2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学(理)试题(解析版)5060.pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 22 页 2020 届云南省昆明市高三下学期 1 月月考数学（理）试题一、单选题 1已知集合2|1AxN x，集合|13BxZx，则图中阴影部分表示的集合为（）A 1,3 B1,3 C1,2,3 D1,0,2,3【答案】C【解析】求出集合的等价条件，结合 Venn 图转化为定义的集合关系进行求解即可【详解】解：2|1=0 1AxN x，1,0,1,2,3B 阴影部分对应的集合为BC A，则 1,2,3BC A，故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用 Venn 图表示集合关系是解决本题的关键 2在复平面内，复数1zi 的共轭复数对应的向量为OZuuuu r为（）A B

2、 C D【答案】C【解析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案【详解】第 2 页共 22 页解：复数1zi 的共轭复数为1zi，对应的点为(1,1)，复数1zi 的共轭复数对应的向量为OZuuuu r为图 C，故选：C【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题 3已知,2，3sin5，则cos（）A45 B35 C45 D35-【答案】A【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得cos的值【详解】解：因为,2，3sin5，所以234cos155 ，4coscos5，故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题 4根据中国生态

3、环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是（）A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况 B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加 C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质第 3 页共 22 页 D2018 年、类水质的占比超过60%【答案】C【解析】根据饼图逐一判断【详解】A2018 年、类水质的占比明显超过 2017 年、类水质的占比，故正确；B2018 年、类水质的占比达到 60.4%，而 2017 年、类水质的占比为 46.4%，故正确；C.2018 年与 2017 年相比

4、较，占比减小幅度最大的是 III 类水质，故错误；D.2018 年、类水质的占比达到 60.4%，超过60%，故正确.故选：C【点睛】本题考查饼图的识别及认识，是基础题 5 以双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点F为圆心，12OF为半径的圆（O为坐标原点）与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为（）A30 xy B30 xy C50 xy D50 xy【答案】B【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出ba即可【详解】由已知双曲型的渐近线为byxa，选取其中一条研究即可，即为0bxay，另外以双曲线C的右焦点F为圆心，12OF为半径的圆圆心为(,0

5、)c，半径为12c，由题可知2212bccab，即222bab，解得13ba，则C的渐近线方程为13yx，即30 xy，故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立,a b c的等量第 4 页共 22 页关系，是基础题 6如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为 f n（9n且*nN），已知

6、 11f，21f，且通过该规则可得 1221f nf nf n，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（）A7 B16 C19 D21【答案】B【解析】根据递推关系计算即可【详解】解：由已知 32211 1 2 14fff ，4322142 17fff ，5423178 1 16fff ，故选：B【点睛】本题考查递推关系的应用，是基础题 7设 fx是函数 f x的导函数，yfx的图象如图所示，则 yf x的图象可能是（）A B 第 5 页共 22 页 C D【答案】D【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可【详解】解：根据导函数图像，yf x的增区间为(3,1),(0,1

7、)，减区间为(1,0),(1,3)，观察选项可得 D 符合，故选：D【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题 8ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若120B，21sin7C，2c，则ABC的面积等于（）A32 B2 3 C34 D3【答案】A【解析】先通过已知求出sin,cos,cosBBC，进而根据sinsin()AB C求出sin A，再利用正弦定理求出b，则利用面积公式可求出ABC的面积【详解】解：120B Q，31sin,cos22BB，又21sin7C，C为锐角，2 7cos7C，si

8、nsin()sincoscossinABCBCBC32 712121272714，由正弦定理得sinsinbcBC，第 6 页共 22 页 23sin7s1in272cbBC，113sin722122142ABCSbcA V，故选：A【点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题 9已知函数 xxf xee，则（）A 25ff ef B 25f eff C 52ff ef D 25fff e【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小【详解】解：由已知 xxfxe

9、ef x，故()f x为偶函数，另外令xte，则 1f xtt，xte，又1ytt，在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，而xte在R上单调递增，且01e，根据复合函数单调性的判断规则，xxf xee在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，因为520e，所以 25fff e，即 25fff e，故选：D【点睛】本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题 10某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可第 7 页共 22 页以看成是一个球被一个棱长为4 3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球

10、心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（）A2 B4 C2 6 D4 6【答案】B【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可【详解】解：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2 3，根据截面圆的周长可得42 r，得2r=，故由题意知2222 3Rr，即22222 316R，所以4R，故选：B【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题 11已知函数 sin04fxx，0,2x的值域是2,12，则的取值范围是（）A30,2 B3,32 C73,2 D5

