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1、1 1.4 4 生活中的优化问题生活中的优化问题举例（一）举例（一）武山二中武山二中杜杜 伟伟一、如何判断函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？1.求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域；）确定定义域；（2）求导数）求导数f(x)；（3）求）求f(x)=0的根；的根；（4）列表；）列表；（5）判断。）判断。2.求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2)将将y=f(x)的各极值
2、与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。复习前节复习前节 特别地特别地，如果函数在给定区间内，如果函数在给定区间内只有一个只有一个极值点，这个极值极值点，这个极值一定是最值一定是最值。想一想！想一想！看一看！看一看！这是什这是什么？么？如果你是制作如果你是制作海报的，海报的大海报的，海报的大小对你有什么影响小对你有什么影响？生活中经常遇到求利润最大、产量求利润最大、产量最大、用料最省、成本最低、效率最高等最大、用料最省、成本最低、效率最高等实际问题实际问题，这些问题通常称为优化问题。优化问题。解决优化问题的本质就是求函数的最值。解决优化问题的本质就是求函
3、数的最值。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题。情景导入情景导入 例：例：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，
4、你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？例题讲解例题讲解思考思考1 1：版心面积为定值版心面积为定值128dm128dm2 2，海报的面积是否，海报的面积是否也为定值？也为定值？思考思考2 2：设版心的高为设版心的高为x x，则海报，则海报的面积为多少？海报四周空白的的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？面积为多少？思考思考3 3：设海报四周空白的面积为设海报四周空白的面积为S(x)S(x)，则，则S(x)S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？的最简表达式如何？其定义域是什么？思考思考4 4：如何设计
5、海报的尺寸，才能使四周空白面如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？积最小？你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行不？不等式行不？因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。2、在实际应用题目中，若函数、在实际应用题目中，若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即即是所求的最大值或最小值是所求的最大值或最小值.1、设出变量列出函数关系式，
6、、设出变量列出函数关系式，并确定出定义域并确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。所得结果符合问题的实际意义。解题说明解题说明解法二（基本不等式）：解法二（基本不等式）：例题讲解例题讲解答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周时，能使四周空白面积最小。空白面积最小。练习练习1：将一段长为：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？形，则这个矩形面积的最大值为多少？解：解：结论结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。课堂练习课堂练习练习练习2:在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四
7、角切去边长的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形相等的正方形,再把它的边沿虚线折起再把它的边沿虚线折起(如图如图),做成一个做成一个无盖的方底铁皮箱无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时箱底边长为多少时,箱子容积最大箱子容积最大?最大容积是多少最大容积是多少?xh 课堂课堂 练习练习xhxh解：解：设箱底边长为设箱底边长为 x,箱子容积为箱子容积为由由解得解得 x1=0(舍舍),x2=40.当当x(0,40)时时,V(x)0;当当x(40,60)时时,V(x)0.函数函数V(x)在在x=40处取得极大值处取得极大值,这个这个极大值就是函数极大值就是函数V(x)的最大值的最大值.答答 当箱箱底边长为
8、当箱箱底边长为40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大值为最大值为16000cm3解决优化问题的基本思路是：解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。小小 结结2.解决生活中的优化问题的基本步骤解决生活中的优化问题的基本步骤（1）、）、建立实际问题的数学模型，即列出函数建立实际问题的数学模型，即列出函数 关系式关系式 ，并写出定义域；，并写出定义域；（2）、）、求函数的导数求函数的导数 ，求出极值点，求出极值点;（3）、）、确定最大（小）值；确定最大（小）值；（4）、）、作答。作答。小小 结结布置作业布置作业课本课本P37 习题习题1.4A组组 1、2、5 新学案新学案 P22、23、24