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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例学习目标学习目标v1、体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，v2、形成求解优化问题的思路和方法。v3、通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养自己发散思维能力。v4、提高将实际问题转化为数学问题的能力。复习引入复习引入问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？生活中的什么问题有什么作用呢？问
2、题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？么问题呢？生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为高等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题通通 过前面过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题优化问题新知探究新知探究问题问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面
3、？1、与几何有关的最值问题；2、与利润及其成本有关的最值问题；3、效率最值问题。问题问题2：解决优化问题的方法有哪些？首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具问题问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？1 1、海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计【分析】【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值先建立目标函数，然后利用导数求最值.【规范解答规范解答】【引申思考引申思考】一个函数在某个区间上若只有一个极
4、值，则该极值即一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。为这个区间上的最值。答在实际问题中，由于答在实际问题中，由于=0常常只常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在 的变化的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。的最大（小）值。【一题多解一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？对于本题的最值你是否还有别的解法？【变式练习变式练习】在边长为在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再
5、把它的边沿虚线折起把它的边沿虚线折起(如图如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【规范解答规范解答】【一题多解一题多解】对于本题你是否还有别的解法？对于本题你是否还有别的解法？【反思提高反思提高】【问题引领问题引领】2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？）是不是饮料瓶越大，饮料
6、公司的利润越大？【背景知识背景知识】【问题问题】（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【分析】【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.【规范解答规范解答】【新视角解答新视角解答】【背景知识背景知识】3.磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心
7、轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或或1，这个基本单元通常被称为比特（这个基本单元通常被称为比特（bit）。）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用，每比特所占用的磁道长度不得小于的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。磁道要具有相同的比特数。【问题问题】【规范解答规
8、范解答】【例题小结例题小结】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较【特别提醒特别提醒】巩固练习巩固练习1.1.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到达到100100人的团体，每人收费人的团体，每人收费10001000元。如果团体的人元。如果团体的人数超过数超过100100人，那么每超过人，那么每超过1 1人，每人平均收费降低人，每人平均收费降低5 5元，但团体人数不能超过元，但团体人数不能超过180180人，如何组团可使
9、旅行人，如何组团可使旅行社的收费最多社的收费最多?(?(不到不到100100人不组团人不组团)【分析】【分析】先列出问题的文字模型先列出问题的文字模型(标准收费数标准收费数-降低的收费数降低的收费数),再转化为数学模型再转化为数学模型.【规范解答规范解答】2.2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？【规范解答规范解答】【变式练习变式练习】当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？课堂小结课堂小结1导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（4）效率最值问题。2.利用导数解决优化问题的基本思路：