理论力学教程.ppt

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1、我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射1第第3章章 动量守恒定律与角动量守恒定律动量守恒定律与角动量守恒定律 1 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 2 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守

2、恒定律 3 质心质心 质心运动定理质心运动定理 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 5 质心参考系质心参考系 21 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 一、力的冲量一、力的冲量 二、二、质点运动的动量定理质点运动的动量定理31 质点运动的动量定理质点运动的动量定理 一、力的冲量一、力的冲量 定义：定义：力力 作用时间为作用时间为 ，则则 称为力称为力在在 时间间隔内的冲量，时间间隔内的冲量，记作记作 SI单位单位4定义式定义式若在若在 t 间隔内物体间隔内物体受力受力依次为依次为 相应作用相应作用时间时间依次为依次为则在则在 t 间隔内力的冲量为间隔内力的冲量为冲量冲量矢

3、量矢量过程量过程量若力的变若力的变化连续化连续5二、质点运动的动量定理二、质点运动的动量定理由牛顿第由牛顿第二定律二定律质点运动的质点运动的动量定理动量定理微分形式微分形式积分形式积分形式6某方向受到冲量，该方向上动量就增加某方向受到冲量，该方向上动量就增加说明说明 分量表示分量表示71）定理的形式特征定理的形式特征 (过程量过程量)=(状态量的增量状态量的增量)2）估算平均作用力估算平均作用力讨论讨论思考思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？大力士除外大力士除外将将积分用平积分用平均力代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力平均力写为写为视频视频：动量

4、：动量定理的应用定理的应用8例：动量定理解释了例：动量定理解释了“逆风行舟逆风行舟”船船演示演示前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm为研究对象为研究对象初初末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小方向与方向与 相反相反9动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题注意注意 越小，则越小，则 越大越大在在 一定时一定时10 例例1一质量为一质量为0.05 kg、速率为速率为10 ms-1的刚球，以与的刚球，以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来设碰撞时间和角度弹回

5、来设碰撞时间为为0.05 s求在此时间内钢板求在此时间内钢板所受到的平均冲力所受到的平均冲力O11 解解由动量定理得：由动量定理得：方向与方向与 轴正向相同轴正向相同O12mvmvaa3、质量为m，速率为v的小球，以入射角斜向与墙壁相碰，又以原速率沿反射角方向从墙壁弹回设碰撞时间为t，求墙壁受到的平均冲力 132 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律一、质点系一、质点系二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理-变质量问题变质量问题14一、质点系一、质点系 N个质点组成的系统个质点组成的系统-研究对象研究对象内力内力

6、 internal force 系统系统内部内部各质点间的相互作用力各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：特点：成对出现；成对出现；大小相等方向相反大小相等方向相反结论：结论：质点系的内力之和质点系的内力之和为零为零质点系中的重要结论之一质点系中的重要结论之一15 外力外力 external force 系统系统外部外部对质点系对质点系内部内部质点的作用力质点的作用力约定约定：系统内任一质点系统内任一质点受力之和受力之和写成写成外力之和外力之和内力之和内力之和质点系质点系16二、二、质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律方法方法:对每个质点分别使用牛顿定律对每个质点分别使

7、用牛顿定律,然后然后利用利用质质点系点系内力内力的特点加以化简的特点加以化简 到到 最简形式。最简形式。第第1步，对步，对 mi 使用动量定理：使用动量定理：外力冲量之和外力冲量之和 内力冲量之和内力冲量之和第第2步，步，对对所有所有质质点点求和求和：17质点系质点系由于每个质点的受力时间由于每个质点的受力时间dt 相同相同所以：所以：第第3步，化简步，化简上式：上式：先先看看外力外力冲量之和冲量之和将将所有的外力所有的外力共点力相加共点力相加写成：写成：18内力的冲量内力的冲量之和为零之和为零再再看看内力内力冲量之和冲量之和同样同样，由于每个质点的受力时间，由于每个质点的受力时间dt 相同相

8、同所以：所以：因为因为内力之和为零：内力之和为零：所以有结论：所以有结论：质点系的重要结论之二质点系的重要结论之二19最后最后简写右边简写右边令令：则则，质点系的动量定理为，质点系的动量定理为（积分形式）（积分形式）20当当动量守恒定律动量守恒定律动量定理动量定理讨论讨论 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。微分形式？微分形式？可以写成可以写成吗吗？注意后面注意后面的讲解。的讲解。214.若若某个方向某个方向上合外力为上合外力为零零，则，则该方向该方向上动量上动量守恒守恒

