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1、1第 5 节向心加速度 学考报告 知识内容向心加速度考试要求必考加试d d 基本要求1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度向心加速度2.知道向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算3.能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式说明1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题2.不要求掌握向心加速度公式的推导方法 基 础 梳 理 1.圆周运动的速度方向不断变化，一定是变速运动，必定有加速度。2.向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。3.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。4.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心
2、加速度的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。5.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。即 学 即 练 1.如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中正确的是()2解析做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。答案B 基 础 梳 理 1.向心加速度公式(1)基本公式：anv2r，an2r。(2)拓展公式：an42T2r，anv，an42n2r，an42f2r。2.向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化
3、的快慢。3.向心加速度的公式适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。4.注意：(1)在选用物理公式解题时，一定要理解公式的含义，明确各物理量的意义。(2)由anv2r知：r一定时，anv2；v一定时，an1r；an一定时，rv2；(3)由anr2知：r一定时，an2；一定时，anr；an一定时，r12。典 例 精 析【例 1】图 1 为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中表示质点P的图象是双曲线的一支，表示质点Q的图象是过原点的一条直线。由图象可知()图 1 A.质点P的线速度大小不变B.质点P的角速
4、度大小不变C.质点Q的角速度随半径变化D.质点Q的线速度大小不变解析根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断，由av2r和a2r知当v一定时a1r；当 一定时ar，所以选项A正确。3答案A【例 2】(20184 月浙江选考)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图 2)，在相同时间内，它们通过的路程之比是43，运动方向改变的角度之比是32，则它们()图 2 A.线速度大小之比为43B.角速度大小之比为34C.圆周运动的半径之比为21D.向心加速度大小之比为12解析由vst知在相同时间内，线速度大
5、小之比vAvBsAsB43，故 A项正确；由t知在相同时间内，ABAB32，故 B 项错误；由rs知rArBsAsBBA432389，故选项C 错误；由向心加速度公式av2r知aAaB43298 2，故 D项错误。答案A 即 学 即 练 2.如图 3 所示，O、O为两个皮带轮，O轮的半径为r，O轮的半径为R，且Rr，M点为O轮边缘上的一点，N点为O轮上的任意一点，当皮带轮转动时，(设转动过程中不打滑)则()图 3 A.M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B.M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C.M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D.M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析在
6、O轮的边缘上取一点Q，则Q点和N点在同一个轮子上，其角速度相等，即QN，又rQrN，由向心加速度公式an2r可知aQaN；由于皮带转动时不打滑，Q点和M点都在由皮带传动的两个轮子边缘，这两点的线速度大小相等，即vQvM，又rQrM，由向4心加速度公式anv2r可知，aQaN，选项 A正确。答案A 1.关于向心加速度，下列说法正确的是()A.向心加速度是描述线速度变化的物理量B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.向心加速度大小恒定，方向时刻改变D.物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小不可用anv2r来计算解析加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快
7、慢的物理量，因此A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，公式anv2r对任何圆周运动都适用，故C、D错误。答案B 2.如图 4 所示，一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度 匀速转动，A、B为球体上两点。下列说法中正确的是()图 4 A.A、B两点具有相同的角速度B.A、B两点具有相同的线速度C.A、B两点具有相同的向心加速度D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心解析A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有AB，选项 A正确；A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直，交点为圆心，故A点做圆周运动的半径为rARsin 60；同理，B点做圆周运动的半
8、径为rBRsin 30，所以A、B两点的线速度分别为vArA32R，vBrB12R，显然vAvB，选项 B错误；A、B两5点的向心加速度分别为aA2rA32R2，aB2rB12R2，显然，A、B两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C、D错误。答案A 3.如图 5 所示，一小物块以大小为a 4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是()图 5 A.小物块运动的角速度为4 rad/s B.小物块做圆周运动的周期为 s C.小物块在t4 s 内通过的位移大小为20 m D.小物块在 s 内通过的路程为零解析因为an2R，
9、所以小物块运动的角速度anR 2 rad/s，周期T2 s，选项 A错，B正确；小物块在4 s 内转过角度为2，通过的位移为2 m，在 s 内转过一周，通过的路程为2 m，选项 C、D错误。答案B 4.滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图6 所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的14圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点瞬间和通过C点后的加速度(不计各种阻力)。图 6 解析运动员到达C点瞬间做圆周运动，加速度大小anv2r1022 m/s250 m/s2，方向为该位置指向圆心，即竖直向上。运动员通过C点后做匀速直线运动，加速
