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1、江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试 数学试题 2020.9 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足(2 3)13i z，则复平面内表示z的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知集合2log(1)0Axx，则RC A（）A.(,1 B.2,)C.(,1)(2,)D.(,1 2,)3函数4|ln|()xxf xx的图象大致为（）A.B.C.D.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若 1sinsinsin2bBaAaC，且ABC的面积为
2、22sin(1cos2)RBA，则cosB（）A.14 B.13 C.12 D.34 5在ABC中，4AB，2AC，60BAC，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近C的三等分点，则AB AD（）A.8 B.6 C.4 D.2 6 已知252(231)(1)axxx的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是（）A10 B7 C10 D9 7 已知函数 f x是定义域在R上的偶函数，且11f xf x，当0,1x时，3fxx，则关于x的方程 cosf xx在1 5,2 2上所有实数解之和为（）A1 B3 C6 D7 8已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，60ABC，2AC，P为球O的
3、球面上的动点，记三棱锥PABC的体积为1V，三棱锥OABC的体积为2V，若12VV的最大值为3，则球O的表面积为（）A169 B649 C32 D6 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9关于函数12()11xf xxe下列结论正确的是（）A图像关于y轴对称 B图像关于原点对称 C在,0上单调递增 D f x恒大于 0 10已知下列四个条件，能推出11ab成立的有 Ab0a B0ab Ca0b Dab0 11 已知111ln20 xxy，2222ln 260 x
4、y，记221212()()Mxxyy，则()AM的最小值为165 B当M最小时，2145x CM的最小值为 45 D当M最小时2125x 12已知符号函数1,0sgn()0,01,0 xxxx下列说法正确的是（）A函数sgn()yx是奇函数（）B对任意的1,sgn(ln)1xx C函数sgn()xyex的值域为(,1)D对任意的,sgn()xR xxx 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。13已知向量 a，b 的夹角为 45，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=_ 14已知函数2log1()(3)1xxf xf xx，则
5、(2)f=_ 15在平面直角坐标系中，过点的一条直线与函数的图像交于，两点，则线段长的最小值是 16已知直线:l ykxt与圆22(1)1xy相切且与抛物线2:4C xy交于不同的两点,M N,则实数t的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)已知ABC 中，C为钝角，而且8AB，3BC，AB 边上的高为332（1）求B的大小；（2）求cos3cosACAB的值 18(本小题满分 12 分)设数列的前项和为，点在直线210 xy 上（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）
6、设直线nxa与函数 2f xx的图象交于点nA，与函数2()logg xx的图象交于点nB，记nnnbOA OB（其中O为坐标原点），求数列 nb的前项和.nT 19(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形，E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰为线段 BD 的中点（1）求证：ACCF；（2）若BAD=60，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值 xOy(1,0)3()1f xxPQPQ nannS*,nna SnN nanA B C D E F O 20(本小题满分 12 分)已知直线:1l ykx与曲线:C22221xyab(0,0
7、)ab交于不同的两点BA,，O为坐标原点（1）若1,k|OBOA，求证：曲线C是一个圆；（2）若曲线:C2214yx，是否存在一定点Q，使得QA QB为定值？若存在，求 出定点Q 和定值；若不存在，请说明理由 21(本小题满分 12 分)如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为 1 百米的扇形，23ABC 管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于,M N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路MP与PQ及QD的总长最小？并说明理由 22(本小题满分 12 分)已知函数sin()xf xx（1）求曲线
8、()yf x在(,()22f处的切线方程；（2）求证：2()16xf x ；（3）求证：当01.1x时，ln(1)()xf xx 江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D 2D 3A 4D 5A 6D 7D 8B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9.ACD 10.ABD 11AB 12ABD 三、填空题：本题共 4 小题，
