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1、22.2反证法反证法学习目标学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题数学问题知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案 22.2反反证证法法课堂互动讲练课堂互动讲练课前自主学案课前自主学案综综合合法法是是“_”，而而分分析析法法则则是是“_”它它们们是是截截然然相相反反的的两两种种证证明明方方法法，分分析析法法便便于于我我们们去去寻寻找找思思路路，而而综综合合法法便便于于过过程程的的叙叙述述，两两种种方方法法各各有有所所长长，在在解解决决具具体体的的问问题题时时，综综
2、合合运运用效果会更好用效果会更好温故夯基温故夯基由因导果由因导果执果索因执果索因1反反证证法法假假设设原命原命题题_(即在原命即在原命题题的条件下，的条件下，结论结论不不成立成立)，经过经过正确的推理，最后得出矛盾，因此正确的推理，最后得出矛盾，因此说说明明_，从而，从而证证明了明了_，这这种种证证明明方法叫做反方法叫做反证证法法2反反证证法常法常见见矛盾矛盾类类型型反反证证法的关法的关键键是在正确的推理下得出矛盾，是在正确的推理下得出矛盾，这这个个矛盾可以是与矛盾可以是与_、_、_、_等矛等矛盾盾知新益能知新益能不成立不成立假设错误假设错误原命题成立原命题成立已知条件已知条件公理公理定义定义
3、定理定理用反用反证证法法证证明命明命题题“若若p，则则q”时时，为为什么什么 q假假q就真？就真？提示：提示：在在证证明数学命明数学命题时题时，要，要证证明的明的结论结论要么正要么正确，要么确，要么错误错误，二者必居其一，所以命，二者必居其一，所以命题结论题结论q的的反面反面 q错误时错误时，q就一定正确就一定正确问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一 用反证法证明否定性用反证法证明否定性命题命题考点突破考点突破结结论论中中含含有有“不不”、“不不是是”、“不不可可能能”、“不不存存在在”等等词词语语的的命命题题，此此类类命命题题的的反反面面比比较较具具体体，适于应用反证法适于应
4、用反证法【思路点思路点拨拨】直接直接说说明，不易入手，故明，不易入手，故应应用反用反证证法法.例例1【思思维总结维总结】本本题题涉及方程的根，所以涉及方程的根，所以应应从根从根的范的范围围上或者从上或者从值值域的表达式上域的表达式上寻寻找矛盾找矛盾变变式式训练训练1已知已知abc0，求，求证证：abbcca不大于零不大于零证证明：明：假假设设abbcca0，因因为为a2b2c20.则则(a2b2c2)2(abbcca)0.所以所以(abc)20，即，即abc0，这这与与abc0矛盾，所以假矛盾，所以假设设不成立，故不成立，故abbcca0.当命当命题题中出中出现现“至少至少”、“至多至多”、“
5、不都不都”、“都不都不”、“没有没有”、“唯一唯一”等指示等指示性性词语时词语时，宜用反，宜用反证证法注意法注意“至少有一个至少有一个”、“至至多有一个多有一个”、“都是都是”的否定形式分的否定形式分别为别为“一个也没一个也没有有”、“至少有两个至少有两个”、“不都是不都是”考点二考点二 用反证法证明存在性用反证法证明存在性问题问题 已知已知a1，求，求证证三个方程：三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有中至少有一个方程有实实数解数解例例2【思思维总结维总结】反反证证法的主要依据是法的主要依据是逻辑逻辑中的排中的排中律，排中律的一般表中律，排中律
6、的一般表现现形式是：或者是形式是：或者是A，或，或者非者非A，即在同一，即在同一讨论过讨论过程中，程中，A和非和非A有一个且有一个且仅仅有一个是有一个是对对的，不能有第三种情形出的，不能有第三种情形出现现结论结论以以“有且只有一个有且只有一个”、“只有一个只有一个”、“唯一存在唯一存在”等形式出等形式出现现的命的命题题，由于反，由于反设结论设结论易于易于导导出矛盾，出矛盾，所以用反所以用反证证法法证证其唯一性其唯一性简单简单明了明了 已知：一点已知：一点A和平面和平面.求求证证：经过经过点点A只能有一条直只能有一条直线线和平面和平面垂直垂直考点三考点三 用反证法证明唯一性用反证法证明唯一性问题