11、7,2 2【答案】B【解析】先通过x的范围，求出4x的范围，再利用值域，可得52244，进而可求的取值范围【详解】解：因为0，所以当0,2x时，,4424x 因为函数 sin04fxx，0,2x的值域是2,12 第 8 页共 22 页所以52244，解得332，故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体24的范围，再根据单调性和最值的关系分析，是中档题 12 已知P是函数 2f xx图象上的一点，过点P作圆22430 xyy的两条切线，切点分别为A，B，则PA PBuuu r uuu r的最小值为（）A328 B2 23 C0 D32【答案】A【解析】先利用条件将PA PBu

13、，min83734287y，故选：A【点睛】本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题二、填空题 13已知点()1,0A，2,3B，则与向量ABuuu r垂直的一个非零向量的坐标是_（只要填写一个满足条件的向量即可）【答案】3,1.【解析】求出向量ABuuu r，写出一个与其垂直的向量，与其平行即可【详解】解：由已知(1,3)AB uuu r，则(3,1)与ABuuu r垂直，只要填写形如3,0的向量都正确.故答案为：3,1【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题 14 65121xy的展开式中42x y的系数是_.【答案】600.【解析】分别对

14、61x和521y 找到4x与2y的系数，相乘即可【详解】65121xy的展开式中含42x y的项为2443652C x Cy，其系数为432652600C C，故答案为：600【点睛】第 10 页共 22 页本题考查二项式定理，求指定项的系数，是基础题 15已知椭圆M：222210 xyabab的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且45OAB，则椭圆M的离心率为_.【答案】63.【解析】四边形OABC为平行四边形，45OAB，直线OC的方程为：yx，联立22221yxxyab，解得：Cx 同理联立22221yxaxyab，解得Bx 根据|OACBa，

15、即CBxxa化简即可得出【详解】解：如图所示，四边形OABC为平行四边形，45OAB，直线OC的方程为：yx，联立22221yxxyab，解得：22Cabxab 同理联立22221yxaxyab，化为：222342220abxa xaa b 解得32322222Baabaxaabab|OACBa，232222ababaaabab 化为：223ba 第 11 页共 22 页椭圆的离心率222211336cbbeaab 故答案为：63【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 16依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和

16、国个人所得税法向国家缴纳个人所得税（简称个税）2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额免征额专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除其中免征额为每年 60000 元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数 1 0,36000 3 0 2 36000,144000 10 2520 3 144000,300000 20 16920 4 300000,420000 25 31920 5 420000,660000 30 52

17、920 6 660000,960000 35 85920 7 960000,45 181920 备注：“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、第 12 页共 22 页赡养老人等支出。“其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。某人全年综合所得收入额为 160000 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是 2400

18、0 元，依法确定其他扣除是 0 元，那么他全年应缴纳综合所得个税_元【答案】1880.【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可【详解】解：由已知应纳税所得额1600006000016000020%2400044000，则个税税额44000 10%25201880 故答案为：1880【点睛】本题考查实际问题的解答，考查理解能力和计算能力，是基础题三、解答题 17在长方体1111ABCDABC D中，1ADAA.（1）证明：平面1ABD 面11BC D；（2）若2ABAD，求二面角11ABDD的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）53.【解析】（1）通过证明11ADBC，11

19、1ADC D来证明1AD 平面11BC D，进而证明平面1ABD 面11BC D；（2）建立空间直角坐标系，求出面1BDD和面1ABD的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角11ABDD的余弦值第 13 页共 22 页【详解】（1）证明：因为1ADAA，所以四边形11AA D D是正方形，所以11ADAD，又四边形11ABC D是平行四边形，所以11/ADBC，所以11ADBC，因为长方体1111ABCDABC D中，11C D 平面11AA D D，所以111ADC D，又1111BCC DCI，111BCC D、平面11BC D，所以1AD 平面11BC D，而1AD 平面1ABD，所

20、以平面1ABD 平面11BC D.（2）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设11ADAA，则2AB，11,0,1A，1,2,0B，0,0,0D，10,0,1D，设平面1BDD的一个法向量为1111,nx y zur，10,0,1DD uuuu r，1,2,0DB uuu r，则11111100200znDDxynDBuv uuuu vuv uuu v，取11y ，所以12,1,0n ur，设平面1ABD的一个法向量为2222,nxy zuu r，11,0,1DA uuu u r，1,2,0DB uuu r，222122200200 xznDAxynDBuu v uuu u vuu v uu

