最新同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课幻灯片.ppt

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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容上页上页下页下页返回返回上

2、页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回6 6、导数的应用、导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbab

3、axfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxx

4、xxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值

5、可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, )(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理

6、定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那那末末(1)当当0)(0 xf时时, 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值;(2)当当0)(0 xf时时, 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在

7、驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :

8、1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;)(,2)()()2(,)(212121的的上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末称称恒恒有有两两点点上上任任意意如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设IxfxfxfxxfxxIIxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回;)(,2)()()2(,212121的的上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称恒恒有有上上任任意意两两点点如如果果对对

9、区区间间IxfxfxfxxfxxI ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理

10、 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的的拐拐点点曲曲线线是是那那末末而而且且

11、的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导在在设设函函数数xfyxfxxfxfxxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确确定定函函数数)(xfy 的的定定义义域域,对对函函数数进进行行奇奇偶偶性性、周周期期性性、曲曲线线与与坐坐标标轴轴交交点点等等性性态态的的讨讨论论,求求出出函函数数的的一一阶阶导导数数)(xf和和二二阶阶导导数数)(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函数定义在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的

12、定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还

13、需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.1.120dxyds 弧弧微微分分.lim.200dsdKs 曲曲率率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在

14、点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy 定义定义,是曲率中心是曲率中心D.是曲率半径是曲率半径 .1,1 kk曲曲率率圆圆.30上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1.65,6sinln的正确性的正确性上上在在验证罗尔定理对验证罗尔定理对 xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上上连连续续且且在在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并并且且2ln 二、典型例题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.65,6sinln的的条条件件上上满满足足罗罗尔尔定定理理在在函函数数 xy, 0cot xy由由内显然有解

15、内显然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求求极极限限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原原式式.21 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使

16、使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1 , 0)(上上连连续续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使使得得),1 , 0( 存存在在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,

17、得得)()( ff .)()(bafbfa 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证证明明不不等等式式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是是凹凹的的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxf

18、xfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展展成成一一阶阶泰泰勒勒公公式式处处把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又由又由 x,212

19、10 x21)(0 xf于是有于是有.,0可可知知命命题题成成立立的的任任意意性性由由 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例6 6.,)1 ,2(sin2程程两两曲曲线线的的公公共共曲曲率率圆圆方方点点处处并并写写出出向向点点具具有有相相同同的的曲曲率率和和凹凹在在使使抛抛物物线线与与正正弦弦曲曲线线一一抛抛物物线线求求作作处处上上点点过过正正弦弦曲曲线线MMcbxaxyMxy 解解为为曲曲率率圆圆的的圆圆心心坐坐标标分分别别曲曲率率半半径径和和处处的的曲曲率率在在点点曲曲线线,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 上页

20、上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,sin)(xxfy 对于曲线对于曲线, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 对于曲线对于曲线 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解此方程组得解此方程组得,21 a,2 b.812 c故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为.8122122 xxy),0 ,2( , 1

21、 曲曲率率半半径径曲率圆的方程为曲率圆的方程为. 1)2(22 yx两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例7 7.,12并作函数的图形并作函数的图形渐近线渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy解解:)1(定义域定义域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回y 222)1()3(2 xx

22、x,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3( yx;没没有有水水平平渐渐近近线线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线直直线线yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点

23、的横坐标为驻点驻点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极极大大值值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐拐点点为为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xyoxy 1 1作图作图上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 选择题：选择题： 1 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个一元函数微分学的三个

24、中值定理的结论都有一个共同点，即（共同点，即（ ） （A A） 它们都给出了点的求法它们都给出了点的求法 . . （B B） 它们都肯定了点一定存在，且给出了求的它们都肯定了点一定存在，且给出了求的方法方法. . （C C） 它们都先肯定了它们都先肯定了 点一定存在， 而且如果满足定点一定存在， 而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算的值理条件，就都可以用定理给出的公式计算的值 . . （D D） 它们只肯定了的存在，却没有说出的值是它们只肯定了的存在，却没有说出的值是什么，也没有给出求的方法什么，也没有给出求的方法 . . 测测 验验 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页

