高中物理必修2同步学案:第5章曲线运动第6节向心加速度18208.pdf

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1、 1 第 6 节 向心加速度【学习目标】:知识与技能 1理解速度变化量和向心加速度的概念,2知道向心加速度和线速度、角速度的关系式 3能够运用向心加速度公式求解有关问题 过程与方法 体会速度变化量的处理特点,体验向心加速度的导出过程,领会推导过程中用到的数学方法,教师启发、引导学生自主阅读、思考,讨论、交流学习成果 情感、与价值观 培养学生思维能力和分析问题的能力,培养学生探究问题的热情,乐于学习的品质特别是“做一做”的实施,要通过教师的引导让学生体会成功的喜悦【预习要点】:要点一 对向心加速度的理解 1加速度定义公式:avt,a 的方向与 v 的方向一致 2速度的变化量 vv2v1是矢量式,

2、其运算规律符合平行四边形定则 3方向:总是沿着圆周运动的半径指向圆心,即方向始终与运动方向垂直(1)匀速圆周运动虽然线速度的大小不变,但速度方向时刻改变,v 就是由于速度方向的变化产生的 0 时,v 指向圆心,所以加速度指向圆心 0 时,v 指向圆心,所以加速度指向圆心 4物理意义:描述线速度方向改变的快慢 5圆周运动的性质:不论加速度 an 的大小是否变化,an 的方向是时刻改变的,所以圆周运动一定是变加速运动 要点二 向心加速度的几种表达式 1不同形式的各种表达式(1)对应线速度:anv2r.(2)对应角速度:anr2.(3)对应周期:an42T2r.(4)对应转速:an42n2r.(5)

3、推导公式:anv.2理解(1)当半径一定时,向心加速度的大小与角速度的平方成正比,也与线速度的平方成正比随频率的增加或周期的减小而增大(2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比 2(3)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比 an 与 r 的关系图象,如图 562 所示 图 562 由 anr 图象可以看出:an 与 r 成正比还是反比,要看 恒定还是 v 恒定 3向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动(1)向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度 对于匀速圆周运动,其所受的合外力就是向心力,其只产生向心加速度,因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度 图 563 而对于非匀速圆

4、周运动,例如竖直平面内的圆周运动,如图 563 所示,小球的合力不指向圆心,因而其实际加速度也不指向圆心,此时的向心加速度只是它的一个分加速度,还有切向加速度 向心加速度表达速度方向改变的快慢,切向加速度表达速度大小改变的快慢(2)anv2rr2v,适用于匀速圆周运动和变速圆周运动,要注意的是变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的,利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度 要求某一时 刻的向心加速度,必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算.【答疑解惑】:如何理解向心加速度的含义?分析:速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向(如坐标轴)之间的夹角来描述做匀速圆周运动的物体的速度方向(圆周的

5、切线方向)时刻在变化,在 t 时间内速度方向变化的角度 等于半径在相同时间内转过的角度,如做匀速圆周运动的物体在一个周期 T 内半径转过 2 弧度,速度方向变化的角度也是 2 弧度因此,确切描述速度方向变化快慢的,应该是角速度 即 t2T 上式表示了单位时间内速度方向变化的角度,即速度方向变化的快慢角速度相等,速度方向变化的快慢相同 由向心加速度公式 an2rv2rv 可知,向心加速度的大小除与角速度有关外,还与半径或线速度的大小有关,从 av 看,向心加速度等于线速度与角速度的乘积 3 图 564 例如:在绕固定轴转动的圆盘上,半径不同的 A、B、C 三点,它们有相同的角速度,但线速度不同,

6、vArA,vBrB,vCrC,如图 564 所示因此它们的速度方向变化快慢是相同的,但向心加速度的大小却不相等,aAaBr,M 点为 O 轮边缘上的一点,N 点为 O1轮上的任意一点,当皮带轮转动时,(设转动过程中不打滑)则()图 566 AM 点的向心加速度一定大于 N 点的向心加速度 BM 点的向心加速度一定等于 N 点的向心加速度 CM 点的向心加速度可能小于 N 点的向心加速度 DM 点的向心加速度可能等于 N 点的向心加速度 解析 因为两轮的转动是通过皮带传动的,又因皮带在传动过程中不打滑,故两轮边缘各点的线速度大小一定相等,在 O1轮边缘上任取一点 Q,因为 Rr,所以由 anv2

7、r可知,aQRN,则由 an2r 可知,aQaN,综上可见,aMaN.选项 A 正确 5 答案 A 方法总结 分析传动问题关键有两点:其一是同一轮上的各点角速度相同;其二是皮带不打滑时,与皮带接触的各点线速度相同再正确的选择 an2r 或 anv2r,进行求解.【课堂练习】:1关于质点做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A由 anv2r知 an 与 r 成反比 B由 an2r 知 an 与 r 成正比 C由 vr知 与 r 成反比 D由 2n 知 与转速 n 成正比 答案 D 解析 由关系式 ykx 知,y 与 x 成正比的前提条件是 k 为定值只有当 v 一定时,才有 an 与 r 成反比;

