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1、问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,并成一并成一组组问题问题
2、2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,按照一按照一定的顺序定的顺序排成一列排成一列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？概念讲解概念讲解一个组合定义一个组合定义:组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从
3、n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元个元素，素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素中个不同元素中取出取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设
4、集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有共有多少种分法多少种分法?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手共需握手多少次多少次?组合问题组合
5、问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d ,写出每次取
6、出两个元素的写出每次取出两个元素的所有组合所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)概念理解概念理解1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练练一练练一练练一练组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，
7、怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?如何计算如何计算:组合数公式根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 这里 ，且 ，这个公式叫做组合组合组合组合数公式数公式数公式数公式 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式:概念讲解概念讲解例例1 1计计算：算：例例2.2.甲
8、、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析选选(4)(4)求求例例3.3.平面内有平面内有1010个点，其中任意个点，其中任意3 3个点不共线，个点不共线，以其中任意以其中任意2 2个点为端点的个点为端
9、点的 (2)(2)有向线段有多少条？有向线段有多少条？例题分析例题分析（1）线段共有多少条？）线段共有多少条？排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数公式组合数公式组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系课堂小结课堂小结复习巩固：复习巩固：1 1、一个组合定义、一个组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成并成一组一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，个元素的所有组合的个
10、数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.2 2、组合数、组合数:3、组合数公式、组合数公式:(P14)3、方程方程 的解集的解集_(P14)6、分析分析:n=13+7=20分析分析：x=3x-8,x+(3x-8)=28例例4：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验时检验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的
11、3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类法或间接法求解。法或间接法求解。P14.变式训练变式训练3：男运动员：男运动员6名，女运动员名，女运动员4名，名，其中男女队长各其中男女队长各1人，现选派人，现选派5人外出比赛人外出比赛.在下列情形中各有多少选派方法？在下列情形中各有多少选派方法？(1)男运动员男运动员3名，女运动员名，女运动员2名；名；（2）至少）至少1名女运动员名女运动员;(3)队长中至少队长
12、中至少1人参加人参加.P15、7、现有现有12件产品，其中件产品，其中5件一级品，件一级品，4件二级品，件二级品，3件三级品，从中取出件三级品，从中取出4件使得：件使得：（1）至少）至少1件一级品，共有几种取法？件一级品，共有几种取法？（2）至多）至多2件一级品？件一级品？（3）不都是一级品？）不都是一级品？（4）都不是一级品？）都不是一级品？一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，有个黑球，有多少种取法？多少种
13、取法？从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少个球，使其中不含黑球，有多少种取法？种取法？解：解：（1）性质性质2性质性质2 注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用例例5、计算：、计算：例例6、（、（1）.将四个小球分成两组，每组两将四
14、个小球分成两组，每组两个，有多少分法？个，有多少分法？3种种（2）、将四个小球分给两人，每人两个，）、将四个小球分给两人，每人两个，有多少分法？有多少分法？甲甲甲甲乙乙乙乙6种种（3）、将四个小球分成两组，一组三个，）、将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，有多少分法？一组一个，有多少分法？4种种（4）、将四个小球分给两人，一人三个，）、将四个小球分给两人，一人三个，一人一个，有多少分法？一人一个，有多少分法？甲甲乙乙甲甲乙乙8种种一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题例例7、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲
15、、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）甲得）甲得1本、乙得本、乙得1本、丙得本、丙得4本；本；（6）甲乙丙三人，一人的）甲乙丙三人，一人的4本，另外两人每人得本，另外两人每人得1本；本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。练习：练习：(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件
16、分成三份件分成三份,二份各二份各1件件,另一份另一份4件件,有多少种分法有多少种分法?(2)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每人二件有多少种分法人二件有多少种分法?解解:(1)(2)例例8、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（种（B）种种（C）种种 （D）种种二、不相邻问题
17、插空法二、不相邻问题插空法三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例9、对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次件不同的次品品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第次品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方则这样的测试方法有种可能？法有种可能？四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例10、从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:练习练习1、将、将8个学生干部的培训指标分配
18、给个学生干部的培训指标分配给5个不同的个不同的班级，每班至少分到班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分个名额，共有多少种不同的分配方法？配方法？练习练习2、将、将7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4个不同盒子，个不同盒子，每盒至少每盒至少1球的放法有多少种？球的放法有多少种？例例11、某车间有、某车间有11名工人，其中名工人，其中5名男工是钳工，名男工是钳工，4名女工是名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派名工人里选派3名钳工，名钳工，3名车工修理一台车床，名车工修理一台车床，有多少种不同
19、的选派法？有多少种不同的选派法？练习练习1：按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；P14.变式训练变式训练3：男运动员：男运动员6名，女运动员名，女运动员4名，名，其中男女队长各其
20、中男女队长各1人，现选派人，现选派5人外出比赛人外出比赛.在下列情形中各有多少选派方法？在下列情形中各有多少选派方法？(1)男运动员男运动员3名，女运动员名，女运动员2名；名；（2）至少）至少1名女运动员名女运动员;(3)队长中至少队长中至少1人参加人参加.（4）既要有队长，又要有女运动员）既要有队长，又要有女运动员变式训练变式训练2、将将4个编号为个编号为1，2，3，4的小球放入的小球放入4个编号个编号为为1，2，3，4的盒子中。的盒子中。（1）有多少种放法？）有多少种放法？（2）盒至多一球？）盒至多一球？（3）恰好有一个空盒？）恰好有一个空盒？变式变式1：恰有一盒放俩球？：恰有一盒放俩球？
21、变式变式2：恰有一盒不放球？：恰有一盒不放球？（4）每盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号）每盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号 与盒子的编号相同？与盒子的编号相同？（5）把）把4个不同的球换成个不同的球换成4个相同的小球，恰有一个空盒？个相同的小球，恰有一个空盒？（6）恰有俩盒不放球？）恰有俩盒不放球？例例11、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。只鞋子
22、只有一双。教材教材P35.10（1）将）将6名应届大学毕业生分给名应届大学毕业生分给2个用人单位，每个单位个用人单位，每个单位 至少至少2名，一共有多少种不同的分配方案？名，一共有多少种不同的分配方案？（2）某公司将）某公司将6个招聘名额分给个招聘名额分给3个下属单位，一个单位个下属单位，一个单位 3个名额，一个单位个名额，一个单位2个名额，一个单位个名额，一个单位1个名额，个名额，一共有多少种不同的分配方案？一共有多少种不同的分配方案？P36:2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为所学校为学生体检学生体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分不同的分配方法共有多少种配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.