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1、 2.3 对偶单纯形法对偶单纯形法 一、什么是对偶单纯形法？一、什么是对偶单纯形法？对对偶偶单单纯纯形形法法是是应应用用对对偶偶原原理理求求解解原原始始线线性性规规划划的的一一种种方方法法在在原原始始问问题题的的单单纯形表格上进行纯形表格上进行对偶处理对偶处理。注意：注意：不是解对偶问题的单纯形法！不是解对偶问题的单纯形法！二、对偶单纯形法的基本思想二、对偶单纯形法的基本思想 1、对对“单单纯纯形形法法”求求解解过过程程认认识识的的提提升升 从更高的层次理解单纯形法从更高的层次理解单纯形法 初始可行基初始可行基（对应一个初始基本可行解）（对应一个初始基本可行解）迭迭代代另另一一个个可可行行基基
2、（对对应应另另一一个个基基本本可行解），直至可行解），直至所有检验数所有检验数0为止为止。所有检验数所有检验数0意味着意味着 ，说说明明原原始始问问题题的的最最优优基基也也是是对对偶偶问问题题的的可可行行基基。换换言言之之，当当原原始始问问题题的的基基B既既是是原原始始可可行基又是对偶可行基时，行基又是对偶可行基时，B成为最优基。成为最优基。定定理理2-5 B是是线线性性规规划划的的最最优优基基的的充充要要条条件件是，是，B是可行基，同时也是对偶可行基。是可行基，同时也是对偶可行基。LP原问题原问题:若若B是是A中的一个基中的一个基可行基可行基B对应的解是基对应的解是基本可行解，则本可行解，则
3、B是可行基是可行基对偶可行基对偶可行基若单纯形乘子若单纯形乘子 是对偶问题的可行解，是对偶问题的可行解，则则B是对偶可行基是对偶可行基 是对偶问题是对偶问题是对偶问题是对偶问题的可行解的可行解的可行解的可行解检验数检验数等价等价 证明：证明：单纯形法的求解过程就是：单纯形法的求解过程就是：在保持在保持原始可行原始可行的前提下的前提下(b列保持列保持0)，通过逐步迭代通过逐步迭代实现对偶可行实现对偶可行(检验数行检验数行0)。2、对偶单纯形法思想：对偶单纯形法思想：换换个个角角度度考考虑虑LP求求解解过过程程：保保持持对对偶偶可可行行的的前前提提下下（检检验验数数行行保保持持0），通通过过逐逐步
4、步迭迭代代实实现现原原始始可可行行（b列列0，从从非非可可行行解解变变成成可行解）。可行解）。对偶单纯形法的思想（图示）对偶单纯形法的思想（图示）初始基本初始基本可行解可行解保持为基本保持为基本可行解可行解初始对偶可行解初始对偶可行解保持对偶可行性保持对偶可行性始终满足解始终满足解的可行性的可行性始终满始终满足对偶足对偶可行性可行性 三、对偶单纯形法的实施三、对偶单纯形法的实施1、使用条件：、使用条件：检验数全部检验数全部0；解答列至少一个元素解答列至少一个元素 0；2、实施对偶单纯形法的基本原则：、实施对偶单纯形法的基本原则：在保持对偶可行的前提下进行基变换在保持对偶可行的前提下进行基变换每
5、每一次迭代过程中取出一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量基变量中的一个负分量作为作为换出变量换出变量去去替换替换某个某个非基变量非基变量(作为作为换入换入变量变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。使原始问题的非可行解向可行解靠近。3、计算步骤、计算步骤：建立初始单纯形表，计算检验数行。建立初始单纯形表，计算检验数行。解答列解答列解答列解答列0 0已得最优解；已得最优解；已得最优解；已得最优解；至少一个元素至少一个元素至少一个元素至少一个元素0,0,转下步转下步转下步转下步;解答列解答列解答列解答列0 0原始单纯形法；原始单纯形法；原始单纯形法；原始单纯形法；至少一个元素至少一个元素至少一
