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1、洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用第三章第三章 习题课习题课下页上页首页第三章第三章 习题课习题课1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理下页上页首页罗尔中值定理罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.下页上页首页拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、
2、柯西中值定理推论推论下页上页首页柯西中值定理柯西中值定理4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.下页上页首页洛必达法则洛必达法则5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理下页上页首页泰勒中值定理泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式下页上页首页常用函数的麦克劳林公式常用函数
3、的麦克劳林公式6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法下页上页首页函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法下页上页首页函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.下页上页首页定理定理
4、(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)下页上页首页定理定理(第一充分条件第一充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:下页上页首页求极值的步骤求极值的步骤步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题下页上页首页最大值、最小值问题最大
5、值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义下页上页首页曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点下页上页首页曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定理定理1 1下页上页首页曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点方法方法1:1:方法方法2:2:下页上页首页方法方法利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘函数图形的描绘下页上页首页函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化
6、趋势他变化趋势;第五步第五步下页上页首页函数图形的描绘函数图形的描绘(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式下页上页首页弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆定义定义下页上页首页例例1 1解解二、典型例题下页上页首页证明方程 有且仅有三个实根。由观察 得是方程的一个根 考查 在，上有 方程还有另两根分别在 和典型例题下页上页首页上假设还有第4个根，设其为 则连续三次使用罗尔定理有，但，引起矛盾 方程有且仅有三根 典型例题例例2 2解解下页上页首页典型例题例例6 6解解下页上页首页典型例题若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处
7、具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有下页上页首页典型例题解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为下页上页首页典型例题例例7 7解解奇函数奇函数下页上页首页典型例题下页上页首页典型例题列表如下列表如下:下页上页首页典型例题极大值极大值拐点拐点极小值极小值下页上页首页典型例题作图作图下页上页首页典型例题测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题下页上页首页测测 验验 题题测验题答案测验题答案下页上页首页测验题答案测验题答案七、七、下页上页首页测验题答案测验题答案