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1、2.2 传递函数4/5/20231 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合传递函数的基本概念4/5/20232一、传递函数的基本概念一、传递函数的基本概念将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念传递函数的传递函数的定义定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。称为环节的传递函数
2、式中：x（t）输入，y（t）输出为常系数设系统或元件的微分方程为：4/5/20233 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，
3、其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念4/5/20234传递函数的基本概念 例例1求电枢控制式直流电动机的传递函数。解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：令 ，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：4/5/20235传递函数的基本概念 例2例2 求下图的传递函数：4/5/20236传递函数的基本概念 例2例2 求下图的传递函数：4/5/20237传递函数的表现形式传递函数的表现形式 传递函数
4、的几种表达形式传递函数的几种表达形式：表示为有理分式形式：式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。传递系数4/5/20238传递函数的表现形式传递函数的表现形式写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：或其系数 由 或 求得；4/5/20239若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式传递函数的表现形式 从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简
5、单、最基本的一些形式。式中：或：4/5/202310比例环节比例环节二、典型环节及其传递函数二、典型环节及其传递函数 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：4/5/202311积分环节积分环节 有一个0值极点。在图中极点用“”表示，零点用“”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j04/5
6、/202312积分环节实例积分环节实例积分环节实例：RC图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节，为积分环节。电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组4/5/202313（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的 斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面惯性环节惯性环节4/5/202314求单位阶跃输入的输出响应：可见，y(t)是非周期单调升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的惯性环节的单位阶跃响
7、应单位阶跃响应4/5/202315R2C-+R1而RC两个实例：惯性环节实例惯性环节实例4/5/202316振荡环节振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当 时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：4/5/202317振荡环节分析振荡环节分析y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图分析：y(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调升，无振荡。当 时，曲线衰减振荡。越小，振荡越厉害。若 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设输入为：则 4/5/202318解：当
8、 时，有一对共轭复数极点。所以：解得：例：求质量-弹簧-阻尼系统的 和 。（见例2-2，p11）振荡环节例子振荡环节例子4/5/202319微分环节微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：相应的传递函数为：分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。4/5/202320式中：y(t)x(t)R1R2C实例微分环节实例微分环节实例4/5/202321延迟环节延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)t4/5/202322（七）其他环节：还有一些环节如 等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节其他环节4/5/202323小结传递函数的基本概念；传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）；典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）。4/5/202324