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1、2023年新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）专题02 函数与导数（新定义）一、单选题1（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（）ABCD2（2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：对任意a，；对任意，；对任意a，则函数的值域是（）ABCD3（2023上海统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（）ABCD4（2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考
2、阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（）ABCD5（2023高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（）ABCD6（2023秋江苏无锡高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数例如； 已知函数，其中，则函数的值域为（）ABCD7（2023山东菏泽统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，已知函数，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（）ABCD8（2022秋河北邢台高一统考期末
3、）在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（）ABCD9（2022秋广东深圳高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）ABCD10（2022秋山东日照高一统考期末）已知符号函数则“” 是“” 的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件11（2023秋山东潍坊高一统考期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（）ABCD12（2023秋青海西宁高一统考期末）定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，
4、都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）ABCD13（2023全国高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（）ABCD14（2022秋山东青岛高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：，；.则（）ABCD15（2016辽宁沈阳东北育才学校校考一模）定义两种运算：，则函数的解析式为（）A，B，C，D，16（2023全国高三对口高考）定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD17（2022秋广西河池高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的，恒有，则称
5、函数为“纯函数”，给出下列四个函数（1）；（2）；（3）；（4），则下列函数中纯函数个数是（）A0B1C2D318（2021秋上海黄浦高三上海市大同中学校考期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”若函数，则是“（）阶准奇函数”A1B2C3D419（2022秋上海徐汇高一位育中学校考阶段练习）定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（）ABCD20（2022秋浙江杭州高一杭州四中校考期中）设是上的任意实值函数如下定义两个函数和，对任意，则下列等式不恒成立的是（）ABCD21（2021秋上海徐汇高一上海中学校考期末）已知，是定义在上的严格增函数，若对任意，存在，使得
6、成立，则称是在上的“追逐函数”已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（）个；A1B2C3D422（2022秋黑龙江哈尔滨高一校考期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数已知函数是“函数，则m的取值范围是（）ABCD23（2022秋河南周口高一校考期中）对于函数，若对任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）ABCD24（2021秋浙江嘉兴高一校联考期中）定义，如则函数的最小值为（）ABCD25（2023高一课时练习）函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”若函数是在上的“有偶函数”，则实
7、数的取值范围是（）ABCD26（2020秋北京顺义高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（）；A0B1C2D327（2022秋江苏连云港高一校考阶段练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）ABCD28（2022秋安徽滁州高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和,上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）ABCD29（2022秋江西景德镇高一江西省乐
8、平中学校考阶段练习）若函数对任意且，都有，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（）ABCD30（2023秋陕西咸阳高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（）ABCD31（2023全国高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，的“躺平点”分别为，则，的大小关系为（）ABCD32（2022高二课时练习）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数t
9、的取值范围是（）ABCD33（2022秋广东深圳高三校考阶段练习）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则，的大小关系为（）ABCD34（2022春山东高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）ABCD二、多选题35（2023秋陕西渭南高一统考期末）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，在上是单调函数，当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（）A函数有3个“和谐区间”；B函数，存在“和谐区间”C若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为D若函数有“和谐区间”，则实数的
