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1、实际问题与一元一次方程 一列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 下面就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述。二、题型分类 类型一：行程问题 基本量之间的关系：路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（1）相遇问题:快行距慢行距原距 （2）追及问题：快行距慢行距原
2、距 注意始发时间和地点（3）航行问题 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 注意抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 练习题：1、甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇 （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里 （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里 （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，
3、多少小时后快车追上慢车 （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车 2、某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，水流速度为 2 千米/时。A、C 两地之间的路程为 10 千米，求A、B 两地之间的路程。3、有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长 4、一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以 18 米
4、/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为 14 米/分。问：若已知队长 320 米，则通讯员几分钟返回若已知通讯员用了 5、一架飞机在两个城市之间飞行，风速为 24 千米/小时，顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时，求两个城市之间的飞行路程 6、体育课上同学们在 400 米的环形跑道上测试 3000 米，跑得最快的亮亮平均速度比跑得最慢的小轩快 1/4，大家同时出发 8 分钟，亮亮又遇到小轩，你能知道亮亮和小轩的速度各是多少吗 7、某人在规定的时间内从家赶往车站，如果他的速度是 15 千米/小时，他可以早到 24 分钟，如果他的速度是 12 千米/小时，就要迟到
5、15 分钟，规定的时间是多少他家到车站的距离是多少 8、甲乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时一列火车匀速驶来，列车在甲身旁开过，用了 15 秒，然后列车在乙声旁开过，用了 17 秒。已知两人的速度都是千米/小时，求列车的速度。9、小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少 10、从甲地到乙地是一条山路公路，某人从甲地上山到乙地，走了 1 小时候距离乙地还有 1 千米的哭成，他从乙地返回时只用了 50 分钟就到了，已知此人的下山速度是上山速度的倍，求此人的上山、下山速度以及
6、甲乙两地之间的路程。11、某市 6 路公交车相邻两站之间的路程相等，从一个站点到相邻站点公交车行驶 5 分钟，如果某人从一个站点与公交车同时出发，反向而行，每隔 4 分钟就能遇上对面开来的公交车，这个人的行走速度是每分钟 150 米，公交车每隔 5 分钟发一辆，问：相邻两站间的路程是多少米如果这个人与公交车同时出发，同向而行，再过几分钟被驶过来的公交车追住（假设公交车匀速行驶）类型二、市场经济、打折销售问题（1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率商品利润商品成本价100%（3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品售价进价+进价利润率（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售
7、，如商品打 8 折出售，即按原价的 80%出售 练习题：1.一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利 20%，如果该彩电的进货价是 2400 元，那么彩电的标价是多少元 2.某种商品标价为 226 元，现打七折出售，仍可获利 13%，这种商品的进价是多少 3.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20元，问这种商品的定价是多少 4.商店里有种型号的电视机，每台售价 1200 元，可盈利 20%，现有一客商以 11500 元的总价购买了若干台这咱型号的电视机，这样商店仍有 15%的利润，问客商买了几台电视机 5.某种品牌电风扇的标价为 165 元
8、，若降价以九折出售，仍可获利 10%（相对于成本价），那么该商品的成本价是多少 6某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折 类型三、方案选择问题 练习题：1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，
9、公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成 你认为哪种方案获利最多为什么 2、某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴 50元月基础费，然后每通话 1 分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1分钟需付话费元（这里均指市内电话）若一个月内通话 x 分钟，两种通话方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）用含 x 的式子表示 y1与 y2（2）一个月内通话多少
10、分钟，两种通话方式的费用相同（3）若某人预计一个月内使用话费 120 元，则应选择哪一种通话方式较合算 3、某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，销售一台 C种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方
11、案 4、小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是 9 瓦的节能灯，售价为 49 元/盏，另一种是40 瓦的白炽灯，售价为 18 元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到 2800 小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时元。(1).设照明时间是 x 小时，请用含 x 的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）(2).小刚想在这两种灯中选购一盏。当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多 试用特殊值判断：照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低(3).小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是 3000 小时，使用
12、寿命都是 2800 小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。类型四、储蓄、储蓄利息问题(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税(2）利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%）练习题：1、为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：(1）直接存入一个 6 年期；(2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教
13、育储蓄方式开始存入的本金比较少 类型五、工程问题 工作量人均工作效率工作时间人数 工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效率 完成某项任务的各工作量的和总工作量1 练习题：1、一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程 2、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池 一年 三年 六年 类型六、数字问题（1）要搞
14、清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9，0b9，0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示。练习题：1、三位数的数字之和是 17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数大 3，如把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大 495，求原数 2.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上
15、的数字小 3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的41，求这个两位数。3、有一些卡片排成一行，上面标有 24、30、36、42、48、，小丽从中拿了相邻的 3 张，这 3 张卡片的数字之和为 252.（1）小丽拿到的是那三张（2）能否拿到数字之和是 312 的相邻三张 类型七、和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。增长量原有量增长率 现在量原有量增长量 练习题：1、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍，如果从第一个仓库
16、中取出 20 吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的57,问每个仓库各有多少 粮食 2、某班学生分两队参加劳动，其中甲队人数是乙队人数的 2 倍，后因劳动需要，从甲队抽调 16 人支援乙队，使得甲队人数比乙队人数的一半少 3 人，求甲乙两队原来有多少人 类型八、等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr2h 长方体的体积 V长宽高abc 练习题：1、一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（
17、精确到毫米，）2、有一底面半径为 4 厘米的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，如果从中捞出 624克钢珠，问液面下降多少厘米（1 立方厘米重克）3、如图所示，两个长方形重叠部分的面积等于大长方形的 1/7，等于小长方形的 1/4，已知阴影部分的面积为 9 平方厘米。求重叠部分的面积。类型九、调配问题：练习题：1、机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 类型十、得分问题 练习题：1、某中学进行足球联赛，共赛 17 轮，计分办法是胜一场得 3 分，平一场的 1 分，负一场的 0 分。若某队的平场数与负场数相同，共积 16 分，试求胜场数。2、一场普法知识竞赛中有 30 道题，规定答对一道得 4 分，答错或不答得-1 分。在这次竞赛中，小明得了 90 分，则小明答对了几道题 类型十一、钟表问题 练习题：1、在 6-7 点这短时间内，什么时刻时针与分针重合 2 在 3-4 点这短时间内，什么时刻时针与分针成一直线 3、在 4-5 点这短时间内，什么时刻时针与分针垂直什么时刻时针与分针重合 什么时刻时针与分针成 180 度角 4、12 点时，时针与分针是重合的，经过多长时间时针与分针又一次重合