10、度为0。答案50 m/s2，方向竖直向上0 61.关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是()A.它描述的是线速度方向变化的快慢B.它描述的是线速度大小变化的快慢C.它描述的是角速度变化的快慢D.匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的解析向心加速度的方向和线速度的方向垂直，因此，它只描述线速度方向变化的快慢，对于匀速圆周运动，角速度是不变的，而向心加速度仍然存在，可见，向心加速度不是描述角速度变化的物理量，向心加速度的方向总是指向圆心，所以加速度方向时刻改变，故向心加速度不是恒定不变的。答案A 2.下列关于向心加速度的说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B.向心加速度的
11、方向不变C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化解析向心加速度指向圆心，而速度沿切线方向，故二者相互垂直，A项正确；而an的方向时刻变化，B、C错误；在匀速圆周运动中，anv2r，an的大小保持不变，D错误。答案A 3.如图 1 所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4116，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是()图 1 A.小齿轮和后轮的角速度大小之比为161B.大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为14C.大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为14D.大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为41 7解析大齿轮与小齿轮通过链条传动，两
12、轮边缘处线速度大小相等，又因为vr，所以二者角速度大小与半径成反比，B 正确；又anv2r，D 错误；小齿轮与后轮共轴转动，角速度相等，A错误；因后小，所以v后r后v小r小，v小v大所以v后r后v大r小即v大v后r小r后116，C错误。答案B 4.一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为an，则()A.小球相对于圆心的位移不变B.小球的线速度为RanC.小球在时间t内通过的路程为anRtD.小球做圆周运动的周期为2anR解析位移是矢量，方向在改变，故A 错误；由anv2R，得vanR，B 正确；由an 2R得，anR，t内路程sRttRan，故 C错误；由an42T2R，
13、得T2Ran，故 D错误。答案B 5.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为34，在相同的时间里甲转过60 圈时，乙转过45 圈，则它们的向心加速度之比为()A.34 B.43C.49 D.916解析根据公式an2r及 2T有an甲an乙r甲r乙T2乙T2甲。因为T甲t60，T乙t45，所以an甲an乙34423243，B项正确。答案B 6.如图 2 所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()图 2 A.加速度为零8B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
14、解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。答案D 7.高速列车已经成为世界上重要的交通工具之一，某高速列车时速可达360 km/h。当该列车以恒定的速率在半径为2 000 m 的水平面上做匀速圆周运动时，则()A.乘客做圆周运动的加速度为5 m/s2B.乘客做圆周运动的加速度为0.5 m/s2C.列车进入弯道时做匀速运动D.乘客随列车运动时的速度不变解析乘客随列车以360 km/h 的速率沿半径为2 000 m 的圆周运动，向心加速度anv2r10022 000 m/s25 m/s2，A正确，B错误；乘客随列车运动时的速度大小不变，方向时
15、刻变化，C、D错误。答案A 8.(2018绍兴一中期末)如图 3所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法正确的是()图 3 A.P、Q角速度大小相等B.P、Q两点向心加速度大小相等C.P点向心加速度小于Q点向心加速度D.P点向心加速度大于Q点向心加速度解析P、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vPvQ，而rPrQ，vr，所以P、Q两点角速度大小不相等，故A 错误；根据anv2r及vPvQ，而rPrQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故C正确，B、D错误。答案C 99.(多选)一小球质量为m，用长为L的悬线(不可伸长，质量不计
16、)固定于O点，在O点正下方L2处钉有一颗光滑的钉子。如图4 所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则()图 4 A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的向心加速度突然增大D.小球的向心加速度不变解析由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不可能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由anv2r知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误。答案AC 10.如图 5 所示，一轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m 的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连
17、线转过的角度为90。求：图 5 (1)此过程中轿车的位移大小；(2)此过程中轿车通过的路程；(3)轿车运动的向心加速度大小。解析如图所示，v30 m/s，r60 m，902。10(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度，即x2r260 m 85 m。(2)路程等于弧长，即lr602 m94.2 m。(3)向心加速度大小：anv2r30260 m/s215 m/s2答案(1)85 m(2)94.2 m(3)15 m/s211.如图 6 所示，长度L0.5 m 的轻杆，一端固定质量为m1.0 kg 的小球，另一端固定在转动轴O上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆每隔0.1 s转过 30角，试求小球运动的向心加速度。图 6 解析小球做匀速圆周运动的半径为：L 0.5 m，周期为T0.1 36030 s 1.2 s，向心加速度anL242T2L25182m/s2。答案25182m/s212.在航空竞赛场里，由一系列路标塔指示飞机的飞行路径，在飞机转变方向时，飞行员能承受的最大向心加速度大小约为6g(g为重力加速度)。设一飞机以150 m/s 的速度飞行，当加速度为6g时，其路标塔转弯半径应该为多少？解析v150 m/s，an 6g69.8 m/s258.8 m/s2由anv2r得，rv2an150258.8 m382.65 m。答案r382.65 m