10、取值范围为36（2023秋云南昆明高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，则（）A是单调递增函数B当时，的最大值为C当为素数时，D当为偶数时，37（2022秋河北邢台高一统考期末）对于函数，若在区间上存在，使得，则称是区间上的“稳定函数”.下列函数中，是区间上的“稳定函数”的有（）ABCD38（2023秋湖北襄阳高一统考期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）A函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是B函数是回旋函数C若函数为回旋函数，则D函数是的回旋
11、函数，则在上至少有1011个零点39（2023秋河南周口高一统考期末）若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有；若对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）ABCD40（2023秋辽宁沈阳高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列说法正确的是（）A对任意，都有B函数的值域为或C函数在区间上单调递增D41（2023山东临沂高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学经
12、济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，则称值是的一个周期为k的周期点若，下列各值是周期为2的周期点的有（）A0BCD42（2022秋河南漯河高一漯河四高校考期末）设函数的定义域为，若对于任意，存在使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是（）ABCD43（2023秋上海崇明高一统考期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，且则下列3个命题中是真命题的有_（填写所有的真命题序号）若，则；若当时，取得最大值5，则当时，取得最
13、小值；若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数44（2022秋上海宝山高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数的定义域为，满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是_.45（2023秋山东德州高一统考期末）在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：函数，定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有_个46（2021春福建三明高二三明一中校考阶段练习）对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为_.47（202
14、1春重庆渝北高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是_48（2018春河南南阳高二统考期中）定义：如果函数在区间上存在，（），满足，则称函数在区间上是一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是_四、解答题49（2023全国高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定
15、条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点.(1)求函数的不动点；(2)若函数有两个不动点，且，求实数的取值范围.50（2023秋北京高一校考期末）已知函数，若点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数.(1)求函数的解析式；(2)对任意的的图像总在其相关函数图像的上方，求实数的取值范围.51（2023秋上海徐汇高一位育中学校考期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数”(1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由；(2)当时，证明：是“J形函数”；(3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围.52（202
16、2秋陕西安康高三统考期末）已知函数.(1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围；(2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”.已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围.53（2022高二课时练习）记、分别为函数、的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值54（2023秋广东江门高一统考期末）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”.(1)已知函数，试问是否为“伪奇函数”？请说明理由；(2)是否存在实数满足函数是定义在上的“伪奇函数”？若存在，请求实数的取值范围；若
17、不存在，请说明理由.专题02 函数与导数（新定义）一、单选题1（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（）ABCD【答案】B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；【详解】方法一：函数，因为，所以，所以.所以.所以，即.当时，；当时，.故的值域为.故选：B.方法二：由，得.因为，所以，解得.当时
18、，；当时，.所以的值域为.故选：B.2（2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：对任意a，；对任意，；对任意a，则函数的值域是（）ABCD【答案】B【分析】注意新定义的运算方式即可.【详解】在中，令，则，所以函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是故选：B3（2023上海统考模拟预测）设，若正实数满足：则下列选项一定正确的是（）ABCD【答案】D【分析】对新定义进行化简，分别在条件，下化简，结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.【详解】因为，又 所以，(1)若则，不等式可化为，则，所以，若，则可化为，
19、矛盾，若，则可化为，矛盾，若，则可化为，矛盾，(2)若则，不等式可化为，所以，若，则可化为，矛盾，若，则可化为，满足，可化为，满足，若，则可化为，满足，可化为，满足，(3)若则，不等式可化为，所以若，则可化为，满足，可化为，满足，若，则可化为，满足，可化为，满足，若，则可化为，满足，可化为，满足，(4)若则，不等式可化为，所以，若，则可化为，满足，可化为，矛盾，若，则可化为，矛盾，若，则可化为，矛盾，综上， 或或或或，由知，A错误；由知，B错误；当时，取可得，满足条件但，C错误；当时，当时，当时，当时，当时， 故选：D.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五
20、种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4（2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点
