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1、高中数学必修二章末复习+单元测试 第四章圆与方程 1注意轨迹与轨迹方程的区别(1)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程 2注意条件，避免忽略隐含条件致错 圆的方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2E24F0，否则，易造成增解或漏解 3注意过程，避免忽略多解致错 有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，因为决定圆的方程的
2、条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生 4运用代数法判断两圆位置关系时的易错点 用代数法判断两圆的位置关系时，方程组一解或无解时两圆的位置关系不确定，还需进一步判断当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆可能外切也可能内切 专题 1 求圆的方程 圆的方程有两种形式，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2明确了圆心和半径，圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)体现了圆的二元二次方程的特点在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法 例
3、 1 已知ABC 的三个顶点分别为 A(1，5)，B(2，2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程 解：法一 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得D5EF260，2D2EF80，5D5EF500，解得D4，E2，F20.故圆的方程为 x2y24x2y200.法二 由题意可求得弦 AC 的中垂线方程为 x2，BC 的中垂线方程为 xy30，由x2，xy30解得x2，y1.所以圆心 P 的坐标为(2，1)圆半径 r|AP|（21）2（15）25.所以圆的方程为(x2)2(y1)225，即 x2y24x2y200.用待定系数法求圆的方程的一般步骤 第一步：选择圆的方程
4、的某一形式；第二步：由题意，得 a，b，r(或 D，E，F)的方程(组)；第三步：解出 a，b，r(或 D，E，F)；第四步：代入圆的方程 在高考中单独求圆的方程的情况不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查 变式训练 已知 A(3，5)，B(1，3)，C(3，1)为ABC 的三个顶点，O，M，N 分别为边 AB，BC，CA 的中点，求OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径 解：因为点 O，M，N 分别为 AB，BC，CA 的中点且 A(3，5)，B(1，3)，C(3，1)，所以 O(1，4)，M(2，2)，N(0，3)又因为所求圆经过点 O，M，N，所以设OMN 外接圆的方程为
5、x2y2DxEyF0，把点 O，M，N 的坐标分别代入圆的方程得 1242D4EF0，（2）2222D2EF0，02323EF0，解得D7，E15，F36.所以OMN 外接圆的方程为 x2y27x15y360，圆心为72，152，半径 r12130.专题 2 直线与圆的位置关系 讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线与圆相交求弦长时，利用公式l22d2r2(其中，弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用 例 2(1)已知点 M(a，b)在圆 O：
6、x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为_(1)解析：由题意，知点 M 在圆外，则 a2b21.圆心到直线的距离 d1a2b21，故直线与圆相交 答案：C(2)解：由圆的方程可知，圆心为(2，1)，半径 r 为 2.如图所示，设已知直线被圆截得的弦为 AB，取弦 AB 的中点 P，连接 CP，则 CPAB，圆心到直线AB 的距离 d|CP|22（1）3|143 55.在 RtACP 中，|AP|r2d2 223 552555，故直线被圆截得的弦长|A
7、B|2|AP|2 555.1确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为烦琐，而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系 同学们应熟练掌握几何法 2求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形，利用数形结合求解 变式训练(1)已知过点 P(2，2)的直线与圆(x1)2y25 相切，且与直线axy10 垂直，则 a()A12 B1 C2 D.12(2)求过点 A(2，4)向圆 x2y24 所引的切线方程(1)解析：由题意，知圆心为(1，0)由圆的切线与直线 axy10 垂直，可设圆的切线方程为 xayc0.因为切线 xa
8、yc0 过点 P(2，2)，所以 c22a，所以|122a|1a2 5，解得 a2.答案：C(2)解：显然 x2 为所求切线之一另设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，而|42k|k212，所以 k34，此时直线为 3x4y100，所以 x2 或 3x4y100 为所求的切线方程 专题 3 圆中的对称问题 圆关于点、直线对称的圆形仍然是一个和原来的图形全等的圆 因此，求对称的圆的方程，只需要求出圆心关于点、直线对称的点的坐标即可，半径大小不变 例 3 求圆 C：(x2)2(y3)21 关于直线 l：xy10 对称的圆 C的方程 解：法一 由条件，知所求圆的圆心 C(a，b)与圆 C