6、个元素至少一个元素0,0,另外处理；另外处理；另外处理；另外处理；检验数全部检验数全部检验数全部检验数全部0 0（非基变量检验数（非基变量检验数（非基变量检验数（非基变量检验数000 基变换：基变换：先先确确定定换换出出变变量量解解答答列列中中的的负负元元素素（一般选最小的负元素）（一般选最小的负元素）对应的基变量对应的基变量出基出基；即即相应的行相应的行为主元行为主元行。然然后后确确定定换换入入变变量量原原则则是是：在在保保持持对对偶偶可行的前提可行的前提下，下，减少原始问题的不可行性减少原始问题的不可行性。如果如果(最小比值原则最小比值原则),则选则选 为换入变量为换入变量,相应相应的列为
7、的列为主元列主元列 ,主元行和主元列交叉处的元主元行和主元列交叉处的元素素 为主元素为主元素。若 ,要计算最小比值吗？为什么？按按主主元元素素进进行行换换基基迭迭代代（旋旋转转运运算算、枢枢运运算算），将将主主元元素素变变成成1，主主元元列列变变成成单单位位向向量量，得到新的单纯形表。，得到新的单纯形表。循环以上步骤，直至求出最优解。循环以上步骤，直至求出最优解。3、举例、举例用对偶单纯形法求解用对偶单纯形法求解LP：化为标准型化为标准型化为标准型化为标准型 将两个等式约束两边分别乘以将两个等式约束两边分别乘以-1，得，得以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形
8、法的基本条件，具体如下：法的基本条件，具体如下：-2/-2 -4/-3 -比比 值值 -2 -3 -4 0 0 0 -Z -1 -2 -1 1 0 -2 1 -3 0 1 -3 -4 x4 x5 0 0 -2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 cj xj b XB CB-4/-5/2 -1/-1/2 比比 值值 0 -4 -1 0 -1 0 cj-zj 0 -5/2 1/2 1 -1/2 1 -1/2 3/2 0 -1/2 -1 2 x4 x1 0 -2 -2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 cj xj b XB CB 0 0 -3/5 -8/5 -1/5 0
9、 cj-zj 0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5 2/5 11/5 x2 x1 -3 -2 -2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 cj xj b XB CB最优解最优解:X*=（11/5，2/5,0,0,0）T，最优值最优值:minW=-maxZ*=-11/5(-2)+2/5(-3)=28/54、举例、举例用对偶单纯形法求解用对偶单纯形法求解LP：化为化为化为化为标准型标准型标准型标准型 将三个等式约束两边分别乘以将三个等式约束两边分别乘以-1，然后，然后列表求解如下：列表求解如下：-3/-1 -9/-1 -比比 值值 -3 -9 0 0
10、0 0 -Z -1 -1 1 0 0 -1 -4 0 1 0 -1 -7 0 0 1 -2 -3 -3 y3 y4 y5 0 0 0 -3 -9 0 0 0 y1 y2 y3 y4 y5 cj yj b XB CB -6/-3 -3/-1 -比比 值值 0 -6 -3 0 0 6 -Z 1 1 -1 0 0 0 -3 -1 1 0 0 -6 -1 0 1 2 -1 -1 y1 y4 y5 -3 0 0 -3 -9 0 0 0 y1 y2 y3 y4 y5 cj yj b XB CB 0 0 -1 -2 0 8 -Z 1 0 -4/3 1/3 0 0 1 1/3 -1/3 0 0 0 1 -2 1 5/3 1/3 1 y1 y2 y5 -3 -9 0 -3 -9 0 0 0 y1 y2 y3 y4 y5 cj yj b XB CB最优解是最优解是Y*=（5/3，1/3，0，0，1）T，目标函数最优值为目标函数最优值为Wmin=-Zmax=8 思考题：思考题：能否不要化为标准型，直接按能否不要化为标准型，直接按 极小化问题用单纯形表格迭代求解？极小化问题用单纯形表格迭代求解？（结合课后小组讨论（结合课后小组讨论4一并思考研究）一并思考研究）