9、，尽管总动量可能并不守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当当外力外力内力内力且作用时间且作用时间极短时极短时（如碰撞）（如碰撞）6.动量守恒定律比牛顿定律更动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本普遍、更基本，在，在宏观和微观领域均适用。宏观和微观领域均适用。可认为动量可认为动量近似守恒近似守恒。7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统 和条件。和条件。3.动量若在某一动量若在某一惯性系惯性系中中守恒守恒，则在其它，则在其它 一切惯性系一切惯性系中中均守恒均守恒。22 (2)守恒条件：守恒条件：合外力为零合外力为零 当当 时，可近似地认为时，可近似地认为 系统总

10、动量守恒系统总动量守恒23(3)若若 ，但满足，但满足有有244.如图所示，设炮车以仰角a发射一颗炮弹，跑车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹相对于地面的出口速度为v，试求炮车反冲（即炮车倒退）速度V为（炮车与地面间的摩擦力在发射炮弹的瞬间可以忽略不计）(A)(B)(C)(D)A 5一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）(A)比原来更远 (B)比原来更近 (C)仍和原来一样远 (D)条件不足，不能判定 A 254有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v0时，从炮内射出一质量为m的炮弹沿水平方

11、向 欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率v=_ .5.一质量为30 kg的物体以10 ms-1的速率水平向东运动，另一质量为20 kg的物体以20 ms-1的速率水平向北运动。两物体发生完全非弹性碰撞后，它们的速度大小v 10 m/s ；方向为 北偏东36.87 .三计算题1、质量为M1.5 kg的物体，用一根长为l1.25 m的细绳悬挂在天花板上今有一质量为m10 g的子弹以v0500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v 30 m/s，设穿透时间极短求：(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2)子弹在穿透过程中所受的冲量261解：(1)因穿透时间极短，

12、故可认为物体未离开平衡位置因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒令子弹穿出时物体的水平速度为v 有 mv0=mv+M vv=m(v0-v)/M=3.13 m/s T=Mg+Mv2/l=26.5 N(2)(设 反响为正方向)负号表示冲量方向与 相反273、静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度 （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒，则有：Mv1+mv=0v1=-mv/M再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向

13、动量守恒，则有：mv=(m+M)v2 v2=mv/(M+m)4、求半圆形均匀薄板的质心。解：设薄板半径为R，质量为m，面密度 。由质量分布的对称性可得板的质心在x轴上，而 28四、证明题1如图所示,一质量为M的楔块,其斜面AB的长度为l,倾角为a,楔块底面BC可沿水平地面移动。设一质量为m的物体从斜面顶端自静止开始下滑,不计一切磨擦,试证:物体在下滑到斜面地端的过程中,楔块沿水平地面滑行的总位移为 证：物体与契块组成的系统在水平方向不受外力，故此系统在水平方向的动量守恒，沿水平方向取x轴，则按题意，有其中vx为物体沿契块斜面下滑速度v的水平分量；V为契块沿水平面移动的速度。由上式，得两边乘dt

14、，积分之即 dx,分别为契块和物体沿水平方向的位移元，这样，由上式可得契块的总位移x为29例例2 如图如图已知已知：地面光滑地面光滑初：单摆水平，静止初：单摆水平，静止求：求：下摆至下摆至 时，车的位移时，车的位移以例以例即将说明即将说明动量守恒和质心速度不变是动量守恒和质心速度不变是同义语同义语。动量动量守恒守恒的问题也可以利用的问题也可以利用 质心速度质心速度不变不变来解。来解。30解解：法一法一 用动量守恒定律用动量守恒定律选选 M+m 为系统为系统画系统画系统 受力图受力图31相对车的位移相对车的位移负号说明，车向负号说明，车向X的负向运动的负向运动#32 “神州神州”号飞船升空号飞船

15、升空三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理-变质量问题变质量问题33神舟六号待命飞天神舟六号待命飞天注：照片摘自新华网34神舟六号点火升空神舟六号点火升空注：照片摘自新华网35神舟六号发射成功神舟六号发射成功http:/ 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）还还有有另另一一类类变变质质量量问问题题是是在在高高速速（v c）情情况况下下，这这时时即即使使没没有有粘粘附附和和抛抛射射，质质量量也也可可以以改改变变 随随速速度度变变化化 m=m(v)，这这是是相相对对论论情形，情形，不在本节讨论之列。不在本节讨论之