21、u v，取21y ，所以22,1,2n uu r，故1212125cos,3n nn nn nur uu rur uu rur uu r，又二面角11ABDD是锐角，所以，二面角11ABDD的余弦值为53.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题 18 设等差数列 na公差为d，等比数列 nb公比为q，已知11ab，3125abb，第 14 页共 22 页 2qd.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记nnncab，求数列 nc的前n项和nS.【答案】（1）21nan，14nnb；（2）655499nnnS.【解析】（1）将条件均用

22、基本量表示，列方程求解即可；（2）写出nS和4nS，作差，利用等比数列的求和公式整理即可【详解】（1）125bb，115bq，又2qd，11ab，11 25ad，3125aad，152ad，521 25dd，解得：10d，22d，若0d，20qd（舍去），若2d，24qd，11321baad，1121naandn，1114nnnbb q.（2）121 4nnnncabn，211 3 45 421 4nnSn L，23443 45 421 4nnSn L，23131 2 42 42 42 4214nnnSn L 14 411 22144 1nnn 655433nn.655499nnnS.第 15

23、页共 22 页【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力，是基础题 19已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，P是C上的动点.（1）当4PF 时，求直线PF的方程；（2）过点P作l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为Q，证明：直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）33yx或33yx；（2）直线PQ恒过点1,0，理由见解析.【解析】（1）设00,P x y，利用01PFx 求出0 x，进而可求出0y，利用点P的坐标求出PFk，用斜截式可写出直线方程；（2）设2000,04yPyy，则01,My，联立直线OM与抛物

24、线C，求出点Q坐标，进而写出直线PQ的方程，可得其所过的定点【详解】（1）设00,P x y，由4PF 得014x，解得：03x，所以02 3y .所以2 3033 1PFk，所以直线PF的方程为：33yx或33yx.（2）设2000,04yPyy，则01,My，直线OM的方程为：0yy x.联立024yy xyx 得：22040y xx，解得20044,Qyy.当02y 时，直线PQ的方程为1x，第 16 页共 22 页当02y 时，直线PQ方程为：200020444yyyyxy，化简得：020414yyxy，综上，可知直线PQ恒过点1,0.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直

25、线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题 20近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国 10 支鲜花 7 支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉。对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x（单位：元/扎，20 支/扎）和销售率y（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：x 10 20 30 40 50 60 y 0.9 0.65 0.45 0.3 0.2 0.175 （1）设lnzx，根据所给参考数据判断，回归模型ybxa$与$ybza$哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程（$a、b$的

26、结果保留一位小数）；（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花 1200 扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x（单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W（单位：元）最大，并求W的最大值。参考数据：y与x的相关系数10.96r ，y与z的相关系数20.99r ，35x，0.45y，6219100iix，3.40z，2669.32z，618.16iiiy z，62171.52iiz，320.1e，3.430.0e，3.533.1e，454.6e.参考公式：121niiiniixxyybxx$，aybx$，12211niiinniiiixxyyrxxyy.第 17 页

27、共 22 页【答案】（1）$ybza$更合适，$0.5ln2.0yx；（2）最大日销售额为 12060 元.【解析】（1）先由线性相关系数的意义可知，$ybza$更合适，再根据回归直线方程的系数公式，代入数据计算即可；（2）先得到12000.5ln2.0Wxx，再利用导数求其最值即可【详解】（1）因为10.96r，20.99r，0.960.991，由线性相关系数的意义可知，$ybza$更合适，6611662221166iiiiiiiiiizzyyz yz ybzzzz8.166 3.400.450.460.571.5269.32 ，$0.450.463.402.0aybz$，所以回归直线方程

28、为：$0.5ln2.0yx.（2）由题意有：12000.5ln2.0Wxx，1200 1.50.5lnWx，令0W，得ln3x ，320.1xe，当30 xe时，0W，W递增；当3xe时，0W，W递减；所以当售价约为 20.1 元/扎时，日销售额W最大.33max12000.5 lne2.0We 12000.5 32.020.112060 （元），所以，最大日销售额为 12060 元.【点睛】本题考查回归方程的求法以及利用导数求最值，考查学生的理解能力以及建模的能力，是一道中档题 21已知函数 22xf xeaxax aR.（1）讨论 f x的导数 fx的单调性；（2）若 f x有两个极值点1

29、x，2x，求实数a的取值范围，并证明12111xx.【答案】（1）fx在,ln 2a上单调递减，fx在 ln 2,a上单调递增；（2）见解析.第 18 页共 22 页【解析】（1）求出 fx，令 g xfx，对0a，0a 讨论来求 fx的单调性；（2）将 f x有两个极值点1x，2x转化为210 xea x有两解，继续转化为21xeax有两解，构造函数 1xeh xx，求导 01h为其极小值，可得21a，即可求得实数a的取值范围；另外要证明12111xx，不妨设12xx，则1210 xx，由（1）根据 fx的单调性得 120ln 2xax，通过变形，转化为证明12ln1ln10 xx，进一步