21、，设的图象与函数的图象关于原点对称，令，则，所以，因为，又，所以原题义等价于与在上有交点，即方程有零点，则，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即故选：C.【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而得解.5（2023高二单元测试）能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（）ABCD【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.【详解】对选项A：，函数为奇函数，满足；对选项B：，函数定义域满足，解得，且，函数为奇函数，满足；
22、对选项C：为奇函数，满足；对选项D：，函数为偶函数，且，不满足.故选：D6（2023秋江苏无锡高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数例如； 已知函数，其中，则函数的值域为（）ABCD【答案】B【分析】化简，令，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域.【详解】因为，令，因为，所以，所以，因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，.所以的值域为.当时，当时，当时，当时，所以函数的值域为，故选：B .7（2023山东菏泽统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，已知函数，在上均存在唯一不动点，分别记为，则
23、（）ABCD【答案】C【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得.【详解】由已知可得，则，且，所以.又，.令，则恒成立，所以，在上单调递增，所以，所以.所以，即.令，因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以在上单调递减.又，所以.因为在上单调递减，所以.又，所以，即.令，则恒成立，所以，在上单调递减.又，所以.综上可得，.故选：C.【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.8（2022秋河北邢台高
24、一统考期末）在定义域内存在，使得成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（）ABCD【答案】C【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幂函数；求出即可判断C项.【详解】对于A项，恒成立，故A项错误；对于B项，不是幂函数，故B项错误；对于C项，因为，只要即可，故C项正确；对于D项，恒成立，故D项错误.故选：C.9（2022秋广东深圳高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算:，设函数，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】先化简函数的解析式，再作出函数的图象，转化为直线与函数的图象有两个交点，数形结合分析即得解.【
25、详解】令，解得，所以，当时，；当时，；作出函数的图象，如图，若的图象与轴恰有两个公共点，即直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得.故选：A10（2022秋山东日照高一统考期末）已知符号函数则“” 是“” 的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】若，则；若，则同号，所以故“”是“”的必要不充分条件故选:C.11（2023秋山东潍坊高一统考期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据函数新定义可推得，
26、恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，即，满足，即，恒成立；记函数，的值域为M，则由题意得,当，即时，在单调递减，则，即,此时不满足，舍去；当，即时，在时取得最大值，即，即 ,要满足，需，解得或 ，而，故，即m的取值范围为，故选：D【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.12（2023秋青海西宁高一统考期末）定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A
27、BCD【答案】B【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A，由，当时，则不存在满足情况，故A不是正积函数；对于B，由，则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，故B是正积函数；对于C，由，得，当时，则，则不唯一，故C不是正积函数；对于D，由，当时，则不存在满足情况，故D不是正积函数.故选:B.13（2023全国高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】依题意只需在上是减函数，利用导数说明的单调性，即可得到，从而求出参数的取值范围.【详解】解：对于，则在上单调递增，易知，
28、在上是“弱减函数”，在上是减函数，且在上是增函数，易知在上是增函数显然成立，故只需在上是减函数，故当时，当时，故在上单调递减，故，故，即；故选：C14（2022秋山东青岛高三统考期末）已知定义域为的“类康托尔函数”满足：，；.则（）ABCD【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到，然后再利用得到，再次赋值，利用，即可求解.【详解】因为，令可得：，又因为，令可得：，令可得：，由可得：，令，则有，所以，令，则有，所以，因为，所以，也即，所以，故选：.15（2016辽宁沈阳东北育才学校校考一模）定义两种运算：，则函数的解析式为（）A，B，C，D，【答案】A【分析】根据已知的定义可化简得到，根据函
29、数定义域的求法可求得，结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.【详解】由题意知：，由得：或，即定义域为，.故选：A.16（2023全国高三对口高考）定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】利用给定的定义求出函数，再求出其单调递减区间即可求解作答.【详解】由给定的定义知，显然函数的单调递减区间是，而函数在上单调递减，于是得，因此，所以实数的取值范围是.故选：D17（2022秋广西河池高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的，恒有，则称函数为“纯函数”，给出下列四个函数（1）；（2）；（3）；（4），则下列函数中纯函数个数是（）A0B1C2D3【答案】C
30、【分析】设，由得，即，即为上的减函数，逐个判断即可.【详解】由题知，设，由得，即所以为上的减函数，对于（1），因为函数为上的减函数，所以为纯函数；对于（3），因为函数在上为减函数，所以是纯函数；对于（2），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数；对于（4），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数，故选：C.18（2021秋上海黄浦高三上海市大同中学校考期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”若函数，则是“（）阶准奇函数”A1B2C3D4【答案】D【分析】根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出两个函数图象可得结果【详解】由时，得，下图为与的图象，由图