8、只有当 一定时,才有 an 与 r 成正比 2在匀速圆周运动中,下列物理量中不变的是()A角速度 B线速度 C向心加速度 D转速 答案 AD 解析 线速度和向心加速度都是矢量,方向时刻改变,是变量,故只有 A、D 正确 3关于北京和广州随地球自转的向心加速度,下列说法中正确的是()A它们的方向都是沿半径指向地心 B它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D北京的向心加速度比广州的向心加速度小 答案 BD 解析 如右图所示,地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴,选项 B 正确,A错误;设地球半径为 R0,在地面上纬度为 的 P 点,

9、做圆周运动的轨道半径 rR0cos,6 其向心加速度为 an2r2R0cos.由于北京的地理纬度比广州的大,cos 小,两地随地球自转的角速度相同,因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小,选项 D 正确,选项 C错误 4一物体以 4 m/s 的线速度做匀速圆周运动,转动周期为 2 s,则物体在运动过程中的任一时刻,速度变化率的大小为()A2 m/s2 B4 m/s2 C0 D4 m/s2 答案 D 5甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动,甲球的轨道半径是乙球轨道半径的 2 倍,甲球的转速是 30 r/min,乙球的转速是 15 r/min,则两小球的向心加速度之比为()A11 B21 C81

10、D41 答案 C 解析 2n,an2r,故a甲a乙(n甲n乙)2r甲r乙81,C 项正确 6如图 567 所示,图 567 压路机前后轮半径之比是 13,A、B 分别是前后轮边缘上的点,C 为后轮上的一点,它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半则当压路机运动后三点 A、B、C 的角速度之比为_,向心加速度之比为_ 答案 311 621 解析 压路机在地面上行驶,不打滑时,两轮边缘的线速度大小相等,这里的地面好像是连接两轮的皮带 因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离,则前、后轮边缘上的 A、B 线速度大小相等,而同一轮上的 B、C 点具有相同的角速度 根据 vAvB,BC和 vr 可得 ABv

11、ArAvBrB1rA1rB31 所以 ABC311 根据 an2r,可得 aA2ArA,aB2BrB,aC2CrC 7 所以 aAaBaC(3C)2rA(2C3rA)(2C32rA)9332621.【课内探究】:题型 对向心加速度的认识 关于匀速圆周运动,下列说法正确的是()A由 anv2r知,匀速圆周运动的向心加速度恒定 B向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小 C匀速圆周运动不属于匀速运动 D向心加速度越大,物体速率变化越快 答案 BC 解析 向心加速度是矢量,且方向始终指向圆心,因此为变量,所以 A 错;由向心加速度的意义可知 B 对,D 错;匀速运动是匀速直线运动的简称,匀速

12、圆周运动其实是匀速率圆周运动,属于曲线运动,很显然 C 正确 拓展探究 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A向心加速度越大,物体速率变化越快 B向心加速度越大,物体速度变化越大 C向心加速度越大,物体速度方向变化越快 D在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 答案 C 归纳总结 深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性,是做对的前提.题型 向心加速度的表达式的应用 如图 1 所示,图 1 一球体绕轴 O1O2以角速度 旋转,A、B 为球体上两点,下列几种说法中正确的是()AA、B 两点具有相同的角速度 BA、B 两点具有相同的线速度 CA、B 两点的向心加速度方向都指向球心 DA、B 两

13、点的向心加速度数值相同 答案 A 解析 8 A、B 为球体上两点,因此,A、B 两点的角速度与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同,A 对;如右图所示,A 以 P 为圆心做圆周运动,B 以 Q 为圆心做圆周运动,因此,A、B 两点的向心加速度方向分别指向 P、Q,C 错;设球的半径为 R,则 A 运动的轨道半径 rARsin 60,B 运动的轨道半径 rBRsin 30,vAvBrArBsin 60sin 30 3,B 错;aAaB2rA2rB 3,D 错 拓展探究 关于匀速圆周运动的向心加速度,下列说法中正确的是()A由于 anv2r,所以线速度大的物体向心加速度大 B由于 anv2r,所以旋

14、转半径大的物体向心加速度小 C由于 an2r,所以角速度大的物体向心加速度大 D以上结论都不正确 答案 D 归纳总结 分析此类问题,要理解线速度、角速度、向心加速度的概念和定义式及 v、an、r之间的关系,并能正确选择关系式.题型 传动装置的向心加速度的计算 如图 2 所示,图 2 O1为皮带传动的主动轮的轴心,轮半径为 r1,O2为从动轮的轴心,轮半径为 r2,r3为固定在从动轮上的小轮半径已知 r22r1,r31.5r1.A、B、C 分别是三个轮边缘上的点,则质点 A、B、C 的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A123 B243 C843 D362 答案 C 解析 因为皮带不打滑,A