16、列。变质量问题（低速，变质量问题（低速，v c）有有两两类类：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。37三、火箭飞行原理三、火箭飞行原理 （rocket）特征特征:火箭体在飞行过程中火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气由于不断地向外喷气,所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？取取微小微小过程，即过程，即微小微小的时间间隔的时间间隔d t火箭体质量为火箭体质量为M速度速度喷出的气体喷出的气体系统：火箭箭体系统：火箭箭体 和和dt 间隔内喷出的气体间隔内喷出的气体-喷气速度喷气速度（相对火箭体）相对火箭体）38火

17、箭体质量为火箭体质量为速度速度喷出的气体喷出的气体系统：火箭箭体系统：火箭箭体 和和dt 间隔内喷出的气体间隔内喷出的气体根据动量定理列出原理式：根据动量定理列出原理式：假设在自由空间发射，假设在自由空间发射，注意到：注意到：dm=-dM，按图示，可写出分量式，稍加整理为：按图示，可写出分量式，稍加整理为：39提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M对应的措施是：对应的措施是：选优质燃料选优质燃料 采取多级火箭采取多级火箭40求求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力：绳子被拉上任一段后，绳

18、端的拉力F例例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ，总长总长度度l 质量均匀分布，均匀地以速度质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。提绳。动量定理动量定理举例举例注意：系统注意：系统 过程过程 原理应用原理应用41解解：(法一法一)取整个取整个绳子为研究对象绳子为研究对象求求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F例例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0 ，总长度总长度l 质量均匀分布，均匀地以速度质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。提绳。受力图受力图42#43 已提升的质量已提升的质量(主体主体)m 和将要

19、提升的质量和将要提升的质量dm(法二法二)类似类似火箭飞行火箭飞行的方法求解的方法求解此例中此例中方法方法2似乎更简便些似乎更简便些系统是：系统是：#443 质心质心 质心运动定理质心运动定理 一、一、质心的定义质心的定义 二、质心运动定理二、质心运动定理45一、质心的定义一、质心的定义o质点系质点系46对连续体对连续体说明说明:1）不太大物体不太大物体 质心与重心重合质心与重心重合 2）均匀分布的物体均匀分布的物体 质心在几何中心质心在几何中心 3）质心是位置的加权平均值质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量质心处不一定有质量 4）具有可加性具有可加性 计算时可分解计算时可分解47二、质

20、心运动定理二、质心运动定理1.质心速度与质点系的总动量质心速度与质点系的总动量而而482.质心运动定理质心运动定理质点系的动量定理质点系的动量定理49讨论讨论1）质点系动量定理微分形式）质点系动量定理微分形式积分形式积分形式2）质心处的质点（质点系总质量）代替质）质心处的质点（质点系总质量）代替质点系整体的平动点系整体的平动3）若）若不变不变质心速度不变就是动量守恒（质心速度不变就是动量守恒（同义语同义语）（）504）此式此式说明，说明，合外力合外力直接主导质点系的直接主导质点系的平动平动，而质量中心最有资格代表质点系的平动。而质量中心最有资格代表质点系的平动。为什么？为什么？因为只有因为只有

21、质心的加速度质心的加速度才满足才满足上式上式。只要只要外力外力确定，不管作用点怎样，确定，不管作用点怎样，质心质心的的加加速度速度就确定，质心的运动就确定，质心的运动轨迹轨迹就确定，即质就确定，即质点系的点系的平动平动就确定。就确定。51（如抛掷的物体、（如抛掷的物体、跳水的运动员、跳水的运动员、爆炸的焰火等，爆炸的焰火等，其质心的运动都其质心的运动都是抛物线）。是抛物线）。系统系统内力内力不会不会影响质心的运动影响质心的运动质心质心1 252三计算题1质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数=0.2 现对物体施以F=10t (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示如t=

22、0时物体静止，则t=3 s时它的速度大小v 为多少?532、质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑，当经过路程l运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中,子弹立即陷入木块内设子弹的质量为m，速度为 ，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度 544 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律55思路思路:与处理动量定理与处理动量定理 动量守恒问题相同动量守恒问题相同一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量t 时刻时刻(