31、可知，当时，两个函数图象有4个交点，即故选：D19（2022秋上海徐汇高一位育中学校考阶段练习）定义为不小于的最小整数（例如：，），则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】先根据已知二次不等式求出，进而可求x的范围【详解】解得，为不小于的最小整数，所以.故选：C20（2022秋浙江杭州高一杭州四中校考期中）设是上的任意实值函数如下定义两个函数和，对任意，则下列等式不恒成立的是（）ABCD【答案】B【分析】根据定义两个函数和对任意，；，然后逐个验证即可找到答案【详解】对于A,，；而；,对于B,对于C,，,；对于D,，故选：B21（2021秋上海徐汇高一上海中学校考期末）已知，是定义在上的严
32、格增函数，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，则下列四个函数中是在上的“追逐函数”的个数为（）个；A1B2C3D4【答案】B【分析】根据“追逐函数”的定义对个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.【详解】由题意，需满足：与在上的值域都是，且对任意的，的图象恒的上方，当时：的值域符合题意，且，符合题意.的值域符合题意，且，符合题意.，指数函数比二次函数增长快，比如：当时，不符合题意.由于，所以不符合题意.综上所述，正确的有个.故选：B22（2022秋黑龙江哈尔滨高一校考期中）如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数已知函数是“函数，则m的取值范围是（）ABCD【答案】C【
33、分析】由题意可得的值域为，又因为当时，的值域为，当时，的值域为，所以有，求解即可.【详解】解：由题意可知的定义域为，又因为是“函数，所以的值域为，又因为,所以的值域为，又因为当时，单调递增，此时值域为，当时，开口向上，对称轴为，此时函数单调递增，值域为，所以，解得，所以m的取值范围为.故选：C.23（2022秋河南周口高一校考期中）对于函数，若对任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.【详解】，当时， 的定义域为，所以是偶函数，为
34、偶函数，只需考虑在上的范围，当时，在单调递减，对，恒成立，需，. 当，在上单调递增，对，恒成立，综上：故选：B24（2021秋浙江嘉兴高一校联考期中）定义，如则函数的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】作出函数的图象，数形结合可得出函数的最小值.【详解】当时，此时；当时，此时，；当时，此时，.所以，作出函数的图象如下图所示（实线部分）：因为，因此，.故选：A.25（2023高一课时练习）函数满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“有偶函数”若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.【详
35、解】因为为上的“有偶函数”，故存在非零实数，使得，若，则，故方程有解，故在上有解，而，而，故的值域为，故.若，则，故方程有解，故在上有解，而，而，故的值域为，故.故选：D.26（2020秋北京顺义高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（）；A0B1C2D3【答案】B【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.【详解】对于，又因为，当且仅当，即时取等；所以.对于，所以对于，因为当时，所以时，因为当时，所以时，所以.故在其定义域上有界的函数为.故选：B.27（2022秋江苏连云港高一校考阶段练习）对于函数，
36、如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，所以，或，则，故、是方程的两个同号的不等实数根，即方程有两个同号的不等实数根，注意到，故只需，解得，结合，可得.故选：D28（2022秋安徽滁州高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和,上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）ABCD【答案】D【分析】
37、理解题意，明确界点的含义，对于各个函数逐一判定【详解】解：根据题意，对于A，故恒成立，则有两个实根，不妨设，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；对于B，的两根分别为，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；对于C，解得或，故，使得在上与轴交于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；对于D，解得，且在上单调递增，故不存在“界点”故选：D29（2022秋江西景德镇高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数对任意且，都有，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（）ABCD【答案】B【分析】根据“穿透”函数的概念逐项分析即得.【详
38、解】对于A，因为对任意且，所以函数为“穿透”函数，故A不适合题意；对于B，因为对任意且，所以函数不是“穿透”函数，故B适合题意；对于C，因为对任意且，所以函数为“穿透”函数，故C不适合题意；对于D，因为对任意且，所以函数为“穿透”函数，故D不适合题意.故选：B.30（2023秋陕西咸阳高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（）ABCD【答案】D【分析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可【详解】对于A：，则，令，则，故有“巧值点”；对于B，则，令，故方程有解，故有“巧值
39、点”；对于C，则，令，则.方程有解，故函数有“巧值点”对于D：定义域为，则，而，显然无根，故没有“巧值点”.故选：D31（2023全国高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“”、“内卷”、“躺平”等定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，的“躺平点”分别为，则，的大小关系为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意分析可得，分别为，的零点，利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】，则，由题意可得：，令，则为的零点，可知在定义域内单调递增，且，；又，则，由题意可得：，令，则为的零点，令，则或，在，内单调递增，在内单调递减，当时，则在内无零点，当时，则，
40、综上所述：；故.故选：D.【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解32（2022高二课时练习）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由在区间上恒成立，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】，二次函数的开口向上，依题意， 在上恒成立，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C33（2022秋广东深圳高三校考阶段练习）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围从而确定它们的大小【详解】由题意：，所以分别为的根，即为函数的零点，可解得；为单调递增函数，且，所以，令，解得，或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，由，所以，所以.故选：B.34（2022春山东高三山东师范大学附中校考期中）