9、 的圆心 C(2，3)关于直线 l 对称 故有b3a2（1）1，a22b3210.解得a4，b3.即 C(4，3)故圆 C的方程为(x4)2(y3)21.法二 设 M(x，y)为曲线 C上的任意一点，并设点 M 关于直线 l:xy10的对称点为 M(x0，y0)，则点 M(x0，y0)在曲线 C 上，即(x02)2(y03)21.由题意，得y0yx0 x1，xx02yy0210.得x01y，y01x.代入(x02)2(y03)21，得(x4)2(y3)21.故圆 C的方程为(x4)2(y3)21.点关于点对称，直线关于点对称，主要是利用中点坐标公式；点关于直线对称，利用垂直和中点坐标公式；直线
10、关于直线对称，有可能平行，也有可能相交，都可利用点到直线的距离公式 变式训练 自点 A(3，3)发出的光线射到 x 轴上，被 x 轴反射后，其反射光线所在直线与圆 x2y24x4y70 相切，求入射光线 l 所在的直线方程 解：如图所示，圆 C：x2y24x4y70 关于 x 轴对称的圆 C为(x2)2(y2)21，由题意设过 A 点与圆 C相切的直线斜率为 k，则 l：y3k(x3)点(2，2)到直线 l 的距离为 d|2k23k3|1k21，解得 k34或 k43.所以入射光线 l 的方程为：3x4y30 或 4x3y30.专题 4 数形结合思想 1数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接
11、根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解 2与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种 (1)求圆 O 上一点到圆外一点 P 的最大、最小距离：dmax|OP|r，dmin|OP|r；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则 dmaxmr，dmin|mr|；(3)已知某点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求yx，ymxn，x2y2等式子的最值，一般运用几何法求解 例 4(1)若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P，Q 两点，且POQ120(其中 O
12、为原点)，则 k 的值为()A 3 B.3 C 2 D.2(2)若直线 ykx1 与曲线 y 1（x2）2有公共点，则 k 的取值范围是()A.0，43 B.13，43 C.0，12 D0，1 解析：(1)法一 因为|PQ|2sin 603，圆心到直线的距离 d132212，所以1k2112，解得k 3.法二 利用数形结合如图所示，因为直线 ykx1 过定点(0，1)，而点(0，1)在圆 x2y21 上，故不妨设 P(0，1)，在等腰三角形 POQ 中，POQ120，所以QPO30，故PAO60，所以 k 3，即直线 PA 的斜率为 3.同理可求得直线 PB 的斜率为 3.(2)曲线 y1（x
13、2）2表示的图形是一个半圆，直线 ykx1 过定点(0，1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是0，1 答案：(1)A(2)D 此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法 变式训练(1)设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2(2)已知实数 x，y 满足方程(x3)2(y3)26，求 xy 的最大值和最小值 (1)解析：如图所示，圆心 M(3，1)与定
14、直线 x3 的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径长为 2，故所求最短距离为 624.答案：B(2)解：设 xyt，由题意，知直线 xyt 与圆(x3)2(y3)26 有公共点，所以 dr，即|33t|2 6.所以 62 3t62 3.所以 xy 的最小值为 62 3，最大值为 62 3.单元测试题(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 yx 与圆 x2y21 的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 2点(1，1)不在圆(xa)2(ya)24
15、 的内部，则 a 的取值范围是()A1a1 B0a12 Bm12 Cm12 Dm12 4空间直角坐标系中，已知 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B 两点间的距离为()A6 B.6 C.30 D.42 5圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为()A1 B2 C.2 D2 2 6两圆 x2y24x4y0 与 x2y22x120 的公共弦长等于()A4 B2 3 C3 2 D4 2 7与圆(x2)2y22 相切，且在 x 轴与 y 轴上的截距相等的直线条数是()A1 B2 C3 D4 8直线 l 过点(2，0)，l 与圆 x2y22x 有两个交点时，斜率 k 的取值范围是()
16、A(2 2，2 2)B(2，2)C.24，24 D.18，18 9一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35 B32或23 C54或45 D43或34 10若圆 x2y24 与圆 x2y22axa210 相内切，则 a 的值为()A1 B1 C1 D0 11若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为()A1 或 3 B1 或 3 C2 或 6 D0 或 4 12若过定点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与圆 x24xy250 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是()A0
