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1、复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用通常用分析法分析法寻求思路，再由寻求思路，再由综合法综合法书写过程书写过程。综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 明显成立的条件明显成立的条件 路边苦李路边苦李 王戎王戎7岁时岁时，与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩，看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子。小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果
2、子纷去摘取果子，只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动。王戎说王戎说：“树在道边而多子树在道边而多子，此必苦李此必苦李。”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法？这与事实这与事实矛盾。矛盾。说明说明李子是甜的这个假设李子是甜的这个假设是错的。是错的。假设假设李子不是苦的，即李子是甜的，李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗那么，树上的李子
3、还会这么多吗？所以，所以，李子是苦的李子是苦的。在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？思考思考1 1：他运用了怎样的推理方法？：他运用了怎样的推理方法？自己的前额也被涂黑了自己的前额也被涂黑了。各抒己见各抒己见假设假设自己的前额没有被涂黑自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为那么另一个哲学家也不会有异常行为,这与另一个哲学家笑个不停这与另一个哲学家笑个不停矛盾矛盾,所以所以假设假设“自己的前额没
4、有涂黑自己的前额没有涂黑”不正确不正确,于是自己的前额也被涂黑了于是自己的前额也被涂黑了。脏脸脏脸博弈博弈思考思考2:A、B、C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A、B都撒谎。则都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎，则没有撒谎，则C真。那么真。那么A假且假且B假；假；由由A假假,知知B真真.这与这与B假矛盾。那么假矛盾。那么假设假设C没有撒谎不成立；则没有撒谎不成立；则C必定必定是在撒谎，是在撒谎，探究1:认识反证法思考思考3:桌面上有桌面上有3枚正面（有面额的一面）朝上的硬币，每枚正面（有面额的一面）朝上的硬币，每次
5、用双手同时翻转次用双手同时翻转2枚硬币。能使硬币全部反面朝上？枚硬币。能使硬币全部反面朝上？那么无论怎样翻转，都不可能做到。那么无论怎样翻转，都不可能做到。你能解释这种现象吗？你能解释这种现象吗？上述现象可以用直接证明的方法解释，但是我们这上述现象可以用直接证明的方法解释，但是我们这里采用反证法。里采用反证法。假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以要翻转奇数次，所以3枚硬币全疗反面朝上时，枚硬币全疗反面朝上时，需要翻转（需要翻转（3个奇数之和）次，即使
6、翻转奇数次。个奇数之和）次，即使翻转奇数次。但由于每次用双手同时翻转但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，枚硬币，3枚硬币枚硬币被番的次数只能是被番的次数只能是2的倍数。即偶数次，这个的倍数。即偶数次，这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即使无论怎矛盾说明假设错误，原结论正确，即使无论怎样翻转都不能使样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上。枚硬币全部反面朝上。1反反证证法的定法的定义义 一般地，假一般地，假设设原命原命题题不成立，不成立，经过经过，最后得出，最后得出，因此，因此说说明假明假设设，从从而而证证明了原命明了原命题题，这样这样的的证证明方法叫做反明方法叫做反证证法。法。反反证证法是法是的一种基
7、本方法。的一种基本方法。2反反证证法法的的关关键键是是在在正正确确的的推推理理下下得得出出矛矛盾盾，这这个个矛矛盾可以是与盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与矛矛盾盾，或与定或与定义义、公理、公理、矛盾等。矛盾等。正确的推理正确的推理矛盾矛盾错误错误成立成立间接证明间接证明已知条件已知条件假设假设定理定理事实事实反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反1反反证证法法证证明数学命明数学命题题的四个步的四个步骤骤：第一步：分清命第一步：分清命题题的条件和的条件和结论结论；第二步：做出与命第二步：做出与命题结论题结论相矛盾的假相矛盾的假设设；第第三三步步：由由假假设设出出发发，应应用用演演绎绎
8、推推理理方方法法，推推出出矛矛盾的盾的结结果；果；第第四四步步：断断定定产产生生矛矛盾盾结结果果的的原原因因，在在于于开开始始所所做做的的假假设设不不真真，于于是是原原结结论论成成立立，从从而而间间接接地地证证明明了了命命题为题为真。真。2.常见的主要矛盾有：常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾与公认的简单事实矛盾。探究2：了解反证法3反反证证法法适适宜宜证证明明存存在在性性、唯唯一一性性、带带有有“至至少少有有一一个个”或或“至多有一个至多有
9、一个”等字等字样样的一些数学的一些数学问题问题。4用用反反证证法法证证明明不不等等式式，常常用用的的否否定定形形式式有有：“”的的反反面面为为“”；“”的的反反面面为为“”；“及及b0ab0，那么，那么例例3 3：已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除，求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数，则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数)a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已
10、知矛盾。是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。说说明明(1)反反证证法法是是利利用用原原命命题题的的否否定定不不成成立立则则原原命命题题一一定定成成立立来来进进行行证证明明的的，在在使使用用反反证证法法时时，必必须须在在假假设设中中罗罗列列出出与与原原命命题题相相异异的的结结论论，缺缺少少任任何何一一种种可可能能，反反证证法都是不完全的。法都是不完全的。(2)对对于于否否定定性性命命题题或或结
11、结论论中中出出现现“至至多多”、“至至少少”、“不不可可能能”等等字字样样时时，常常用用反反证法。证法。1、直接证明困难，原因何在？、直接证明困难，原因何在？情况很多，分类讨论。情况很多，分类讨论。条件太少直接证明找不到突破口。条件太少直接证明找不到突破口。反证法主要用于以下两种情形：反证法主要用于以下两种情形：1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。推出结论的线索不够清晰。2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形
12、。而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于对于“不可能，至少，唯一性不可能，至少，唯一性”等题目常用。等题目常用。课堂小结：课堂小结：我来告诉你我来告诉你 1.存在性问题存在性问题2.否定性问题否定性问题3.唯一性问题唯一性问题4.至多、至少类问题至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！大家议一议！规律方法规律方法当结论中含有当结论中含有“不不”、“不是不是”、“不可能不可能”、“不存在不存在”等词语的命题，此类问等词语的命题，此类问题的反面比较具体，
13、适于应用反证法例题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。设作为已知条件推导出矛盾。名家情系反证法名家情系反证法 反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具。题的有力工具。牛顿说：牛顿说：“反证法是数学家最精当反证法是数学家最精当的武器之一的武器之一”。英国数学家哈代也曾这样称赞它：英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！全局拱手让给对方！”-德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。同学们，学了这节课，你们有何体会？反思与收获反思与收获你能谈谈举反例与反证法你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？