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1、理论力学第一部分第一部分静力学静力学理论力学第一部分第一部分静力学静力学引论引论刚体静力学刚体静力学(staticsofrigidbodies)研究研究刚刚体体(rigidbody)在力系的作用下相对于惯性系在力系的作用下相对于惯性系静止的力学规律静止的力学规律。(1)力学模型力学模型刚体刚体在力的作用下不变形的物体称为刚体。刚体。在实际生活中，完全不变形的物体并不存在，在实际生活中，完全不变形的物体并不存在，刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。吊车梁的变形吊车梁的变形吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度 一般不超过梁的跨度的1/500简化的条件除了要求物
2、体的变形不大简化的条件除了要求物体的变形不大之外，更重要的是这种变形对我们所研之外，更重要的是这种变形对我们所研究的问题的结果产生的影响要足够小。究的问题的结果产生的影响要足够小。但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这样简化了。这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可在计算两端的支承力时，吊车梁可简化为刚体。简化为刚体。(2)力系力系作用于同一刚体的一组力称为力力系系(systemofforces)。使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。F3F2F1F4MqABFAxFAyFB平衡力系平衡力系(forcesystemofequilibrium)(3)基本问题
3、：基本问题：物体的受力分析；物体的受力分析；力系的等效替换及简化；力系的等效替换及简化；力系的平衡条件及其应用。力系的平衡条件及其应用。刚刚体体在在平平衡衡力力系系的的作作用用下下并并不不一一定定处处于于静静止止状态，它也可能处于某种惯性运动状态。状态，它也可能处于某种惯性运动状态。平衡条件平衡条件(equilibriumconditions)平衡力系所要满足的数学条件。1.工程力学教程工程力学教程()范钦珊范钦珊 主编主编 高等教育出版社高等教育出版社（九五九五国家级重点教材）国家级重点教材）2.2.理论力学理论力学(第三版第三版)浙江大学理论力学教研室浙江大学理论力学教研室,高等教育出版高
4、等教育出版社，社，19991999（面向（面向2121世纪课程教材）世纪课程教材）参参考考书书目目1静力学基础静力学基础1.2.3力系等效原理力系等效原理应用于变形体应用于变形体 1.1力和力矩力和力矩1.1.1力的概念力的概念1.1.2 力对点的矩力对点的矩1.1.3力对轴的矩力对轴的矩1.2力系等效原理力系等效原理1.2.1力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩1.2.2力系等效原理力系等效原理1.3力偶与力偶矩力偶与力偶矩1.4 物体的受力分析物体的受力分析1.4.1约束与约束反力约束与约束反力1.4.2物体的受力分析物体的受力分析1 1 静力学基础静力学基础1.1力和力矩力和力矩1.1.1力
5、的概念力的概念力力是是物物体体间间的的相相互互作作用用，作作用用结结果果使使物物体体的的运动状态发生改变，或使物体产生变形。运动状态发生改变，或使物体产生变形。对刚体而言，力的作用只改变其运动状态。力是矢量力是矢量力的三要素力的三要素(threeelementsofaforce)两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因而力是定位矢量力是定位矢量(fixedvector)。FCCABFAF1量度力的大小的单位,在国际单位制中用 牛顿（N）千牛顿（kN）力的作用线力的作用点力矢量的表示:F1、FA力矢量的模:F1、FA、作用力和反作用力作用力和反作用力力的另一重要性质是由牛顿第三定律牛顿第三定律(
6、Newtonsthirdlaw)所描述的作用力和反作用力之间的关系，即:两个物体之间的作用力与反作用力总是同时两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线，存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线，并分别作用在两个不同的物体上。并分别作用在两个不同的物体上。F1F2分布力分布力(distributedforce)与集中力与集中力(concentratedforce)分布力分布力 集中力集中力集中作用于物体上一点的力.表面力表面力(surface forces)(surface forces):连续作用于物体的某一面积上的力.体积力体积力(body forces)(