30、变形证明 22 2ln 20fxfax，构造函数 2ln 2H xfxfax，利用导数研究其最小值即可证明【详解】（1）由题意，得 2221xxaxaaRfexxex.设 g xfxxR，则 2xgxea.当0a 时，20 xgxea，所以 fx在R上单调递增.当0a 时，由 20 xgxea，得 ln 2xa.当 ln 2xa时，0gx，fx在,ln 2a上单调递减；当 ln 2xa时，0gx，fx在 ln 2,a上单调递增.（2）由于 f x有两个极值点1x，2x，即 0fx 在xR上有两解1x，2x，0fx 即210 xea x，显然1x ，故等价于21xeax有两解1x，2x，设 1x

31、eh xx，则 21xxehxx，当1x 时，0h x，所以 h x在,1 单调递减，且 0h x，x 时，0h x，1x 时，h x；当10 x 时，0h x，所以 h x在1,0单调递减，且1x 时，h x；当0 x 时，0h x，所以 h x在0,单调递增，且x时，h x，第 19 页共 22 页所以 01h是 h x的极小值，21xeax有两解1x，2x等价于21a，得12a.不妨设12xx，则1210 xx.据（1）fx在,ln 2a上单调递减，在 ln 2,a上单调递增，故 120ln 2xax，由于1121xa xe，2221xa xe，且 1210ln 2xax，则1201

32、1xx，所以 11ln 2ln1xax，22ln 2ln1xax，即 11ln1ln 2xxa，22ln1ln 2xxa，欲证明：12111xx，等价于证明：12ln1ln10 xx，即证明：122ln 20 xxa，只要证明：122ln 2xax，因为 fx在,ln 2a上单调递减，122ln 2,ln 2xaxa，所以只要证明：12 2ln 2fxfax，由于 12fxfx，所以只要证明：22 2ln 2fxfax，即证明：22 2ln 20fxfax，设 2ln 2H xfxfax，据（1）2ln 2H xg xgax，2ln 2Hxgxgax2ln 222axxeaea 2224442

33、40 xxxxeeaaeaae，所以 H x在,上单调递增，所以 2ln 2 ln 2 2ln 2ln 20H xHafafaa，即 22 2ln 20fxfax，故12111xx.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，综合性强，对学生计算能力以及转化问题的能力要求高，是一道难题第 20 页共 22 页 22已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合曲线C的极坐标方程是22612sin，直线l的极坐标方程是cos204 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）设点2,0P，直线l与曲线C相交于点M、N，求11PMPN的值【答案】（1）22162x

34、y，20 xy；（2）6.【解析】（1）利用222sinyxy，将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）写出直线l过点2,0P的参数方程，代入曲线C，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果【详解】（1）曲线C化为：2222sin6，将222sinyxy代入上式，即2236xy，整理，得曲线C的直角坐标方程22162xy.由cos204，得22cossin2022，将cossinxy代入上式，化简得20 xy，所以直线l的直角坐标方程20 xy.（2）由（1）知，点2,0P在直线l上，可设直线的参数方程为32cos43sin4xtyt（t为参数），即22222xtyt（t为参数），第 21 页

35、共 22 页代入曲线C的直角坐标方程，得22112 243622ttt，整理，得2210tt，所以 224 160 ，1 210t t ，由题意知，12121 21111tPNtPtt tMt6611.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题 23已知函数 22f xxx.（1）求不等式 3f x 的解集；（2）若aR，且0a，证明：14114afxa.【答案】（1）|15xx；（2）见解析.【解析】（1）分类讨论去绝对值，作出函数的图像，根据图像得到函数的单调性，利用单调性结合图像可得不等式

36、的解集；（2）利用绝对值的三角不等式以及基本不等式可证明结果【详解】（1）法一：2,02232,012,1xxf xxxxxxx，作出 f x的图象，如图所示：结合图象，第 22 页共 22 页函数 f x在,1上单调递增，在1,上单调递减，又 13f ，53f，所以不等式 3f x 的解集是|15xx.法二：223f xxx，等价于：0223xxx 或01223xxx 或1223xxx，解得：10 x 或01x或15x，所以不等式 3f x 的解集是|15xx.（2）由（1）知函数 f x的最大值是 11f，所以 1f x 恒成立.因为11144111aaaa 11444aaaa，当且仅当12a 时，等号成立.所以 14114afxa.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值的三角不等式的应用，是中档题

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