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1、2第一章第一章 概率与事件概率与事件n 随机事件及其运算随机事件及其运算n 随机事件的概率随机事件的概率n 概率的计算公式概率的计算公式n 独立性与二项概率公式独立性与二项概率公式3引 言概率论与数理统计是研究客观世界随机现象数量规概率论与数理统计是研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科律的数学分支学科,源于赌博源于赌博.自然界的现象分两种自然界的现象分两种:必然现象必然现象偶然现象偶然现象(或随机现象或随机现象)n月球绕地球转月球绕地球转n同性电相斥同性电相斥n水在水在4 4摄氏度比重最大摄氏度比重最大n买了彩票会中奖买了彩票会中奖n明天会下雨明天会下雨n抛一个骰子出现六点抛一个骰子出现
2、六点必然发生必然发生可能发生也可能不发生可能发生也可能不发生4个别的看，偶然现象是无规律的个别的看，偶然现象是无规律的,但大量的同类的偶但大量的同类的偶然现象却呈现出确定的规律性然现象却呈现出确定的规律性,称称统计规律性统计规律性.例如例如:n 婴儿出生的性别大约各占一半婴儿出生的性别大约各占一半n 打靶时着弹点位置打靶时着弹点位置n 掷一枚骰子出现的点数掷一枚骰子出现的点数51 1 随机事件及其运算随机事件及其运算 一一一一 随机试验与随机事件随机试验与随机事件随机试验与随机事件随机试验与随机事件如果试验如果试验 具有以下特性具有以下特性.则称则称 为为随机试验随机试验:随机试验的每个可能结
3、果叫做随机试验的每个可能结果叫做基本事件或样本点基本事件或样本点，记为记为e.e.全体基本事件组成的集合叫做全体基本事件组成的集合叫做基本事件空间基本事件空间或样本空间或样本空间,记为记为 n可以在相同的条件下重复进行任意多次；可以在相同的条件下重复进行任意多次；n可以事先明确试验的所有可能结果；可以事先明确试验的所有可能结果；n某一次试验在进行之前，不能预言究竟哪个结果某一次试验在进行之前，不能预言究竟哪个结果将会发生将会发生.6例例1 1 观察新生儿的性别观察新生儿的性别.样本点有两个，样本点有两个，：男性；：男性；：女性，其样本空间为：女性，其样本空间为例例2 2 掷一枚骰子，观察出现的
4、点数，样本点有掷一枚骰子，观察出现的点数，样本点有6 6个，个，：出现：出现 点点,（=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6),),样本空间为样本空间为例例3 3 观察某电话交换机（站）在一小时内接到的呼观察某电话交换机（站）在一小时内接到的呼唤次数唤次数.设呼唤次数为设呼唤次数为 ,（=0,1,2=0,1,2）.样本点样本点有无穷多个有无穷多个 ,接到接到 次呼唤（次呼唤（=0,1,2=0,1,2）,其其样本空间为样本空间为有限集合有限集合有限集合有限集合无限集合无限集合7例例4 4 在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,观察其寿命观察其寿命.设设 表表示灯泡寿命，则样本点是一
5、非负数，由于不能确知示灯泡寿命，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故样本空间为可能结果，故样本空间为例例5 5 将长为将长为1 1的一直尺折为三段，用的一直尺折为三段，用 记录各记录各段的长度，则样本点是空间中的点段的长度，则样本点是空间中的点 ，故，故样本空间为样本空间为无限集合无限集合区域区域88由某些基本事件组成的复合事件用集合表示，常记由某些基本事件组成的复合事件用集合表示，常记为大写字母为大写字母 ,例如例如:事件事件 “新生婴儿是男孩新生婴儿是男孩”=，事件事件 “掷一枚骰子得奇数点掷一
