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1、 高考物理高考专题复习学案 万有引力与航天 考题一 天体质量(密度)的估算 求解中心天体质量、密度的方法 1.利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 求解 由于 GMmR2mg，故天体质量 MgR2G.2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解(1)已知卫星的轨道半径 r 和该轨道上的重力加速度 g，根据GMmr2mg，得 Mgr2G；(2)已知卫星线速度 v 和轨道半径 r，根据GMmr2mv2r得 Mrv2G；(3)已知卫星运转周期 T 和轨道半径 r，由GMmr2m42T2r 得 M42r3GT2；(4)已知卫星线速度 v 和运转周期 T，根据GMmr2mv2T和 rvT2得 Mv3T2
2、G.3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用 M43R3进行.例 1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星 S1、S2，半径均为 R0.图分别是两颗恒星周围行星的公转周期 T2与半径 r3的图象，则()A.恒星 S1的质量大于恒星 S2的质量 B.恒星 S1的密度小于恒星 S2的密度 C.恒星 S1的第一宇宙速度大于恒星 S2的第一宇宙速度 D.距两恒星表面高度相同的行星，S1的行星向心加速度较大 解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，GMmr2m42T2r，变形得T2r342GM.故图象的斜率越大，质量越小.故恒星 S1的质量小于恒 星 S2的质量.故 A 错.因为
3、两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星 S1的密度小于恒星 S2的密度，故 B 对.由 GMmR2mv2R变形后得第一宇宙速度 v GMR，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星 S1的第一宇宙速度小于恒星 S2的第一宇宙速度，故 C 错.行星向心加速度 aGMr2，行星距两恒星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故 D 错.答案 B 训练 1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面 P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为，天然气的密度远小于，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速
4、度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k1).已知引力常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是()A.kgdG B.kgdG C.1kgdG D.1kgd2G 答案 D 解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为 m 的物体重力为 mg，没有填满时是 kmg，故空腔填满后引起的引力为(1k)mg；由万有引力定律，有：(1k)mgGVmd2，解得：V1kgd2G，D 对.2.某行星外围有一圈厚度为 d 的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径
5、.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离 r 的关系如图乙所示(图中所标量为已知)，则下列说法正确的是()A.发光带是该行星的组成部分 B.该行星的质量 Mv 20RG C.行星表面的重力加速度 gv 20R D.该行星的平均密度为 3v 20R4GRd3 答案 BC 解析 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有vr，v 与 r 应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故 A错误，发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：GMmr2mv2r得该行星的质量
6、为：Mv2rG；由题图知，rR 时，vv0，则有：Mv 20RG.故 B正确.当 rR 时有 mgmv 20R，得行星表面的重力加速度 gv 20R，故 C 正确.该行星的平均密度为 M43R33v 204GR2，故 D 错误，故选 B、C.3.“嫦娥二号”绕月卫星于 2010 年 10 月 1 日 18 时 59 分 57 秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约 h1105 m 的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动.设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g月，万有引力常量为 G，则下列说法正确的
7、是()A.由题目条件可知月球的平均密度为3g月4GR B.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为 2 RG月 C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为 g月Rh D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为(RRh)2g月 答案 AD 解析 在月球表面重力与万有引力相等，由 GmMR2mg月可得月球质量 Mg月R2G，据密度公式可得月球密度 MVg月R2G43R33g月4GR，故 A 正确；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 GMmRh2m(Rh)42T2，可得周期 T 42Rh3GM 42Rh3g月R2，故 B 错误；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 GmMRh2mv2Rh 可得“
8、嫦娥二号”绕行速度 v GMRh g月R2Rh，故 C 错误；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 GmMRh2ma，可得“嫦娥二号”在工作轨道上的向心加速度 aGMRh2(RRh)2g月，故 D 正确.考题二 人造卫星问题 解答卫星问题的三个关键点 1.根据GMmr2F向mv2rmr2mr42T2ma，推导、记忆v GMr、GMr3、T 42r3GM、aGMr2等公式.2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位.3.灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的区别与联系.例 2 如图 4 所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S 分别