7、body forces):连续作用于物体的某一体积内的力.分分 布布 力力F F1 1F F2 2集集 中中 力力ABCP实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力，的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力，一切真实力都是分布力。一切真实力都是分布力。集集中中力力只只是是分分布布力力在在一一定定条条件件下下的的理理想想化化模模型型。能能否否进进行行这这种种简简化化主主要要取取决决于于我我们们所所研研究究的的问问题题的性质。的性质。力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意力在坐标轴上
8、的投影是代数量，应特别注意它的符号。它的符号。FFxiFyjFzk二次投影法二次投影法(secondprojection)FFxyxzy已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大小和它相对于各轴的方向余弦，即1.1.2 力对点的矩力对点的矩力力矩矩(momentofaforce)是用来量度力使物体产生转动效应的概念。力对点的矩的概念力对点的矩的概念作用于刚体的力F对空间任意一点O的力力矩矩定义为式中O点称为矩心矩心(centerofmoment)，r为矩心O引向力F的作用点A的矢径，即力对点的矩力对点的矩(momentofaforceaboutapoint)定义为矩心到该矩心到该力作用点的矢
9、径与力矢的矢量积。力作用点的矢径与力矢的矢量积。MO(F)通通常常被被看看作作为为一一个个定定位位矢矢量量，习习惯惯上上总总是是将将它它的的起起点点画画在在矩矩心心O处处，但但这这并并不不意味着意味着O就是就是MO(F)的作用点。的作用点。MO(F)=rFFrAOhPlanedeterminedbyO andF力矩矢的三要素力矩矢的三要素力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。MO(F)的大小即它的模式中为r和F正方向间的夹角，h为矩心到力作用线的垂直距离，常称为力臂力臂(momentarm)。MO(F)的方向垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定。平面问题平
10、面问题平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成了代数量代数量，且有OFhr正负号通常规定为正负号通常规定为:+逆时针为正逆时针为正顺时针为负顺时针为负OFhMO(F)=Fh平面问题平面问题矢量表达式MO(Fxy)=(rxyFxy)kzrxyFxyxyOkh 力对点的矩在坐标轴上的投影力对点的矩在坐标轴上的投影力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。FrxyzMO(F)Ojik1.1.3力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩(momentofaforceaboutanaxis
11、)用来量度力对其所作用的刚体绕某固定轴转动的效应。zF 矩轴矩轴(axisofmoment)OzzFFzFxy力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念空间力对轴之矩归结为平空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩。面上的力对点之矩。hO作用于刚体的力F 对z 轴的矩定义为力力对对轴轴的的矩矩是是代代数数量量。正正负负号号的的规规定定是是按按右右手手定定则则与与z轴轴的的指指向向一一致致时时为为正，反之为负。正，反之为负。M z(F)0 M z(F)0 zz当力的作用线与z轴平行(Fxy=0)或相交(h=0)时，或概括起来讲，当当力力与与轴轴共共面面时时，力对轴的矩等于零力对轴的矩等于零。力对轴之矩力对轴
12、之矩 zOhFFzFxyrxyk矢量表达式力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系力F 对O点之矩MO(F)在z 轴上的投影为：首先将力的作用点的矢径r和力F分解如下:MO(F)在z 轴上的投影MOz(F)FrxyzMO(F)OkMOz(F)FrrxyFxyxyzMO(F)O即有 则有MO(F)在z 轴上的投影将上式右端展开，并注意到而另一方面力F 对z轴之矩可表示为我们得到一个说明力对轴之矩与力对点之矩的关系的重要结论：力对任意轴之力对任意轴之矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该轴上的投影。轴上的投影。因此于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
