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1、&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念第第 四四 章章 级级 数数4.1 复数项级数复数项级数 1.复数列的极限复数列的极限设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作结论结论定理定理1注：注：复数列的收敛问题可归之为两个实数列复数列的收敛问题可归之为两个实数列 的收敛问题。的收敛问题。2.级数的概念级数的概念设复数列：设复数列：部分和部分和定义定义-无穷级无穷级数数定理二定理二注：注：复数项级数的收敛问题可归之为两个实数复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。项级数的
2、收敛问题。例例1解解注：注：定义：绝对收敛、条件收敛定理三定理三&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&3.收敛半径的求法收敛半径的求法&4.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义-称为复变函数项级称为复变函数项级数数设复变函数列：设复变函数列：部分和部分和和函数在级数（在级数（1）中，取）中，取称为幂级数称为幂级数例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解 部分和为定理一定理一 (阿贝尔阿贝尔AbelAbel定理）定理）z0 xyO2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径幂级数的收敛范围：幂级数的收敛范围：(i)级数级
3、数(3)在复平面上处处绝对收敛。在复平面上处处绝对收敛。(ii)级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。(iii)级数级数(3)在复平面上原点为心，某正实数在复平面上原点为心，某正实数 为半径的圆内绝对收敛，在圆外处处发散。为半径的圆内绝对收敛，在圆外处处发散。定义定义该圆周该圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。注：注：(i i)幂级数在收敛圆周上可能有收敛点，也可能幂级数在收敛圆周上可能有收敛点，也可能 有发散点；有发散点；(iiii)幂级数幂级数(2)(2)的收敛范围是以的收敛范围
4、是以z z0 0为中心为中心,半径半径为为R R的圆域的圆域.3.收敛半径的求法收敛半径的求法 定理三定理三(根值法根值法)定理二定理二(比值法比值法)4.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质（1 1）有理运算）有理运算（2 2）代换）代换(复合复合)运算运算解解例例3 3例例4 4解解（3 3）分析运算分析运算定理定理4 作业P142 6（3)（4）&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒展开简单初等函数的泰勒展开式式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理思考思考：一个解析函数能否用幂级数表达一个解
5、析函数能否用幂级数表达?定理定理（泰勒展开定理）（泰勒展开定理）注：注：2.展开式的唯一性展开式的唯一性思考思考：利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样：利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？3.简单函数的泰勒展开式简单函数的泰勒展开式函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：（1）代公式）代公式-直接直接法法例例1 解解（2）根据展开式的唯一性，利用已知函数的展开式，）根据展开式的唯一性，利用已知函数的展开式，运用幂级数的有理运算、代换运算和分析运算来展开。运用幂级数的有理运算、代换运算和分析运算来展开。-间接法间接法例例2 解解例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:(2)注：注：因因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.解：解：一些常用函数的泰勒展开式：练习：求下列函数在练习：求下列函数在 处展成幂级数处展成幂级数定理定理作业P143 11（1）（2）（3）（4）12 （2）（3）（4）提示：提示：12（2）先分解为部分分式）先分解为部分分式 （3）