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1、 对于对于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等等代数式，数学上统称为代数式，数学上统称为二项式二项式，其一般形式为：，其一般形式为：(ab)n（nN*）二项式二项式 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，因此，二项式定理二项式定理研究的是研究的是(ab)n展开后的表达式的一般结构。展开后的表达式的一般结构。那么那么(ab)n 的展开式的展开式是什么呢？是什么呢？一、一、问题问题引入引入什么是二什么是二项项式，二式，二项项式定理研究的是什么？式定理研究的是什么？二、二、讲讲授新授新课课问题问题1：有有2个口袋，每个口袋都同样装有个口袋
2、，每个口袋都同样装有a,b两个两个小球，现依次从这小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？请分别用列举法、分类计数原理进行分析。列举法列举法：aa，ab，ba，bb 共共4种种.问题问题1：有有2个口袋，每个口袋都同样装有个口袋，每个口袋都同样装有a,b两两个小球，现依次从这个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？共有多少种不同的取法？分类计数原理分类计数原理：由于由于b选定后选定后,a也随之确定，因此：也随之确定，因此：第一类，两次都不取第一类，两次都不取b（即两次都取（即
3、两次都取a），有），有 1种取法，种取法，第二类，任一次取第二类，任一次取b（即另一次取（即另一次取a），有），有 2种取法；种取法；第三类，两次都取第三类，两次都取b（即两次都不取（即两次都不取a），有），有 1种取法。种取法。共共4种种.问题问题2：请将：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理逐项展开并整理思考思考：问题：问题2与问题与问题1的处理过程之间有何的处理过程之间有何异同点异同点？同：同：展开的过程就是取球的过程；展开的过程就是取球的过程；异：异：取球取球ab，ba属两种方法，展开式中的属两种方法，展开式中的ab，ba可合并同类项。可合并同类项。整理后，各项系数整理后，各项系数为
4、各项在展开式中出现的次数，为各项在展开式中出现的次数，即即取球问题中分类计数原理的各类结果数。取球问题中分类计数原理的各类结果数。问题问题4：有有3个口袋，每个口袋都同样装有个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小两个小球，现依次从这球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？少种不同的取法？请用分类计数原理进行分析请用分类计数原理进行分析问题问题5:探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式.问：问：合并同类项前的展开式中，共有几项？合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？每项的次数为
5、几次？每项的次数为几次？项的形式：项的系数：项的系数：展开式：探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式.问：合并同类项后的展问：合并同类项后的展开式中，共有几项？开式中，共有几项？每项的次数为几次？每项的次数为几次？展开式项的排列方式如展开式项的排列方式如何？（按照何？（按照a的降次幂的降次幂还是升次幂排列的？）还是升次幂排列的？）项的形式：项的形式：项的系数：项的系数：展开式：探究探究2 2 推导推导 的展开式的展开式.请用分步乘法计数原理请用分步乘法计数原理解释一下？解释一下？问：合并同问：合并同类项后的展类项后的展开式中，共开式中，共有几项？有几项？每项的次数每项的次数为几次？为几次？
6、展开式项的展开式项的排列方式如排列方式如何？（按照何？（按照a的降次幂还的降次幂还是升次幂排是升次幂排列的？）列的？）探究探究3 3 仿照上述过程仿照上述过程,推导推导 的展开式的展开式.二项式定理二项式定理问题问题6:1)1)公式右边的多项式叫做公式右边的多项式叫做(a+b)a+b)n n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,r=0,1,2,n,n）叫做）叫做 ；2)2)叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用T Tr+1r+1表示，表示，该项是指展开式的第该项是指展开式的第 项项.二项展开式二项展开式二项式系数二项式系数r+1r+1二项式定理二项式定理：2.二项式系数规律：二项式系数
7、规律：3.指数规律：指数规律：（1）各项的次数和均为）各项的次数和均为n；（2）二项式的第一项）二项式的第一项a的次数由的次数由n逐次降到逐次降到0，第一项第一项b的次数由的次数由0逐次逐次升到升到n.1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1项项二项式定理二项式定理 注意：注意：公式中公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。可以是单项式、多项式、任意实数。项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n，字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0,字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n.二项式定理二项式定理:一般
8、地，对于一般地，对于n N*N*，有：，有：二项展开式的结构特征：二项展开式的结构特征：展开式中项的排列方式如何？展开式中项的排列方式如何？这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研究形如究形如 的展开式问题。的展开式问题。式中 叫做二项展开式的通项，二项式定理二项式定理:一般地，对于一般地，对于n N*N*，有：，有：即（即（2）二项展开式的通项）二项展开式的通项:即（即（1）二项式系数）二项式系数:把各项的系数 叫做二项式系数为展开式的第k+1项，用 表示二项式定理，又称牛顿二项式定理，二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克由艾萨克牛顿牛顿于
9、于1664-16651664-1665年间提年间提出出二项式定理在组合理论、开高次方、二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用都有广泛的应用 定理应用，定理应用，初步体验初步体验 练习：那么对于 的展开式呢？析：问：展开式中第四项为？第四项的系数为？第四项的二项式系数为？项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积注意：注意：区别区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为典例导航典例导航（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。（3）请指出展开式的第4项的
10、系数，二项式系数。（4）求展开式中含 的项。求第4项，并指出它的二项式系数和系数是什么？巩固练习巩固练习（3 3）用）用-b-b代替代替b b：（1 1）令）令a=1a=1，b=xb=x：（2 2）令）令a=1a=1，b=1b=1：（二项式系数和公式）（二项式系数和公式）四、理论迁移（一）四、理论迁移（一）法二：先化简法二：先化简通项通项，后展开，后展开法一：直接展开法一：直接展开 例例1 1（1 1）求）求 的展开式的展开式.（2 2）求）求 的展开式的第的展开式的第4 4项的系数项的系数.（3 3）求）求 的展开式中的展开式中x x的二项式系数的二项式系数.注：注：一个二项展开式的某一项的
11、一个二项展开式的某一项的二项式系数二项式系数与与这一这一项的系数项的系数是两个不同的概念。是两个不同的概念。活学活用（一）活学活用（一）四、理论迁移（二）四、理论迁移（二）总结：总结：逆用逆用二项式定理可以二项式定理可以化简化简多项式，多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢特点，向二项展开式的形式靠拢 活学活用（二）活学活用（二）1.1.二项式定理：二项式定理：2 2典型例题典型例题(2)(2)求求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。(3)3)求二项展开式中含求二项展开式中含x的几
12、次方的项的问题。的几次方的项的问题。课堂小结课堂小结(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：(1)(1)二项式系数：二项式系数：(1)(1)求形如求形如 的展开式问题。的展开式问题。方法方法直接利用二项式定理直接利用二项式定理利用通项利用通项1 1、巩固型作业：巩固型作业：课本课本3636页页 习题习题1.3 A1.3 A组组 1 1、3 3、4 4（1 1）（）（2 2）5 52 2、思维拓展型作业思维拓展型作业：（查阅相关资料）：（查阅相关资料）（1 1）查阅有关杨辉一生的主要成就。）查阅有关杨辉一生的主要成就。（2 2）探究二项式系数）探究二项式系数 有何性质有何性质.杨辉，南宋时期杰杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学出的数学家和数学教育家教育家