13、式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。OAxyzF例例1.1长方体的上、下底为正方形，边长为，高为a，求图中力F 对顶点O之矩。解解：设沿各坐标轴的基矢量为i、j、k，则F的作用点A的矢径为OAxyzFr力F在坐标轴上的投影为故因此例例1.2园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于B点的力F 对x、y、z轴以及OE轴之矩。OAxyzBEeCDF解解：力F的作用点B的坐标为 而OAxyzBEeCDF于是F 对各坐标轴之矩分别为根据由此即有设沿OE轴的单位矢为e，则有因此力F 对OE轴之矩为OAxyzBEeCDF要点回顾要点回顾 力的概念力的概念 力学模型力
14、学模型刚体刚体刚体静力学研究的基本问题刚体静力学研究的基本问题力是约束矢量力是约束矢量 力系力系的概念的概念 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 引论引论 力对点的矩力对点的矩 力对点的矩的概念力对点的矩的概念 力对点的矩在坐标轴上的投影力对点的矩在坐标轴上的投影 力对轴的矩力对轴的矩 力对轴的矩的概念力对轴的矩的概念 力对点之矩与力对轴之矩的关系力对点之矩与力对轴之矩的关系静力学基础静力学基础理论力学1.2力系等效原理力系等效原理1.3力偶与力偶矩力偶与力偶矩1.2力系等效原理力系等效原理1.2.1力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩力系的主矢力系的主矢称为该力系的主矢量主矢量(princip
15、alvector)。FnF2F1Fi作用于某刚体上的若干个力F1,F2,Fn构成空空间间一一般般力力系系(threedimensionalforcesystem)，通常表示为（F1,F2,Fn）。这n个力的矢量和力系的主矢在坐标力系的主矢在坐标轴上的投影等于力轴上的投影等于力系中各力在相应轴系中各力在相应轴上投影的代数和上投影的代数和 注意力系的主矢仅涉及力系中各力的大小和方向，而与其作用点无关，故力力系系的的主主矢矢是是一一个个自自由由矢矢量量(freevector)，而而不不是一个力。是一个力。力系的主矩力系的主矩空间一般力系（F1,F2,Fn）中各力对某点O的矩的矢量和称为该力系对于矩心
16、力系对于矩心O的主矩的主矩(principalmoment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用点的矢径。主矩主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表达式：即即力力系系的的主主矩矩在在通通过过矩矩心心的的任任意意轴轴上上的的投投影影等等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和。于该力系中各力对同一轴的矩的代数和。力力系系的的主主矩矩MO是是位位于于矩矩心心O处处的的定定位位矢矢量量，与力系的主矢不同，主主矩矩与与矩矩心心的的位位置置有有关关。因此，说到“力力系系的的主主矩矩”时，一定要指明是对哪一点的主矩，否则就没有意义。F3F2F1F4ABMA(Fi)MB(Fi)1.2.2力系等
17、效原理力系等效原理在刚体静力学中，如果两个不同的力系对同一刚体产生同样的作用，则称此二力系互为等效等效力系力系(equivalentforcesystems)。AqBL2L2ABL2L2P=qLFF显然，等效力系的相互替换并不影响它们对刚等效力系的相互替换并不影响它们对刚体的作用。体的作用。与一个力系等效的力称为该力系的合力合力(resultantforce)，但并非任何一个力系都有合并非任何一个力系都有合力力。因为完全不受力作用的刚体其运动状态是不会发生改变的，故平衡力系即是与平衡力系即是与零力系零力系(nullforce-system)等效的力系。等效的力系。力系等效原理力系等效原理两两个
18、个力力系系等等效效的的充充分分必必要要条条件件是是主主矢矢量相等，以及对同一点的主矩相等。量相等，以及对同一点的主矩相等。力力系系等等效效原原理理(principle of equivalent forcesystems)实际上只是动量定理和动量矩定理的一个推论。但在讲述动力学的这些定理之前，在刚体静力学中我们也可以把它看成是一个基于经验事实的基本假设基本假设。力系等效原理力系等效原理是刚体静力学理论体系的基础，无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。力系等效原理表明，力系对刚体的作用完全取决于它的主矢和主矩，因此主主矢矢和主主矩矩是力系的最重要的基本特征量。力系等效原理的推论力系等效原理