17、k 5 B 5k0 C0k 13 D0k5 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13在 z 轴上与点 A(4，1，7)和点 B(3，5，2)等距离的点 C 的坐标为_ 14两个圆 C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y10 的公切线的条数是_ 15在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 16 已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|2 3，则|CD
18、|_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)求圆心在直线 x3y0 上，且与 y 轴相切，在 x 轴上截得的弦长为 4 2的圆的方程 18(本小题满分 12 分)点 M 在圆心为 C1的方程 x2y26x2y10 上，点 N 在圆心在 C2的方程 x2y22x4y10 上，求 MN 的最大值 19(本小题满分 12 分)过原点 O 作圆 C：x2y26x0 的弦 OA.(1)求弦 OA 的中点 M 的轨迹方程；(2)延长 OA 到 N，使|OA|AN|，求点 N 的轨迹方程 20(本小题满分 12 分)求与直线 x
19、y20 和圆 x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程 21(本小题满分 12 分)已知圆 C：x2y22x2aya2240(aR)的圆心在直线 2xy0 上(1)求实数 a 的值；(2)求圆 C 与直线 l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)相交弦长的最小值 22(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心为原点 O，且与直线 xy4 20 相切(1)求圆 C 的方程；(2)点 P 在直线 x8 上，过点 P 引圆 C 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，求证：直线 AB 恒过定点 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四
20、个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 yx 与圆 x2y21 的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 解析：圆心(0，0)在直线 yx 上，故选 C.答案：C 2点(1，1)不在圆(xa)2(ya)24 的内部，则 a 的取值范围是()A1a1 B0a12 Bm0，解得 m12.答案：A 4空间直角坐标系中，已知 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B 两点间的距离为()A6 B.6 C.30 D.42 解析：|AB|（32）2（13）2（45）2 6.答案：B 5圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为()A1 B2 C.2 D2 2 解析
21、：圆心(1，0)，直线 xy30.所以圆心到直线的距离为|103|12（1）2 2.答案：C 6两圆 x2y24x4y0 与 x2y22x120 的公共弦长等于()A4 B2 3 C3 2 D4 2 解析：公共弦方程为 x2y60，圆 x2y22x120 的圆心(1，0)，半径 r 13，d 5.所以弦长2 1354 2.答案：D 7与圆(x2)2y22 相切，且在 x 轴与 y 轴上的截距相等的直线条数是()A1 B2 C3 D4 解析：当截距均为 0 时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0 时，设切线为xaya1，即 xya0，由圆心(2，0)到切线的距离等于半径 2，解得 a4，即
22、此时切线为 xy40，故共有 3 条 答案：C 8直线 l 过点(2，0)，l 与圆 x2y22x 有两个交点时，斜率 k 的取值范围是()A(2 2，2 2)B(2，2)C.24，24 D.18，18 解析：设直线方程为 yk(x2)，圆 x2y22x 化为标准形式为(x1)2y21，则圆心到直线的距离小于半径，即|3k|k211，解得24k24.答案：C 9一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35 B32或23 C54或45 D43或34 解析：由于反射光线经过点(2，3)关于 y 轴的对称点(2，3)，故设反
23、射光线所在直线方程为 y3k(x2)，由直线与圆相切的条件可得|5k5|1k21，解得 k43或34.答案：D 10若圆 x2y24 与圆 x2y22axa210 相内切，则 a 的值为()A1 B1 C1 D0 解析：x2y22axa210 的圆心为(a，0)，半径为 1，两圆内切，故（a0）2（00）2|21|，所以 a1.答案：C 11若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为()A1 或 3 B1 或 3 C2 或 6 D0 或 4 解析：圆的半径 r2，圆心(a，0)到直线 xy20 的距离 d|a2|2，由|a2|22(2)222，得 a0 或
