由函数在上单调递增，所以为递增数列，故B 错误；对C ，若，则，由函数在上单调递减，所以为递减数列，故C正确；对D ，若，则，由函数在上单调递减，所以为递减数列，故D正确故选：CD21（2023春江西新余高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列满足：，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.A若数列是等差数列，则具有“三项相关性”B若数列是等比数列，则具有“三项相关性”C若数列是周期数列，则具有“三项相关性”D若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，数列的通项公式为，与的前项和分别为，则对，恒成立【答案】A
33、BD【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】若为等差数列，则有，A正确；若数列是等比数列，则，（）,即，易知，显然成立，时，取，有，也成立，所以B正确；对周期数列：0，0，1，0，0，1，所以时，显然不成立，所以C错误；对D，即，易知，即，故，D正确；故选：ABD22（2023春广东惠州高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（）A数列是递增数列BCD【答案】BCD【分析】由数列的递推公式可判断
34、A,B；利用累加法计算可判断选项C,D.【详解】对A，由知，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；对B，根据递推公式，得，故B正确；对C，即，故C正确；对D，由递推式，得，累加得，即，故D正确；故选：BCD23（2023秋河北邯郸高二统考期末）若不是等比数列，但中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）ABCD【答案】ABD【分析】对于ABD，直接取特定项验证即可；对于C，定义法可证为等比数列后即可判断.【详解】对于A：若，则，由，得，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部
35、等比数列.故A正确；对于B：若，则，由，得，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列. 故B正确；对于C：若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列. 故C错误；对于D：若，则，由，得，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列. 故D正确.故选：ABD.24（2023春安徽蚌埠高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”，则定义在上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（）A为“保比差数列函数”B为“保比差数列函数”C为“保比差数列函数”D为“保比差数列函数”【答案】ABD【分析】设数列的公比为
36、，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可.【详解】设数列的公比为，选项A：，所以是常数，所以数列为等差数列，A满足题意；选项B：，所以是常数，所以数列为等差数列，B满足题意；选项C：，所以不是常数，所以数列不为等差数列，C不满足题意；选项D：，所以是常数，所以数列为等差数列，D满足题意；故选：ABD25（2022秋福建福州高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）A是平方等差数列B若是平方等差数列，则是等差数列C若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列D若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列【答案】B
37、D【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.【详解】对于A，当为奇数时，则为偶数，所以，当为偶数时，则为奇数，所以，即不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B，若是平方等差数列，则为常数），即是首项为，公差为的等差数列，故正确；对于C，若是平方等差数列，则为常数），则，即，当为等差数列时，则为平方等差数列，当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误；对于D，因为是平方等差数列，所以，把以上的等式相加，得，则，即数列是平方等差数列，故正确；故选:BD26（2023秋山西吕梁高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“
38、美好成长”将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则（）ABCD数列的前n项和为【答案】ABD【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据第次“美好成长”与第n次“美好成长”的关系分析运算；对C：根据题意分析可得：，利用构造法结合等比数列分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可得，利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】对A：，A正确；对B：由题意可知：，故，B正确；对C：设第n次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，则第次“美好成长”后再插入项，则，可得，且，故数列是以首项为2，公比为2
39、的等比数列，则，故，C错误；对D：，则，且，故数列是以首项为，公比为3的等比数列，则，即，设，则，解得，故，设数列的前项和为，则，即数列的前n项和为，D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：（1）构造法：；（2）裂项构造：.27（2023春安徽高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；第次得到数列1，,2记，数列的前n项和为，则（）ABCD【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前
40、面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时，第2次得到数列1，4，3，5，2，此时，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，第次得到数列1，2，此时，由此可得，故A正确；，故C错误；由，可得，故B正确；由，故D正确故选：ABD三、填空题28（2022春上海长宁高二上海市延安中学校考期中）对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数
41、列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为_【答案】1090【分析】确定，数列从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案.【详解】，故，由题意得数列从第二项起连续四项成等比数列， 则数列前21项的和为故答案为：29（2022秋福建泉州高二统考期末）对于数列，记：，（其中），并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则m=_.【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数列的通项即可推理计算作答.【详解】由数列是2阶等比数列，得，即，且，即
42、数列是首项为，公比为的等比数列，则有，即，当时，而满足上式，因此，由得：，即，整理得，又为小于的任意正整数，所以.故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.30（2023河南郑州统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数列，下列说法正确的有_若，