19、的推论1.平衡定理平衡定理力系平衡的充分必要条件是该力系力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢及对于某一点的主矩同时等于零的主矢及对于某一点的主矩同时等于零,即即2二力平衡定理二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反且作用线重合。且作用线重合。2二力平衡定理二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反且作用线重合。且作用线重合。F1F2 注意二力平注意二力平衡定理与牛顿衡定理与牛顿第三定
20、律之间第三定律之间的区别。的区别。F1F24力的可传性定理力的可传性定理作作用用于于刚刚体体上上某某点点的的力力可可沿沿其其作作用用线线移移至至刚刚体内任一点而不改变该力对刚体的作用。体内任一点而不改变该力对刚体的作用。于是,作用于刚刚体体的力由定位矢量变成了滑滑动矢量动矢量(slidingvector)。3加减平衡力系定理加减平衡力系定理在作用于刚体的任一力系上加上或减去任意在作用于刚体的任一力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。F3F4 FABCD思思考考题题根据力的可传性定理,力F可沿其作用线移至(1)点A(2)点A、B(3)
21、点A、B、C(4)点A、B、C、D5合合力力矩矩定定理理若若力力系系有有合合力力，则则合合力力对对任任一一点点（或或轴轴）之之矩矩等等于于力力系系中中各各力力对对同同一一点点（或或轴轴）之矩的矢量和（或）之矩的矢量和（或代数和代数和）。）。MA(FR)=MA(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)AFRzFnF2F1FiAz合力矩定理的应用合力矩定理的应用FABCO已知:,AO=h,OC=r求:水平力F对C点之矩。MC(F)=Fr sin Fh cosFF1.3力偶与力偶矩力偶与力偶矩FFFFFF力偶的定义力偶的定义 两两个个大大小小相相等等、作作用用线线不不重重合合的的反反向向平平行行力力组组成成
22、的的力力系系 称称 为为 力力 偶偶(couple)。力偶中两个力的作用线所确定的平面称为 力力 偶偶 的的 作作 用用 面面(acting plane of acouple)，二力作用线之间的垂直距离称为力偶臂力偶臂(couplearm)。FFdPlaneofthecouple力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩力偶的主矢力偶的主矢因为力偶（F，F）中FF,故FR=F+F=0,即力偶的主矢恒等力偶的主矢恒等于零于零。力偶对任意点力偶对任意点O的主矩的主矩 力偶对任意点之主矩恒等于矢量积力偶对任意点之主矩恒等于矢量积 rF,而与矩心的位置无关而与矩心的位置无关。MOFFrABrOBrOAPlane
23、ofthecouple力偶矩矢量力偶矩矢量力偶矩矢量力偶矩矢量(couple-vector)，用来量度力偶对刚体的作用效果，定义为力偶矩矢的大小为力偶矩矢的大小为力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指向按右手定则与力偶的转向一致。向按右手定则与力偶的转向一致。力偶矩矢量是自由矢量力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向只有大小和方向两个要素。两个要素。平面问题由于力偶的作用面总是与力系所在的平面重合，力偶矩由矢量变成代数量力偶矩由矢量变成代数量正负号用来区别转向，通常规定:逆时针为正逆时针为正顺时针为负顺时针为负+力偶是最简单的力系之一力偶是最简单的力系之一力偶中
24、二力作用线不重合，根据二力平衡定理，它们不可能组成一个平衡力系；因为力偶的主矢量FR=0，它也不可能进一步简化为一个力，否则FR 0，与力偶的定义相矛盾。因此，与单个的力类似，力力偶偶也也是是最简单的力系之一最简单的力系之一。力偶等效变换的性质力偶等效变换的性质1.力偶可在其作用面内任意转动和移动；2.力偶的作用面可任意平行移动；3.只要保持力偶矩大小不变，可任意同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。作用于刚体的力偶等效替换的条件是作用于刚体的力偶等效替换的条件是其力偶矩矢量保持不变其力偶矩矢量保持不变。例例1长方体由两个边长为a的正方体组成，如图所示，试求力偶(F，F)的力偶矩矢量M。xyz
