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1、参数方程的意义参数方程的意义普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 选修选修 4-44-4（新课导入片断）（新课导入片断）坐标系的思想是坐标系的思想是1717世纪著名哲学家、数学家世纪著名哲学家、数学家笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题中比较系统地提出来的笛卡儿的工作标志着数中比较系统地提出来的笛卡儿的工作标志着数学的发展进入了一个新的时代，为牛顿学的发展进入了一个新的时代，为牛顿莱布尼莱布尼兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础实兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础实际上，坐标系不仅仅是解析几何的基础，也是研际上，坐标系不仅仅
2、是解析几何的基础，也是研究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基础坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想础坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数表示，也可以给出代数问题的几何背景表示，也可以给出代数问题的几何背景T：现现在在我我们们这这样样建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系，每每一一个个同同学学对对应应着着第第一一象象限限的的一一个个格格点点，第第一一排排同同学学的的纵纵坐坐标标是是
3、1,第第一一列列同同学学的的横横坐坐标标是是1，相相邻邻两两个个同同学学的的间间距距是是1个个单单位位下下面面，我我就就按按坐坐标标来来提提问问首首先先请请(1,2)同学回答你对应的点到原点的距离是多少同学回答你对应的点到原点的距离是多少?S(1,2):T:请请(3,3)同学计算经过你和第一位同学对应的点的同学计算经过你和第一位同学对应的点的直线斜率直线斜率.S(3,3):T:(5,4)同学同学,你对应的点在刚才两点所确定的直线上你对应的点在刚才两点所确定的直线上吗吗?为什么为什么?S(5,4):在在!因为刚才两点确定的直线因为刚才两点确定的直线 l:即即 x-2y+3=0 经过点经过点(5,
4、4).T:完全正确完全正确!下面大家猜猜我该提问谁了下面大家猜猜我该提问谁了?(学生先茫然，后议论纷纷学生先茫然，后议论纷纷)T:回想一下回想一下,我第我第1 次喊的是次喊的是(1,2),第第2 次喊的是次喊的是(3,3),第第3 次喊的是次喊的是(5,4),那么第那么第4 次该论到谁呢次该论到谁呢?如果猜出来了如果猜出来了,大家都向她瞧大家都向她瞧!(逐渐地逐渐地,有人把目光投向有人把目光投向(7,5)同学同学,接着她自己站起来了接着她自己站起来了).).T:为什么是你呢为什么是你呢?S(7,5):因为点因为点(7,5)在直线在直线 x-2y+3=0 上上.T:该直线上不止一个整点，为什么轮
5、到该直线上不止一个整点，为什么轮到(7,5)呢呢?S(6,1):横坐标是连续的奇数横坐标是连续的奇数,纵坐标是从纵坐标是从2开始的自然开始的自然数数.T：很很好好！再再想想一一想想，为为什什么么第第4次次轮轮到到(7,5)?照照此此规规律律，我我第第8次次又又该该喊喊谁谁呢呢?请请考考虑虑一一下下横横坐坐标标和和纵纵坐坐标标分别与我喊的分别与我喊的序号序号有什么关系有什么关系?S(4,3)：纵坐标是序号加：纵坐标是序号加1,横坐标是第横坐标是第“序号序号”个奇数个奇数.T:能用能用数学语言来表示吗数学语言来表示吗?S(2,4)：设设序序号号为为n,则则 x=2n-1,y=n+1.也也就就是是说
6、说 x，y分分别是别是 n 的函数的函数.S(2,6)：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是公差为公差为 2 和和 1 的等差数列的等差数列.在在刚刚才才的的讨讨论论中中,我我们们发发现现x与与y的的关关系系不不明明显显,但但它它们们都都是是变变数数n的的函函数数,而而变变数数n 既既沟沟通通了了x与与y 的的联联系系,又又刻刻画画了了动动点点的的运运动动规规律律,功功不不可可没没!我我们们还还不不难难发发现现,当当变变数数n在在正正整整数数集集合合中中取取值值时时,点点(x,y)的的轨轨迹迹是是直直线线 x-2y+3=0 上上孤孤立立的的点点列列
7、;当当 n 在在实实数数集集合合中中取取值值时时,点点(x,y)的轨迹是直线的轨迹是直线 x-2y+3=0.也就是说，直线也就是说，直线l:x-2y+3=0上任意一点上任意一点的坐标都是某个变数的坐标都是某个变数t 的函数的函数:并且对于每一个实数并且对于每一个实数t,由方程组由方程组(1)所确定的所确定的点点M(x,y)都在直线都在直线l 上上.方程组方程组 表示直线表示直线.我们把它叫做直线的我们把它叫做直线的参数方程参数方程,t 叫做叫做参变数参变数,简称为简称为参数参数.(x-2y+3=0 叫做普通方程叫做普通方程)结论结论T：直线的参数方程，你还能写出别的曲线的参数方程吗？：直线的参
8、数方程，你还能写出别的曲线的参数方程吗？单位圆上的点能用一个变量来表示吗？你能写出单位圆的参数方程吗？xcosysin你能写出单位圆的方程吗？单位圆的参数方程x2y21抛以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆呢？例1求椭圆的参数方程例2求炮弹运行轨迹的参数方程(略)参数的作用：参数的作用：沟通动点坐标的联系沟通动点坐标的联系,刻画动点运动的规律刻画动点运动的规律.一一般般地地，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线C上上任任意意一一点点M的的坐坐标标x和和y都都可可以以表表示示为为某某个个变变量量t 的的函函数数 ，反反过过来来，对对于于t 的的每每个个允允许许的的值值，由由方方
9、程程组组(1)所所确确定定的的点点M(x,y)都都在在曲曲线线C上上，那那么么，方方程程组组(1)叫叫做做曲曲线线C的的参参数数方方程程，变量变量t 是参变数，简称为参数是参变数，简称为参数xf(t)yg(t)(1)椭圆画 通过本节课的学习，你有什么收获或体会？xt cosyt sin(是参数是参数)参数方程参数方程 与与xt cosyt sin(t是参数是参数)表示的曲线一样吗？思考思考小结小结 参参数数方方程程是是学学生生第第一一次次接接触触的的新新概概念念,如如何何从从学学生生原原有有的的认认知知结结构构出出发发,创创设设情情景景,让让学学生生参参与与概概念念的的产产生生和和发发展展过过程程,从从中中领领悟悟参参数数的的作作用用以以及及建建立立参参数数方方程程的的可可能能性性和和必必要要性性,就就显显得得十十分分重重要要.本本节节课课概概念念引引入入的的设设计计贴贴近近学学生生实实际际,从从学学生生熟熟悉悉的的知知识识出出发发,引引导导学学生生积积极极思思维维去去探探索索未未知知问问题题的的规规律律,认认识识概概念念的的内内涵涵,留留下下了了较较深深刻刻的的印印象象,取取得得较较好好的效果的效果.