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1、考点 29 曲线方程及抛物线【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2016 镇江期末）已知A为曲线C：4x2y10 上的动点，定点M(2,0)，若AT2TM，求动点T的轨迹方程 2、(2017 无锡期末）如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)若APB的平分线垂直于y轴，证明：直线AB的斜率为定值 3、(2017 苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)的准线方程为x14，过点M(0，2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O)直线l过点M，与抛物线交于B，C两点，与直
2、线OA交于点N.(1)求抛物线的方程；(2)试问：MNMBMNMC的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 4、(2018 南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，4)，P(2，t)(t0)上(1)求p，t的值；(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k22k3，求点C的坐标 【问题探究，变式训练】题型一 轨迹问题 知识点拨：求轨迹问题常见的有两种方法：一是定义法；二是轨迹法，轨迹法的步骤是：1、设点(x，y)，2、根据条件列关系；3、化简，整理。例
3、1、(2019 镇江期末）已知定点 A(2，0)，点 B 是圆 x2y28x120 上一动点，求 AB 中点 M 的轨迹方程 【变式 1】(2017 苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OCtOM(1t)ON(tR)，且点C的轨迹与抛物线y24x相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任意作一条抛物线y24x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由 【变式 2】(2018 苏中三市、苏北四市三调）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 为抛物
4、线 y22px(p0)的焦点，直线 l 过点 F 且与抛物线相交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)(1)若直线 l 的方程为 y43x23，求直线 OA 的斜率；(2)已知点 C 在直线 xp 上，ABC 是边长为 2p3 的正三角形，求抛物线的方程。题型二 曲线方程及抛物线中的直线问题 知识点拨：抛物线中的直线问题主要涉及到求直线的方程或研究直线过定点的问题。求直线主要是设直线方程或者斜率。直线过定点问题主要方法是求直线的方程，通过研究方程定点过定点。例 2、(2019 苏锡常镇调查（二）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F的直线 l 交抛物线 C
5、 于 A，B 两点(1)求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程；(2)已知AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，求直线 l 的方程【变式 1】(2019 无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 上的动点 M(x，y)(x0)到点 F(2，0)的距离减去 M 到直线 x1 的距离等于 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)若直线 yk(x2)与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补【变式 2】(2019 南京三模）平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)及点 M(2，0)，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于
6、 x 轴时，AB4.(1)求 p 的值；(2)若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上 【变式 3】(2017 苏州暑假测试）已知抛物线C的方程为y22px(p0)，点R(1,2)在抛物线C上(1)求抛物线C的方程；(2)设过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y2x2于点M，N，求线段MN的长度最小时直线AB的方程 【变式 4】(2016 苏北四市摸底）如图，已知抛物线C：x22py(p0)过点(2,1
7、)，直线l过点P(0，1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，连结AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 题型三 曲线方程及抛物线的综合问题 知识点拨：曲线方程及抛物线的综合问题主要涉及的问题求三角形的面积问题，线段长的问题，遇到这种问题要建立目标意识，建立函数关系式，通过研究函数确立最值问题。例 3、(2019 扬州期末）已知直线 x2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l，垂直于 y 轴，动点 P 在 l上，且满足OPOQ0(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知定点 M12
8、，0，N12，0，点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点 B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求MBD 的内切圆半径 r 的取值范围 【变式 1】(2018 苏北四市期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线 C：y24x 于点 P，点 F 为 C 的焦点圆心不在 y 轴上的圆 M 与直线 l，PF，x 轴都相切，设 M 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)若直线 l1与曲线 E 相切于点 Q(s，t)，过 Q 且垂直于 l1的直线为 l2，直线 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B.当
9、线段 AB 的长度最小时，求 s 的值 【变式 2】(2018 南京三模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 A(1，a)(a 0)是抛物线 C 上一点，且 AF2.(1)求 p 的值；(2)若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMAN.记点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1，d2，求d1d2的值 【变式 3】(2017 南通一调）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22py(p0)上的点M(m，1)到焦点F的距离为 2.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求EAB面积的最小值 【变式 4】(2016 南通、扬州、泰州、淮安三调）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)上一点P34，m到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论