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1、阜南第五初级中学阜南第五初级中学 张俊奇张俊奇 这些图形拼成一个平面图案的共这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么同特征是什么？平面镶嵌平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。拼一拼拼一拼 选一选选一选 小明家装修地板小明家装修地板,在正三角形在正三角形,正方形正方形,正五边形正五边形,正正六边形瓷砖中只能选择一种六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择你认为哪些可以供他选择?6 6 6060 0 0 9
2、090 0 0108108 0 0 120120 0 04 43 33 34 4能镶嵌能镶嵌能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌有空隙有空隙能镶嵌能镶嵌60 6=360 0 0 0 090 4=360 0 0 0 01083360108 4360 0 0 0 0120 3=360 0 0 0 0不能镶嵌不能镶嵌有重叠有重叠实实 验验 结结 果果正正n n边形边形拼图拼图每个内角度数每个内角度数 多边形个数多边形个数结果结果 n=3n=3 n=4n=4 n=5n=5 n=6n=6规律规律:当正多边形的一个内角当正多边形的一个内角度数能被度数能被360 整除整除 时，时，这种正多边形就能镶嵌这种正多边形就
3、能镶嵌.思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?假设正多边形的边数为假设正多边形的边数为n,n,由由K K个正多边形恰好个正多边形恰好可以镶嵌时可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的则这些铺在一个顶点处的K K个正多边形个正多边形的的K K个内角和应等于个内角和应等于而正而正n n边形的每个内角的度数为边形的每个内角的度数为 ,所以所以,可得方程可得方程 整理整理,得得 K(n-2)=2n,K(n-2)=2n,所以所以因为因为K,nK,n为正整数为正整数,故故n n只能等于只能等于3 3、4 4、6.6.360,360,这说明只用一种正多边形镶嵌这说明只用一种正多边形镶嵌,
4、正多边形只正多边形只有三种选择有三种选择:正三角形正三角形,正方形和正六边形正方形和正六边形.问题：小明的爸爸在装修过程问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么形状、大小完全相同的任意四边么形状、大小完全相同的任意四边形能不能呢？形能不能呢？231231231231231231231231231231用形状、大小完全相同的用形状、大小完全相同的任意三角形的镶嵌任意三角形的镶嵌2413241324132413241324132
5、41324132413241324132413 用形状、大小完全相同的任意 四边形进行镶嵌。用形状、大小完全相同的任意 四边形进行镶嵌。用形状、大小完全相同的任意 四边形进行镶嵌。任意三角形和任意四边形任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌可以进行平面镶嵌,但若想实现但若想实现连续铺设，还应将相等的边重连续铺设，还应将相等的边重合在一起。合在一起。想一想想一想 如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢你又会选择哪两种呢?解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有x x个正三角形个正三角形和和y y个正四边形个正四边形,则则:60 60 x+
6、90 x+90 y=360 y=360 即即:2x+3y=122x+3y=12又又x x、y y是正整数是正整数,解得解得:x=3,y=2.:x=3,y=2.即每个顶点处用正三角形的三个即每个顶点处用正三角形的三个内角内角,正方形的两个内角进行拼接正方形的两个内角进行拼接.正三角形和正方形正三角形和正方形的平面镶嵌的平面镶嵌正多边形正多边形拼拼 图图正三角形和正三角形和正六边形正六边形m60+n120=36060+n120=360260+2120=36060+2120=360460+1120=36060+1120=360解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有mm个正三角形和个正三角形和n n
7、个正六边形个正六边形,60 60 m+120 m+120 n=360 n=360,即即:m+2n=6:m+2n=6，又，又mm、n n是正整数是正整数,解得解得:即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两或者用两个正三角形和两个正六边形个正三角形和两个正六边形.正十二边形与正三角形正十二边形与正三角形的平面镶嵌的平面镶嵌正正八八边边形形与与正正方方形形的的平平面面镶镶嵌嵌正十边形与正五边正十边形与正五边形的平面镶嵌形的平面镶嵌 两种正多边形拼接在同一点两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于的各个角的和恰好等于360,这这两种正多边形就能镶嵌
8、两种正多边形就能镶嵌.你能用三种边长相等的正多边形设计你能用三种边长相等的正多边形设计一个图案吗？试试吧一个图案吗？试试吧!请你来当设计师请你来当设计师正三角形与正方形、正三角形与正方形、正六边形的平面镶正六边形的平面镶嵌嵌正十二边形正十二边形与正方形、与正方形、正六边形的正六边形的平面镶嵌平面镶嵌 如果用三种不同的等边长正多边形镶如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？只能有一个。那么边数满足什么条件？解：设正多边形的边数分别为解：设正多边形的边数分别为m、n、tm(m2)180n(n2)180t(t2)180+=3603 2（+）=2m1t1n1m1+=n1t1211 1、平面镶嵌的定义、平面镶嵌的定义.2 2、正多边形平面镶嵌的条件、正多边形平面镶嵌的条件.3 3、关注身边的数学、关注身边的数学,关注数学中的美关注数学中的美.小结小结镶嵌之父镶嵌之父 M.C.埃舍尔是荷兰的现代版画艺术家、“图形艺术家”，他是一个将艺术与数学融合的画家，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之父”。埃埃舍舍尔尔的的作作品品欣欣 赏赏