25、FrFxyzFrF解：解：故设由F的作用点至F 的作用点的矢径为r,则有 因此 xyzFrF例例2正方体的边长为a，大小均为P的6个力作用于正方体的棱边上，如图所示。试求该力系的主矢及对O点的主矩。xyzF1F5OF6F3F2F4解解：注意到原力系由同向平行力系(F1F4)和力偶(F5,F6)组成。力系(F1F4)的主矢为：F1F4的作用点相对于O点的矢径分别为:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4故力偶(F5,F6)的主矢为零,力偶矩矢为:因此原力系的主矢及对O点的主矩为:r1r2r3xyzF1F5OF6F3F2F4力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩力系等效原理力系等效原理力系等效原理
26、的推论力系等效原理的推论 力偶力偶及及力偶矩矢力偶矩矢力偶的主矢和主矩力偶的主矢和主矩力偶是最简单的力系之一力偶是最简单的力系之一力偶等效变换的性质力偶等效变换的性质要要点点回回顾顾理论力学理论力学静力学基础静力学基础1.4物体的受力分析物体的受力分析(一一)约束与约束反力的概念约束与约束反力的概念1.4.1约束与约束反力约束与约束反力1.4物体的受力分析物体的受力分析自由体自由体(freebody)非自由体非自由体(constrainedbody)限制物体运动的条件，或者更直观地说，对物体运动施加限制的周围物体称为约束约束(constraint)。火车的火车的位移受到位移受到了轨道的了轨道的
27、限制限制约束施于被约束物体的力称为约约束束力力(constraintforce)。约束力是一种接触力。约束力是一种接触力。约束力约束力(constraintforce)主动力主动力(appliedforce)载荷载荷(load)静力学中力的分类:约束的基本类型刚体静力学的典型问题约束的基本类型约束的基本类型1.柔索柔索工程中的绳索、链条、皮带等物体可简化为柔柔索索(flexiblecable)。理想化的柔索不可伸长，不计自重，且完全不能抵抗弯曲。MFTFT柔索的约束力是沿绳向的拉力柔索的约束力是沿绳向的拉力。缆缆索索2.光滑接触面光滑接触面nnFN光光滑滑接接触触面面的的约约束束力力沿沿接接触
28、触处处的的公公法法线线方方向向，作作用用于于接接触触点点，且为压力。且为压力。若两物体的接触面上摩擦力很小而可忽略不计时，就可简化为光滑接触面光滑接触面(smoothsurface)。滑槽与销钉滑槽与销钉F FR RF FN N光滑接触面约束光滑接触面约束FCFBFAFGABC用圆柱销钉将两个零件连接在一起，并假设接触面是光滑的，这样构成的约束称为光滑圆柱铰链光滑圆柱铰链(smoothcylindricalpin)，简称铰链铰链。被连接的构件可绕销钉轴作相对转动，但相对移动则被限制。3光滑圆柱铰链光滑圆柱铰链光滑圆柱铰链的约束力是一个大小和方向都未知的二维矢量FN。在受力分析时，为了方便起见，
29、我们常常用两个大小未知的正交分力正交分力Fx和和Fy来表示它。FNFyFx光滑圆柱铰链在图中的表示光滑圆柱铰链在图中的表示AFAyFAx销钉销钉(铰链铰链)F FR Ry yF FR Rx x铰铰铰铰恐龙骨骼的铰链连接恐龙骨骼的铰链连接当光滑圆柱铰链连接的两个构件之一与地面或机架固接则构成固定铰链支座固定铰链支座(fixedsupportofpinjoint)。4固定铰链支座固定铰链支座AA固定铰链支座在图中的表示固定铰链支座在图中的表示FAyFAx固固定定铰铰支支座座A AF FAyAyF FAxAx5.光滑球形铰链光滑球形铰链固连于构件的小球嵌入另一构件上的球窝内，若接触面的磨擦可以忽略不
30、计，即构成光滑球形光滑球形铰链铰链(smoothballandsocketjoint)，简称球铰球铰。球窝球窝小球小球光滑球形铰链光滑球形铰链球窝球窝小球小球FNFxFyFz与铰链相似，球铰提供的约束力是一个过球心，大小和方向都未知的三维空间矢量FN，常用三个大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz来表示它。球球 铰铰F FzF FyF Fx盆骨与股骨之间的球铰连接盆骨与股骨之间的球铰连接球球股骨股骨盆骨盆骨球窝球窝球铰支座在图中的表示球铰支座在图中的表示AAAFAzFAyFAx6.可动铰链支座可动铰链支座在铰链支座与支承面之间装上辊轴，就构成可动铰可动铰链支座链支座或辊轴辊轴铰链支座铰链支座(ro