15、 点与 B 点的线速度大小相同,都等于皮带运动的速率根据向心加速度公式 anv2r,可得 aAaBr2r121.由于 B、C 是固定在同一个轮上的两点,所以它们的角速度相同根据向心加速度公式anr2,可得 9 aBaCr2r321.5.由此得 aAaBaC843,故选 C.归纳总结 讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系,可以分为两类问题:(1)皮带传动问题,两轮边缘线速度相等,常选择公式 anv2r.(2)同轴转动问题,各点角速度相等,常选择公式 an2r.【课后练习】:1.匀速圆周运动的向心加速度()A总是指向圆心且大小不变 B总是跟速度的方向垂直,方向时刻在改变 C与线速度

16、成正比 D与角速度成正比 答案 AB 2关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向,下列说法正确的是()A与线速度方向始终相同 B与线速度方向始终相反 C始终指向圆心 D始终保持不变 答案 C 3一小球被细线拴着做匀速圆周运动,其半径为 R,向心加速度为 an,则()A小球相对于圆心的位移不变 B小球的线速度为 Ran C小球在时间 t 内通过的路程 x anRt D小球做圆周运动的周期 T2 Ran 答案 BD 解析 小球做匀速圆周运动,各时刻相对圆心的位移大小不变,但方向时刻在变 由 anv2r得 v2Ran,所以 v Ran 在时间 t 内通过的路程 xvtt Ran 做圆周运动的周期 T2

17、2Rv2RRan2 Ran 4做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为 a1和 a2,且 a1a2,下列判断正确的是()A甲的线速度大于乙的线速度 10 B甲的角速度比乙的角速度小 C甲的轨道半径比乙的轨道半径小 D甲的速度比乙的速度变化快 答案 D 5物体做半径为 R 的匀速圆周运动,它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为an、v 和 T.下列关系式不正确的是()A anR Bv anR Canv DT2 anR 答案 D 解析 由 anr2,vr 可得 anR,v anR,anv,即 A、B、C 正确;又由 T2与 anR得 T2 Ran,即 D 错误 6如图 3 所示,图

18、 3 A、B 为咬合传动的两齿轮,RA2RB,则 A、B 两轮边缘上两点的()A角速度之比为 21 B向心加速度之比为 12 C周期之比为 12 D转速之比为 21 答案 B 解析 A、B 两点的线速度 v 大小相等,由 vr 得 AB12,由 anv2r得 aAaB12;由 2n2T,得TATB21,nAnB12,故 B 项正确 7由于地球的自转,下列关于向心加速度的说法正确的是()A在地球表面各处的向心加速度都指向地心 B在赤道和北极附近的物体的角速度相同,但赤道上物体的向心加速度大 C赤道和北极附近的物体的向心加速度一样大 D赤道和地球内部物体的向心加速度一样大 答案 B 解析 地球上的

19、物体均随地球一起绕地轴做匀速圆周运动,因此各质点做匀速圆周运动的圆心均在地轴上,且赤道处圆周运动的半径最大,两极为零,故由向心加速度公式 anr2可得,由于地球上各处角速度相同,因此赤道上的物体向心加速度大,故选项 B 正确 8在航空竞赛场里,由一系列路标塔指示飞机的飞行路径在飞机转变方向时,飞行 11 员能承受的最大向心加速度大小约为 6g(g 为重力加速度)设一飞机以 150 m/s 的速度飞行,当加速度为 6g 时,其路标塔转弯半径应该为多少?答案 382.65 m 解析 an6g69.8 m/s258.8 m/s2 由 anv2r得,rv2an150258.8 m382.65 m.9如

20、图 4 所示,图 4 A、B 两轮同绕轴 O 转动,A 和 C 两轮用皮带传动,A、B、C 三轮的半径之比为 233,a、b、c 为三轮边缘上的点求:(1)三点的线速度之比(2)三点转动的周期之比(3)三点的向心加速度之比 答案(1)232(2)223(3)694 解析 因 A、B 两轮同绕轴 O 转动,所以有 ab;A 和 C 两轮用皮带传动,所以有vavc,由公式 vr 结合题中已知条件 rarbrc233,即可求解(1)因 A、B 两轮同绕轴 O 转动,所以有 ab,由公式 vr 可知 vavb(ara)(brb)rarb23 又因为 A 和 C 两轮用皮带传动,所以有 vavc 综上所

21、述可知三轮上 a、b、c 三点的线速度之比 vavbvc232(2)因为 ab,所以有 TaTb 因为 vavc,根据 T2rv可得 TaTcrarc23 所以三点转动的周期之比 TaTbTc223(3)根据向心加速度公式 anv2r可得三点的向心加速度之比为 aaabacv2arav2brbv2crc429343694 10如图 5 所示,12 图 5 甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为 R;乙做自由落体运动,当乙下落至 A 点时,甲恰好第一次运动到最高点 B,求甲物体匀速圆周运动的向心加速度 答案 982g 解析 设乙下落到 A 点所用时间为 t 则对乙,满足 R12gt2,得 t 2Rg 这段时间内甲运动了34T,即 34T 2Rg 又由于 anr2R42T2 所以 a982g

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