23、如图如图)定义定义为质点对定点为质点对定点o 的角动量的角动量方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面SI大小：大小：量纲量纲：56 t 时刻时刻 如图如图定义定义为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩大小：大小：中学就熟知的：中学就熟知的：力矩等于力力矩等于力乘乘力臂力臂方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面量纲量纲：571）物理量角动量和力矩）物理量角动量和力矩均与均与定点定点有关，有关，角动量也称角动量也称动量矩动量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2）对轴的角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐在具体的

24、坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。讨论讨论58：质点对：质点对x轴的角动量轴的角动量：质点对：质点对 x轴的力矩轴的力矩某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：由定义出发：分量中，分量中，涉及的位矢分量为涉及的位矢分量为x,y涉及的力的分量为涉及的力的分量为Fx,Fy例如：力矩例如：力矩下面，下面，用用图示图示形象说形象说明，加明，加深理解深理解该计算该计算过程过程59用图示加深理解计算过程用图示加深理解计算过程思路：思路：设设坐标原点坐标原点o是是求力求力 矩的定点矩的定点 某某时刻时刻 质点位

25、矢是质点位矢是受力是受力是然后然后将位矢和力将位矢和力向向xy平面和平面和z方方向两个分向分解向两个分向分解最后得出结果最后得出结果60转轴转轴转动平面转动平面求力对求力对 z 轴的力矩的轴的力矩的简简化步骤：化步骤：第第1步，通过质点画步，通过质点画z轴轴转动平面（过质点垂直转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点转轴的平面，即过质点的的xy平面）平面）第第2步，认定位矢和力步，认定位矢和力在转动平面内的分量在转动平面内的分量第第3步，算出力对步，算出力对z轴的轴的力矩力矩结论：结论：z轴转动平面内的分轴转动平面内的分量的运算就是对量的运算就是对z轴的力矩轴的力矩（或角动量）（或角动量）61

26、由由牛顿第二定律牛顿第二定律三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律两边用位矢叉乘两边用位矢叉乘得得或或写成写成62角动量守恒定律角动量守恒定律冲量矩冲量矩微分形式微分形式积分形式积分形式631）角动量守恒定律的条件角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒动量守恒与角动量守恒 是相互是相互独立独立的定律的定律 3）有心力有心力 力始终过某一点力始终过某一点 central force行星在速度和有心力所组成的行星在速度和有心力所组成的平面内运动平面内运动角动量守恒角动量守恒如行星运动如行星运动动量动量不不守恒守恒角动量角动量守恒守恒直升飞机直升飞机讨论讨论64

27、 例例3：质量为质量为m的小球系于细绳的一端的小球系于细绳的一端 ,绳的另一绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上端缚在一根竖直放置的细棒上,小球被约束在水平面小球被约束在水平面内绕细棒旋转内绕细棒旋转,某时刻角速度为某时刻角速度为 1 1，细绳的长度为，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后当旋转了若干圈后,由于细绳缠绕在细棒上由于细绳缠绕在细棒上,绳长变绳长变为为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速度求此时小球绕细棒旋转的角速度 2 2 。解：解：小球受力小球受力 绳子的张力绳子的张力 ,指向细棒；指向细棒；重力重力 ，竖直向下；支撑力竖直向下；支撑力 ,竖直向上。竖直向上。与绳子平行与绳子平行,不产

28、生力矩；不产生力矩；与与平衡，力矩始终为零。所以平衡，力矩始终为零。所以,作用于小作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零球的力对细棒的力矩始终等于零,故小故小球对细棒的角动量必定是守恒的。球对细棒的角动量必定是守恒的。65根据质点对轴的角动量守恒定律根据质点对轴的角动量守恒定律 式中式中v1是半径为是半径为r1时小球的线速度时小球的线速度,v2是半径为是半径为r2时小球的线速度。时小球的线速度。代入上式得代入上式得解得解得 可见可见,由于细绳越转越短由于细绳越转越短,小球的角速度小球的角速度必定越转越大必定越转越大,即即 。而而66开普勒第二定律开普勒第二定律掠面速度掠面速度角动量守恒就是掠角动量守恒就是掠面速度相等面速度相等常常矢量矢量m 67比较比较 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 形式形式上完全相同，所以记忆上就可上完全相同，所以记忆上就可简化简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。的量变换一下，名称上改变一下。（趣称（趣称 头上长角头上长角 尾部添矩）尾部添矩）68 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或或动量矩动量矩力的力的冲量冲量力矩的冲量力矩的冲量或或冲量矩冲量矩69