9、表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有()图 4 A.TATB B.EkAEkB C.SASB D.R 3AT 2AR 3BT 2B 解析 由GMmR2mv2Rm42T2R 和 Ek12mv2 可得 T2 R3GM，EkGMm2R，因 RARB，则 TATB，EkAr3，则 a2a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMmr2ma，由题目中数据可以得出，r1r2，则 a2a2a3，选项 D 正确.5.如图 1 所示，我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周
10、运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()图 1 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C 解析 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项 A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行
11、，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项 B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项 D 错误.6.(多选)已知地球自转周期为 T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是()A.T04 B.3T04 C.3T07 D.T07 答
12、案 CD 解析 设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，运动周期为 T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：GMmr242mrT2，解得：T2 r3GM.同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为 T0.已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：TT0 r34r318，解得 T18T0.设卫星至少每隔 t 时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系 t 得：2Tt2n2T0t，解得 tnT07，当 n1 时 tT07，n3 时 t3T07，故 A、B 错误，C、D 正确.7.据新华社北京 3 月 21 日电，
13、记者 21 日从中国载人航天工程办公室了解到，已在轨工作 1 630 天的“天宫一号”目标飞行器在完成与三艘神舟飞船交会对接和 各项试验任务后，由于超期服役两年半时间，其功能已于近日失效，正式终止了数据服务.根据预测，“天宫一号”的飞行轨道将在今后数月内逐步降低，并最终进入大气层烧毁.若“天宫一号”服役期间的轨道可视为圆且距地面 h(h343 km)，运行周期为 T，地球的半径为 R，下列关于“天宫一号”的说法正确的是()A.因为“天宫一号”的轨道距地面很近，其线速度小于同步卫星的线速度 B.女航天员王亚平曾在“天宫一号”中漂浮着进行太空授课，那时她不受地球的引力作用 C.“天宫一号”进入外层
14、稀薄大气一小段时间内，克服气体阻力的功小于引力势能的减小量 D.由题中信息可知地球的质量为42R3GT2 答案 C 解析 根据万有引力提供向心力可知：GMmr2mv2r，解得：v GMr，由于“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的半径，则其线速度大于同步卫星的线速度，故 A 错误；航天员在“天宫一号”中处于失重状态，地球对她的万有引力提供她随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，不是不受地球的引力作用，故 B错误；根据动能定理可知引力与空气阻力对“天宫一号”做的总功应为正值，而引力做的功等于引力势能的减少，即“天宫一号”克服气体阻力做的功小于引力势能的变化，故 C 正确；根据万有引力提供向心力
15、可知，GMmRh2m42RhT2，解得：M42Rh3GT2，故 D 错误.8.宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命.为了探测暗物质，我国在 2015 年 12 月 17 日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间 t(t 小于其运动周期)，运动的弧长为 L，与地球中心连线扫过的角度为(弧度)，引力常量为 G，则下列说法中正确的是()A.“悟空”的质量为L3Gt2 B.“悟空”的环绕周期为2t C.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度 D.“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 答案
16、 B 解析“悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故 A 错误；“悟空”经过时间 t(t 小于“悟空”的周期)，它运动的弧长为 L，它与地球中心连线扫过的角度为(弧度)，则“悟空”的角速度为：t，周期 T22t，故 B 正确；“悟空”在低于地球同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMmr2mv2r，得 vGMr，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运 行的速度小于地球的第一宇宙速度，故 C 错误；由GMmr2ma 得：加速度 aGMr2，则知“悟空”的向心加速度
17、大于地球同步卫星的向心加速度，故 D 错误.9.一半径为 R、密度均匀的自行旋转的行星，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的 n 倍(n1).求该行星的同步卫星距离地面的高度.答案(311n1)R 解析 设行星的质量为 M，自转的角速度为，其极地处的重力加速度为 g.对质量为 m1的物体位于极地和赤道时，根据万有引力定律 GMm1R2m1g GMm1R2nm1gm1R2 设同步卫星的质量为 m2，距离地面的高度为 h，根据万有引力定律 GMm2Rh2m2(Rh)2 整理得 h(311n1)R.10.假设某天你在一个半径为R 的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h 处无初速度释放，测得小球经时间 t 落地.若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为 G.求：(1)该星球的质量 M；(2)在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小 v.答案(1)2hR2Gt2(2)2hRt 解析(1)根据 h12gt2可知 g2ht2 由GMmR2mg 可得 M2hR2Gt2(2)根据GMmR2mgmv2R 可得 v2hRt.