31、llersupportofpinjoint)。可动铰链支座的反力FN过铰链中心且垂直于支承面。FAAAFAFA辊辊 轴轴F FR R(实际约束中实际约束中FR方向也可以向下方向也可以向下)7.链杆链杆(二力杆二力杆)ABAB两端用光滑铰链与其它构件连接且中间不受力的刚性轻杆（自重可忽略不计）称为链杆链杆。由由于于链链杆杆为为二二力力杆杆，根根据据二二力力平平衡衡定定理理，链链杆杆的的约约束束力力必必然然沿沿其其两两端端铰铰链链中中心心的连线的连线。FA用铰链连接的杆用铰链连接的杆F FR R8固定端固定端物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固固定端约束定端约束(fixedendsupport)
32、。固定端约束的特点是既限制物体的移动又限制物体的转动。工程结构中的固定端约束工程结构中的固定端约束槽钢悬臂梁槽钢悬臂梁焊缝焊缝在外载荷的作用下,受固定端约束的物体既不能移动也不能转动,因此平面固定端约平面固定端约束的约束反力束的约束反力,可用两个正交分力和一个力可用两个正交分力和一个力偶矩表示偶矩表示。AMAAFAyFAx空间固定端约束空间固定端约束FAzFAxFAyMAzMAxMAy约束的基本类型约束的基本类型柔索柔索光滑接触面光滑接触面光滑圆柱铰链光滑圆柱铰链固定铰链支座固定铰链支座光滑球形铰链光滑球形铰链可动铰链支座可动铰链支座链杆链杆(二力杆二力杆)固定端固定端约束与约束反力的概念约束
33、与约束反力的概念要点回顾要点回顾理论力学理论力学静力学基础静力学基础1.4物体的受力分析物体的受力分析(二二)分离体和受力图分离体和受力图被被选选取取作作为为研研究究对对象象，并并已已解解除除约约束束的的物物体体称为称为分离体分离体(isolatedbody)。当研究对象包括几个物体时，解除约束是指解除周围物体对它们的全部约束，但不包括这些物体相互之间的联系。1.4.2物体的受力分析物体的受力分析选取适当的研究对象选取适当的研究对象解除约束解除约束画受力图画受力图画画有有分分离离体体及及其其所所受受的的全全部部主主动动力力和和约约束束力的图称为力的图称为受力图受力图(free-bodydiag
34、ram)。内力和外力内力和外力当选取由几个物体所组成的系统作为研究对象时，系统内部的物体之间的相互作用力称为内力内力(internalforce)，系统之外的物体对系统内部的物体的作用力称为外力外力(externalforce)。显然，内力和外力的区分是相对的，完全取决于研究对象的选择。在作受力图时不必画出内力。在作受力图时不必画出内力。对研究对象进行受力分析看似简单，但它却是研究力学问题的关键步骤之一。只有准确地掌握了基本概念，才有可能正确地进行受力分析。对此，初学者一定要予以足够的重视。例例1图示结构为一提升重物的悬臂梁，试画出（图示结构为一提升重物的悬臂梁，试画出（1）AB梁和（梁和（2
35、）整体的受力图。）整体的受力图。解：解：整体的整体的受力图受力图AB梁的梁的受力图受力图BAFGFTqFAxFAyMAFBxFBy注意注意:不要将线荷载q简化为一个集中力。A为平面固定端约束，B为光滑园柱铰链，应分别按其约束的特征画出约束力。正交分力FAx、FAy和FBx、FBy的指向，以及力偶矩MA的转向可以任意假定。今后如果某个计算值为负，则表明它的实际方向与假定方向相反。但应注意，这种假定在同一问题中的几个不同的受力图中必须是一致的。画受力图的步骤如下：画受力图的步骤如下：(1)根根据据问问题题的的要要求求选选取取研研究究对对象，画出分离体简图。象，画出分离体简图。(2)画画出出分分离离
36、体体所所受受的的全全部部主主动动力力，一一般般不不要要对对已已知知载载荷荷进进行行静静力力等等效替换。效替换。(3)在在分分离离体体上上每每一一解解除除约约束束的的地地方方，根根据据约约束束的的类类型型逐逐一一画画出出约约束束力。力。例例2三铰拱结构简图如图所示，不计拱的自重。试分别三铰拱结构简图如图所示，不计拱的自重。试分别作出（作出（1）右半拱、（）右半拱、（2）左半拱和（）左半拱和（3）整体的受力图。）整体的受力图。ABCPBC解：解：（1）右半拱的受）右半拱的受力图。力图。FCyFCxFByFBx?BCFCFBABCPFAxFAy（2）左半拱的受力图）左半拱的受力图。是是FC 的反作用
37、的反作用力。力。ABCPFBFAxFAy（3）整体的受力图）整体的受力图1。铰链铰链C 处处的内力不要的内力不要画出。画出。三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点衡时，此三力的作用线必汇交于一点.A三力平衡汇交三力平衡汇交定理是刚体受定理是刚体受不平行三力作不平行三力作用而平衡的必用而平衡的必要条件要条件,可用可用于确定未知约于确定未知约束力的方向。束力的方向。F1F3F2ABCPFBFA（4）整整体体的的受受力力图图2三三力力平平衡衡汇汇交交定定理理的的应应用用。E注意注意:要正确判断二力杆和二力构件。作用力和反作