7、问题例例3【思路点拨思路点拨】【证证明明】根据点根据点A和平面和平面的位置关系，分两种的位置关系，分两种情况情况证证明明图图1(1)如如图图1，点，点A在平面在平面内，假内，假设经过设经过点点A至少有平至少有平面面的两条垂的两条垂线线AB、AC，那么，那么AB、AC是两条相是两条相交直交直线线，它，它们们确定一个平面确定一个平面，平面，平面和平面和平面相相交于交于经过经过点点A的一条直的一条直线线a.因因为为AB平面平面，AC平面平面，a，所以，所以ABa，ACa，在平面，在平面内内经过经过点点A有两条直有两条直线线都和直都和直线线a垂直，垂直，这这与平面几何中与平面几何中经过经过直直线线上一
8、点上一点只能有已知直只能有已知直线线的一条垂的一条垂线线相矛盾相矛盾(2)如如图图2，点，点A在平面在平面外，假外，假设经过设经过点点A至少有平至少有平面面的两条垂的两条垂线线AB和和AC(B、C为为垂足垂足)，那么，那么AB、AC是两条相交直是两条相交直线线，它，它们们确定一个平面确定一个平面，平面，平面和平面和平面相交于直相交于直线线BC，因，因为为AB平面平面，AC平面平面，BC，所以，所以ABBC，ACBC.图图2在平面在平面内内经过经过点点A有两条直有两条直线线都和都和BC垂直，垂直，这这与与平面几何中平面几何中经过经过直直线线外一点只能有已知直外一点只能有已知直线线的一的一条垂条垂
9、线线相矛盾相矛盾综综上，上，经过经过一点一点A只能有平面只能有平面的一条垂的一条垂线线【思思维总结维总结】证证明明“有且只有一个有且只有一个”的的问题问题，需，需要要证证明两个命明两个命题题，即存在性和唯一性，即存在性和唯一性变变式式训练训练3求求证证方程方程2x3有且有且仅仅有一个有一个实实根根证证明：明：2x3，xlog23，这说这说明方程有一个根明方程有一个根下面用反下面用反证证法法证证明根的唯一性明根的唯一性假假设设方程方程2x3有两个根有两个根b1，b2(b1b2)，则则2b13,2b23，两式相除得，两式相除得2b1b21，如果如果b1b20，则则2b1b21，这这与与2b1b21
10、相相矛盾矛盾如果如果b1b20，则则2b1b21，这这与与2b1b21相相矛盾矛盾因此因此b1b20，则则b1b2，这这与与b1b2相矛盾相矛盾如果方程的根多于两个，同如果方程的根多于两个，同样样可推出矛盾可推出矛盾故方程故方程2x3有且只有一个根有且只有一个根方法技巧方法技巧1反反证证法不是直接去法不是直接去证证明明结论结论，而是先否定，而是先否定结论结论，在否定在否定结论结论的基的基础础上，运用演上，运用演绎绎推理，推理，导导出矛盾，出矛盾，从而肯定从而肯定结论结论的真的真实实性性方法感悟方法感悟2结论为结论为肯定形式或者否定形式的命肯定形式或者否定形式的命题题的的证证明常明常用反用反证证
11、法，通法，通过过反反设设将肯定命将肯定命题转题转化化为为否定命否定命题题或将否定命或将否定命题转题转化化为为肯定命肯定命题题，然后用，然后用转转化后的化后的命命题题作作为为条件条件进进行推理，很容易推出矛盾，从而行推理，很容易推出矛盾，从而达到达到证题证题的目的的目的3常用正面常用正面词语词语的否定形式的否定形式正面正面词语词语否定否定正面正面词词语语否定否定等于等于不等于不等于都是都是不都是不都是(至少有一至少有一个不是个不是)小于小于不小于不小于(大大于或等于于或等于)至多有至多有一个一个至少有两个至少有两个大于大于不大于不大于(小小于或等于于或等于)至少有至少有一个一个一个也没有一个也没有是是不是不是失失误误防范防范1使用反使用反证证法必法必须须先否定先否定结论结论，对对于于结论结论的反面的反面出出现现的多种可能，要逐一的多种可能，要逐一论证论证，缺少任何一种可，缺少任何一种可能，能，证证明都是不完全的明都是不完全的2反反证证法的法的“归谬归谬”要合理要合理