24、 a4.答案：D 12若过定点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与圆 x24xy250 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是()A0k 5 B 5k0 C0k 13 D0k5 解析：定点 M(1，0)在圆内，而圆与 y 轴的正半轴交于(0，5)，所以 0k 5.答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13在 z 轴上与点 A(4，1，7)和点 B(3，5，2)等距离的点 C 的坐标为_ 解析：设 C 点的坐标为(0，0，z)，由|AC|BC|，得|AC|2|BC|2.于是有 161(7z)2925(2z)2，解得 z149，故点 C
25、 的坐标为0，0，149.答案：0，0，149 14两个圆 C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y10 的公切线的条数是_ 解析：圆 C1的圆心为 C1(1，1)，半径 r12，圆 C2的圆心为 C2(2，1)，半径 r22，圆心距|C1C2|3222 13，|r1r2|13r1r2，所以两圆相交所以有两条公切线 答案：2 15在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 解析：因为直线 mxy2m10(mR)恒过点(2，1)，所以当点(2，1)为切点时，半径最大，此时半径 r（21）2（1）2 2
26、，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22 16 已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|2 3，则|CD|_ 解析：取 AB 的中点 E，连接 OE，过点 C 作 BD 的垂线，垂足为 F，圆心到直线的距离 d|3m 3|m21，所以在 RtOBE 中，BE2OB2d23，所以 d|3m 3|m213，得 m33，又在CDF 中，FCD30，所以 CDCFcos 304.答案：4 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)1
27、7(本小题满分 10 分)求圆心在直线 x3y0 上，且与 y 轴相切，在 x 轴上截得的弦长为 4 2的圆的方程 解：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意可得a3b0，|a|r，b28r2，解得a3，b1，r3或a3，b1，r3.所以圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.18(本小题满分 12 分)点 M 在圆心为 C1的方程 x2y26x2y10 上，点 N 在圆心在 C2的方程 x2y22x4y10 上，求 MN 的最大值 解：把圆的方程都化成标准形式，得(x3)2(y1)29 及(x1)2(y2)24.如图，C1的坐标是(3，1)，半径长是 3；C2的坐标
28、是(1，2)，半径长是 2.所以|C1C2|（31）2（12）2 13，因此，MN 的最大值是 135.19(本小题满分 12 分)过原点 O 作圆 C：x2y26x0 的弦 OA.(1)求弦 OA 的中点 M 的轨迹方程；(2)延长 OA 到 N，使|OA|AN|，求点 N 的轨迹方程 解：(1)圆 C：x2y26x0 可化为(x3)2y29.如图所示，连接 CM，则 CMOA，所以点 M 的轨迹是以 OC 为直径的圆，其圆心为32，0，半径为32，所以弦 OA 的中点 M 的轨迹方程为x322y294，即 x2y23x0.图 图(2)设点 D 为圆 C 与 x 轴的另一个交点，连接 ND，
29、AC，如图所示，因为 A，C 分别为 NO，DO 的中点，所以|ND|2|AC|6，所以点 N 的轨迹是以 D(6，0)为圆心，6 为半径的圆，其轨迹方程为(x6)2y236，即 x2y212x0.20(本小题满分 12 分)求与直线 xy20 和圆 x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程 解：如图所示，将圆方程配方是(x6)2(y6)218，所以圆心为(6，6)，半径为 3 2.圆心(6，6)到直线 xy20 的距离 d|662|25 2.设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则 r5 23 22 2，圆心(a，b)在直线 yx 上，且(a，b)到直线 xy20 的
30、距离为 2.所以|ab2|2 2，ab，a2，b2，所以所求圆的方程为(x2)2(y2)22.21(本小题满分 12 分)已知圆 C：x2y22x2aya2240(aR)的圆心在直线 2xy0 上(1)求实数 a 的值；(2)求圆 C 与直线 l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)相交弦长的最小值 解：(1)圆 C 的方程可化为(x1)2(ya)225，将圆心坐标(1，a)代入直线方程 2xy0 中，得 a2.(2)因为直线 l 的方程可化为(2xy7)m(xy4)0(mR)，所以 l 恒过点 M(3，1)由圆的性质可知，当 lCM 时，弦长最短，又|CM|（31）2（12）2 5，所以弦
31、长为 l2r2|CM|22 2554 5.22(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心为原点 O，且与直线 xy4 20 相切(1)求圆 C 的方程；(2)点 P 在直线 x8 上，过点 P 引圆 C 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，求证：直线 AB 恒过定点 解：(1)依题意得：圆 C 的半径 r4 2114，所以圆 C 的方程为 x2y216.(2)因为 PA，PB 是圆 C 的两条切线，所以 OAAP，OBBP，所以 A，B 在以 OP 为直径的圆上，设点 P 的坐标为(8，b)，bR，则线段 OP 的中点坐标为4，b2，所以以 OP 为直径的圆的方程为(x4)2yb2242b22，bR，化简得：x2y28xby0，bR，因为 AB 为两圆的公共弦，所以直线 AB 的方程为 8xby16，bR，所以直线 AB 恒过定点(2，0)