38、用力要配对。内力不要画出。有时也可用三力平衡汇交定理来确定未知约束反力的方向。FWABCD例例3结构如图示，试画出（结构如图示，试画出（1）AB杆和（杆和（2）整体）整体的受力图。的受力图。解：解：（1）杆）杆AB的受力图的受力图 FWABCFWABCFAxFAyFBxFByFAyFBy?杆杆AB的受力图的受力图1 1FWABCDFAxFAyFB杆杆AB的受力图的受力图 2 2FWABCDFBFAFWABCD（2）整体受力图）整体受力图1 1FDFAxFAy整体受力图整体受力图2 2FWABCDFDFAMABCDE例例4结构如图示，试画出（结构如图示，试画出（1）AB杆和（杆和（2）整体）整体
39、的受力图。的受力图。MABDMABDFAxFAyFDxFDyFDFA?解：解：（1）杆）杆AB的受力图的受力图 杆杆AB的受力图的受力图1 1MABDCEFAxFAyFD杆杆AB的受力图的受力图 2 2MABDFDFA力偶只能与力偶平衡力偶只能与力偶平衡 （2）整体受力图）整体受力图1 1MABCDEFAxFAyFE整体受力图整体受力图2 2MABCDEFEFA例例5 5 组合梁如图所示，试分别作出梁组合梁如图所示，试分别作出梁AB、BC和整体和整体的受力图。的受力图。ABCqDFP解：解：梁梁AB 的受力图的受力图 FAFDFBBCq梁梁BC 的受力图的受力图qABDFPFBFC?解：解：梁
40、梁AB 的受力图的受力图 FAxFAyFDFBBCqFC梁梁BC 的受力图的受力图qABDFPFB?解：解：梁梁AB 的受力图的受力图 FAxFAyFDFBxFByBCqFC梁梁BC 的受力图的受力图qABDFP整体的受力图整体的受力图FAxFAyFDFCABCqDFP物体受力分析课堂练习物体受力分析课堂练习1试分别作出AC,DEBH,DE,以及BH的受力图。PABCDEH受受力图力图APDEHCBPDECHEBABC?受受力图力图BABCPDEHCBPDECHEB物体受力分析课堂练习物体受力分析课堂练习2ABCDEQ试分别作出AB,CE(加滑轮),CE,以及整体的受力图。受受力图力图ABAD
41、DCEQDCE?ABCDEQ?受受力图力图BDCEQBADDCEABCDEQ物体的受力分析物体的受力分析分离体和受力图分离体和受力图内力和外力内力和外力三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理物体的受力分析的物体的受力分析的步骤和注意事项步骤和注意事项要要点点回回顾顾理论力学理论力学力系的简化力系的简化2力系的简化力系的简化寻求一个已知力系的更简单的等效力系，称为力系的简化力系的简化(reductionofforcesystems)。力系的简化是静力学研究的基本问题之一。力系的简化是静力学研究的基本问题之一。本章的主要内容包括:汇交力系与力偶系的简化汇交力系与力偶系的简化空间任意力系的简化空间任意力系
42、的简化平行力系的简化平行力系的简化平行力系中心和重心平行力系中心和重心2.1汇交力系与力偶系的简化汇交力系与力偶系的简化2.1.1 汇交力系的简化汇交力系的简化各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系汇交力系(concurrentforcesystem)。汇交汇交力系的简化力系的简化 几何法几何法汇交力系（F1,F2,Fn）简化的结果为一通过通过汇交点的合力汇交点的合力,合力矢等于原力系的主矢合力矢等于原力系的主矢:几何法即是用多边形法则多边形法则求这个合力矢。力的多边形法则力的多边形法则FR=FiFR=FiFnF1+F2F1F2 汇交汇交力系的简化力系的简化 解析法解析法上述结果称为合力投影定
43、理合力投影定理,即合力在任一即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。数和。2.1.2 力偶系的简化力偶系的简化任意力偶系（M1,M2,Mn）的简化结果为一合力偶合力偶,其合力偶矩等于其合力偶矩等于全部由力偶组成的力系称为力偶系力偶系(systemofcouples)简化的方法也有类似的几何法和解析法。简化的方法也有类似的几何法和解析法。作用在刚体上的力作用在刚体上的力FA 可以平行移动到刚可以平行移动到刚体上任一指定点体上任一指定点O，但必须附加一力偶，其但必须附加一力偶，其力偶矩等于原力力偶矩等于原力FA 对指定点对指定点O之矩之矩M
44、O(FA)。2.2任意力系的简化任意力系的简化2.2.1力线平移定理力线平移定理 FAAOMFOFA=MO(FA)rOA=rOAFAAOFArOAAOFOMFO=FAM=MO(FA)=rOAFA力线平移定理的证明力线平移定理的证明 注注意意一一下下上上述述定定理理的的逆逆过过程程，即即可可发发现现当当一一个个力力和和一一个个力力偶偶矩矩相相互互垂垂直直时时,即即FM时时,它它们也可以合成为一个力。们也可以合成为一个力。2.2.2任意力系向一点简化任意力系向一点简化F1F2F3FnOFiMiFiFiFi=FiMi=MO(Fi)空间任意力系向空间任意力系向一点简化得到一个一点简化得到一个汇交力系和