25、返回返回2 2、 若若)(xf在在),(ba可可导导且且)()(bfaf , ,则则（ ）（A A） 至至少少存存在在一一点点),(ba ，使使0)( f；（B B） 一一定定不不存存在在点点),(ba ，使使0)( f；（C C） 恰恰存存在在一一点点),(ba ，使使0)( f；（D D） 对对任任意意的的),(ba ，不不一一定定能能使使0)( f . . 3 3已已知知)(xf在在,ba可可导导，且且方方程程 f f( (x x) )= =0 0 在在),(ba有有 两两个个不不同同的的根根 与与 ，那那么么在在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必必有有；（B B） 可可能

26、能有有；（C C） 没没有有；（D D） 无无法法确确定定. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 4 4、如果、如果)(xf在在,ba连续，在连续，在),(ba可导，可导，c为介于为介于 ba,之间的任一点，那么在之间的任一点，那么在),(ba（ ）找到两点）找到两点 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）无法确定能）无法确定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，且内可导，且 ),(bax 时，时，0)( x

27、f，又，又0)( af, ,则则（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上单调减少，且上单调减少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上单调增加，但上单调增加，但)(bf的的 正负号无法确定正负号无法确定. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 6 6、0)(0 xf是可导函数是可导函数)(xf在在0 x点点处有极值的处有极值的（ ）. .（A A） 充分条件；充分条件；（B B） 必要条件必要条件（C C） 充要条件；充要条

28、件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 条件条件. . 7 7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则值，则（ ）. . （A A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）极大值必大于极小值）极大值必大于极小值 . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 8

29、8、若在、若在),(ba内，函数内，函数)(xf的一阶导数的一阶导数0)( xf， 二阶导数二阶导数0)( xf, ,则函数则函数)(xf在此区间内在此区间内( ( ). ).（A A） 单调减少，曲线是凹的；单调减少，曲线是凹的；（B B） 单调减少，曲线是凸的；单调减少，曲线是凸的；（C C） 单调增加，曲线是凹的；单调增加，曲线是凹的；（D D） 单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的. . 9 9、设、设0)(lim)(lim xFxfaxax，且在点，且在点a的某的某 邻域中邻域中（点（点a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xF都存在，都存在， 且且0)( xF, ,则则)(

30、)(limxFxfax存在是存在是)()(limxFxfax 存在的存在的（ ）. . （A A）充分条件；）充分条件； （B B）必要条件；）必要条件； （C C）充分必要条件；）充分必要条件； （D D）既非充分也非必要条件）既非充分也非必要条件 . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 10 10、 xxxcos11coshlim0（ ）. . （A A）0 0； （B B）21 ； （C C）1 1； （D D）21. .二、求极限：二、求极限： 1 1、22limaxaxaxax （0 a） ；） ； 2 2、310)sin1tan1(limxxxx ； 3 3、)11

31、ln(lim2xxxx ； 4 4、xxxcos1sinlim0 ；上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、一个半径为三、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？ 四、若四、若0 x, ,试证试证xxxx )1ln(1. . 五、设五、设dcxbxaxxf 23)(有拐点（有拐点（1 1，2 2） ，） ， 并在该点有水平切线，并在该点有水平切线，)(xf交交x轴于点（轴于点（3 3，0 0） ，） ， 求求)(xf. . 六、确定六、确定cba,的值，使抛

32、物线的值，使抛物线cbxaxy 2 与正弦曲线在点与正弦曲线在点)1 ,2( 相切，并有相同的曲率相切，并有相同的曲率. . 七、绘出函数七、绘出函数)1ln()(2 xxf的图形的图形. . 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回八、设八、设)(xf在在1 , 0上连续，在上连续，在(0,1)(0,1)内可导，且内可导，且1)1(, 0)0( ff, ,试证：对任意给定的正数试证：对任意给定的正数ba,在在)1 , 0(内存在不同的内存在不同的 ,，使，使bafbfa )()( . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、D D； 2 2、D D； 3 3、A A； 4 4、B B； 5 5、D D； 6 6、B B； 7 7、C C； 8 8、D D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、a21； 2 2、21e； 3 3、21； 4 4、不存在、不存在. .三、三、1:2. .五、五、49434341)(23 xxxxf. .六、六、8122122 xxy. .测验题答案测验题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回七、七、xy1 1o2ln