9、每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。132 5 142 152 6 16,30,四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）由三角形面积可知131833 8 sin222B ，2 分 3sin2B，又因为B是锐角，所以3B 4 分（2）由（1）可知2222cos6492449ACABBCABBCB，所以7AC 6 分 又因为2226449913cos22 8 714ABACBCAABAC，8 分 因此113cos3cos378214ACAB 10 分 18(1)点,nna S在直线21
10、0 xy 上，所以210nnaS 当1n 时，111210.1.aSa .2 分 当2n时，-1-1210nnaS ，得 112,2,2.nnnnaaana .4 分 所以数列 na为首项为 1，公比为 2 的等比数列.12,nna .6 分（2）111(2,4),(2,1)nnnnnABn 1114(1)4=4.nnnnnnbOA OBnn.7 分 2112 43 44nnTn 2141 42 41)44nnnTnn（.9 分 3，得 231-314(4444)nnnTn 14(14)111=1414(44)()414333nnnnnnnn 所以 1314.99nnnT .12 分 19（1
11、）证明：如图，连接 AC，易知 ACBD=O 侧面 ABCD 是菱形，ACBD 又由题知 EO面 ABCD，AC面 ABCD，EOAC，而 EOBD=O，且 EO，BD面 BED，AC面 BED ACED CF/ED，ACCF5 分（2）解：由（1）知 AOBO，OEAO，OEBO，于是以 O 为坐标原点，OA，OB，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图设 AB=AE=2 在菱形 ABCD 中，BAD=60，AO=3，BO=1 在 RtEAO 中，EO=22EAAO=1 于是 O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，C(-3，0，0)，A
12、B=(-3，1，0)，BE=(0，-1，1)，BC=(-3，-1，0)7 分 又由EFAB，可解得 F(-3，1，1)，于是BF=(-3，0，1)8 分 设平面 BCE 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)，则由 n1BE=0，n1BC=0 得 1111030yzxy，令 y1=1，则 x1=33，z1=1，即 n1=(33，1，1)10 分 同理可得平面 BCF 的法向量 n2=(33，-1，1)cos=1212nnnn=17 故二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值为1712 分 A B C D E F O z x y 20.（1）证明：设直线l与曲线C的交点为),(),(2211yxB
13、yxA|OBOA 22222121yxyx 即：22222121yxyx 21222221yyxx BA,在C上 1221221byax，1222222byax 两式相减得：)(2122222221yybaxx 122ba 即：22ba 曲线C是一个圆 5 分 （2）存在定点1708，不论 k 为何值，33=64QA QB为定值.理由如下：假设存在点00,Q x y，设交点为),(),(2211yxByxA，由22114ykxyx得，224230kxkx 12122223,44kxxx xkk，直线:1l ykx恒过椭圆内定点（0,1），故0 恒成立.8 分 10102020=,),)QA Q
14、Bxx yyxx yy（10201020)xxxxyyyy=（21201201020()11x xx xxxkxykxy 22212001200111kx xkyxxxxy 2220000223211144kkkyxxykk 220020023 12114kkyxkxyk 22002002252314ykx kxyk 当0003254xy时，即00170,8xy时23933=+=.4864QA QB 故存在定点1708，不论 k 为何值，33=64QA QB为定值.12 分 21.解：连接BP，过P作1PPBC垂足为1P，过Q作1QQBC垂足为1Q，设1220,33PBPMP，若02，在1Rt
15、 PBP中，11sin,cosPPBP，若2，则11sin,cosPPBP，若223，则11sin,coscosPPBP，32cossin3PQ 4 分 在1Rt QBQ中，11132 3sin,CQsin,CQsin33QQPP,2 32sin3DQ 6 分 所以总路径长 224cos3sin033f，8 分 sin3cos12sin13f 10 分 令 0,2f，当02时，0f，当223时，0f 11 分 所以当2时，总路径最短 答：当BPBC时，总路径最短 12 分 22（1）因为2cossin()xxxfxx，所以24()2f 又因为2()2f，所以切线方程为222442()2yxx
16、，即244yx 3 分（2）22sin()1166xxxf xx 注意到()f x与216xy 都是偶函数，因此只需证明0 x 时2sin16xxx 成立，即3sin6xxx成立即可 5 分 设3()sin6xg xxx，0 x，则2()cos12xg xx 6 分 设2()cos12xh xx，则()sin0h xxx，因此()h x在0 x 时递增，因 此()(0)0h xh恒成立 从而可知()g x在0 x 时递增，因此()(0)0g xg，且等号只在0 x 成立 因此当0 x 时，3sin06xxx，即2sin16xxx 8 分（3）当01.1x时，ln(1)sinln(1)()sin
17、ln(1)xxxf xxxxxx 由（2）可知，当01.1x时，3sin6xxx恒成立，因此只需证明当01.1x 时，3ln(1)6xxx即可 10 分 设3()ln(1)6xg xxx，01.1x，则 2221(2)(1)(2)()121122(1)2(1)xxxxxxxxxg xxxxx，因此当01x，()g x递增；11.1x，()g x递减 11 分 又因为(0)0g，31.1(1.1)1.1ln2.16g，而且 331.11.11.11.10.833865 又因为42.119.4481，32.719.683，所以 4332.12.7e，从而342.1e，因此3ln2.10.754，从而(1.1)0.83380.750g 因此可知，当01.1x，()0g x 恒成立，即3ln(1)6xxx 12 分