45、一个力汇交力系和一个力偶系。偶系。任意力系任意力系向简化中心O简化汇交力系汇交力系力偶系力偶系+合力:作用于简化中心O+合力偶:原力系对O的主矩AFAAMAFAyFAxAMA应用应用固定端约束的约束反固定端约束的约束反力力任意力系任意力系向向A点简化点简化FA和和MA平面固定端约束平面固定端约束空间固定空间固定端约束端约束FAzFAxFAyMAzMAxMAyAFAMA2.2.3平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果平面任意力系（F1,F2,Fn）向一点简化后得到由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况:由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况:(1)简化为一合力，其合力矢FR=FR，
46、合力作用线通过简化中心O。这时原力系等价于一个汇交于简化中心O的汇交力系。(2)简化为一合力偶，其力偶矩M=MO，且与简化中心的选择无关，即原力系等价于一个力偶系。OFRdOMOFR(3)简化为一合力，其合力矢FR=FR，但合力作用线不通过简化中心O。(4)原力系为一平衡力系。2.3平面平行力系的简化平面平行力系的简化各力的作用线相互平行的平面力系称为平面平行平面平行力系力系。平行力系是工程中最常见的力系之一。平面平行平面平行力系的简化力系的简化 OyxFi向O点简化后得到:可进一步简化为一个合力，其合力矢FR=FR=Fi合力FR的作用点C称为平行力系中心平行力系中心(centerofpara
47、llelforces)。下面来确定它的位置。FRC 平行平行力系中心力系中心 OyxFiFRC(xC,yC)(xi,yi)由合力矩定理可得同理可得主主矢矢不不等等于于零零的的平平行行力力系系中中各各力力绕绕其其各各自自的的作作用用点点同同时时转转过过一一个个相相同同的的角角度度时时，平平行行力力系系中中心心的的位位置置不不变变。这个结论与我们的日常经验是吻合的。平行力系中心C的坐标公式：公公式式适适用用于于任任何何主主矢矢不不等等零零的的平平行行力力系系，式式中中各各力力的的投投影影和和作作用用点点的的坐坐标标均均为为代代数数量量，使使用用时时应应注注意意正正负负号号。平行平行分布载荷分布载荷
48、 平平行行分分布布载载荷荷是指平行分布的表面力或体积力，通常是一个连续分布的同向平行力系，在工程中极为常见。某些平行分布载荷可以简化为沿直线分布的平行力，称为线载荷线载荷。作用于悬臂梁的载荷分布于狭长的梁顶表面，且受力关于梁的纵向对称面对称，故可简化为梁纵向对称面内的线载荷。q线载荷的大小以某处单位长度上所受的力来表示，称为线载荷在该处的集集度度(intensity)。常用q表示，单位为N/m或kN/m。线线载载荷荷是是平平行行力力系系的的特特殊殊情情况况，可可用用平平行行力力系的简化理论来求它的合力。系的简化理论来求它的合力。qlQl/2矩形均布载荷Q=qlqlQl/3三角形分布载荷Q=ql
49、/2 重心与形心重心与形心 作用在地球表面附近的物体各质元上的重力可近似看成一平行力系,此平行力系中心就称为物体的重心重心(centerofgravity)。求物体重心的坐标可直接应用平行力系中心的坐标公式,即式中(xi yi zi )是第i个质元的坐标,Pi是它的重量。重心坐标公式均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与物体的几何中心重合,也称为形心形心(centroidofavolume)。形心坐标的计算公式为式中V 是整个物体的体积。例例1求如图所示的平面图形的形心。2aa2aaxay解解：(1)分割法分割法将图形分割成三个部分。各个部分的面积和形心坐标分别为:S1=3a2x1=3a/
50、2y1=7a/2S2=2a2x2=a/2y2=2aS3=3a2x3=3a/2y3=a/22aa2aaxay(2)负面积法负面积法将图形补足成一规则的矩形。S1=12a2x1=3a/2y1=2a再挖去补充的部分,其面积和形心坐标分别为:S2=4a2x2=2ay2=2a两种方法求出的结果相同。2aa2aaxay例例2如图所示，求作用于悬臂梁AB的线分布荷载对A点的矩。解解：ABLq2q1Q1Q2要要点点回回顾顾汇交力系与力偶系的简化汇交力系与力偶系的简化力线平移定理力线平移定理空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果平行力系的简化平行力系的简化平行力