6、枚骰子得奇数点”=，事件事件 “某电话站在一时内接到呼唤次数不少某电话站在一时内接到呼唤次数不少于于1515次次”=，样本空间样本空间 的每个子集合的每个子集合 称为称为随机事件随机事件.事件事件 “灯泡寿命大于灯泡寿命大于10001000小时小时”=在一次试验中若事件在一次试验中若事件A中的一个样本点出现时，称中的一个样本点出现时，称事件事件A发生发生9必然事件必然事件:即样本空间即样本空间 不可能事件不可能事件:即空集即空集随机事件随机事件:即即 的子集的子集 基本事件基本事件:即单元素点集即单元素点集复合事件复合事件:即多元素点集即多元素点集为了用简单事件表示复杂事件为了用简单事件表示复
7、杂事件,需要研究事件的关需要研究事件的关系及其运算系及其运算.(1)(1)子事件子事件 事件事件 发生导致事件发生导致事件 发生发生,称称 是是 的的子事子事件件,记作记作:二二二二 事件的关系及其运算事件的关系及其运算事件的关系及其运算事件的关系及其运算10(2)(2)相等事件相等事件 且且 ,称事件称事件 相等相等,记作记作:(3)(3)事件的和事件的和 由事件由事件 发生或发生或 发生所构成的事件称发生所构成的事件称 的的和事件和事件,记作记作:(4)(4)事件的差事件的差 由事件由事件 发生但发生但 不发生所构成的事件称不发生所构成的事件称 的的差事件差事件,记作记作:11(5)(5)
8、事件的积事件的积 由事件由事件 与与 都发生所构成的事件称都发生所构成的事件称 的的积积事件事件,记作记作:或或 (6)(6)互斥互斥(或不相容或不相容)事件事件 事件事件 发生导致发生导致 不发生不发生(等价于事件等价于事件 发生导发生导致致 不发生不发生,或或 ),),则称则称 与与 的的互斥互斥.12(7)(7)对立对立(互逆互逆)事件事件称称 互为对立互为对立(互逆互逆)事件事件 的对立事件记作的对立事件记作:思考思考:区别互斥事件跟对立事件区别互斥事件跟对立事件.(8)(8)事件组的完备性事件组的完备性 两两互斥两两互斥,且且 ,则称则称 为完备事件组为完备事件组.13 :直径和直径
9、和长长度至少有一个合格，不能度至少有一个合格，不能确定确定产产品是否合格品是否合格;例例6 6 检验某种圆柱形产品，要求直径和长度合格检验某种圆柱形产品，要求直径和长度合格才算合格才算合格.设事件设事件A A :直径合格直径合格,B:,B:长度合格，则长度合格，则 :直径合格但直径合格但长长度不合格度不合格,产产品不合格品不合格;:产产品合格品合格;:直径和直径和长长度都不合格度都不合格,产产品不合格品不合格;:直径或直径或长长度至少有一个不合格度至少有一个不合格 ,产产品不合格品不合格;14例例7 7 设随机试验设随机试验 同时掷两枚硬币，观察出同时掷两枚硬币，观察出现正面和反面的情形现正面
10、和反面的情形.设基本事件设基本事件 :(:(正正,正正),:(),:(正正,反反),:(),:(反反,正正):(:(反反,反反),),随机事件随机事件 试描述随机事件试描述随机事件 ,并指出他们之间的关系并指出他们之间的关系.解解:15例例8 8 射击目标三次射击目标三次.设事件设事件 表示第表示第 次击中次击中.试用试用 表示下列随机事件表示下列随机事件 并指出他们之间的关系并指出他们之间的关系.(1):(1):三次都击中三次都击中;(2):(2):仅击中一次仅击中一次;(3):(3):仅击中两次仅击中两次;(4):(4):三次都未击中三次都未击中.解解:16随机事件常用运算规律随机事件常用
11、运算规律:(1)(1)结合律结合律(2)(2)交换律交换律 ,(3)(3)分配律分配律(4)(4)吸收律吸收律 ,如如 ,则则 ,(5)(5)对偶律（德摩根律）对偶律（德摩根律）(6)(7)17思考思考:若若 ,一定有一定有 吗吗?为什么为什么?数的一些运算如添括号数的一些运算如添括号,去括号去括号,移项在事件运算中移项在事件运算中一般是不成立的一般是不成立的.比如比如:The EndThe End18解解 :两枚都正面朝上两枚都正面朝上.:只有一枚正面朝上只有一枚正面朝上.:至少一枚正面朝上至少一枚正面朝上.易知易知:基本事件基本事件 :(:(正正,正正),:(),:(正正,反反),:(),:(反反,正正):(:(反反,反反)19显然显然,互斥互斥,它它们们的和构成必然事件的和构成必然事件:解解