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1、溧阳市 20202021 学年度第一学期期末质量调研测试 高二数学试题 2021.1 一选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设xR,则“24r”是“2230 xx”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.等差数列na的前n 项和为nS,若112a,590S,则等差数列n公差为()A.2 B.32 C.3 D.4 3.若对于任意的0,2x,不等式220 xxa恒成立,则 a 的取值范围为()a.,1 B.1,C.0,d.1,4.著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的
2、音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的我国明代的数学家 音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成 13 个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如下表所示,其中1,2a,13a表示这些半音的频率,它们满足12121,2,12iiaia.若某一半音与 D 的频率之比为2,则该半音为()A.#F B.G C.#G D.A 5.已知在正方体1111ABCDABC D中,M,N 分别为1AD,AC 上的点,且满足13ADMD,2ANNC,则异面直线 MN 与11C D所成角的余弦值为()A.2 5
3、5 B.55 C.33 D.24 6.航天器的轨道有很多种,其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点若地球的半径为,地球同步转移轨道的远地点 A(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为14r,近地点 B 与地球表面的距离为18r,则地球同步转移轨道的离心率为()A.13 B.18 C.117 D.119 7.设 O 为坐标原点,直线xa与双曲线2222:10,0 xyCabba的两条渐近线分别交于 D,E两点,若ODE的面积为 8,则14ab的最小值为()A.22 B.2 C.5 24 D.2 2 8.如图,已知直三棱柱111ABCABC中,P 是底面
4、111ABC内一动点,直线 PA 和底面 ABC 所成角是定值,则满足条件的点 P 的轨迹是()A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆的一部分 二选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得0 分,部分选对的得3 分.9.下列结论正确的是()A.若0ab,则12ab B.若 a,0b 4baab,则b的最小值为 10 c.函数 11f xxx的最小值是 3 D.若abc,0abc,则ccacbc 10.如图,正方体1111ADCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是()A.直线 B
5、C 与平面11ABC D所成的角等于4 B.点 C 到面11ABC D的距离为22 C.两条异面直线1DC和 BC1所成的角为4 D.二面角1CBCD的平面角的余弦值为33 11.已知曲线22:1xyCmn,()A.若0mn,则 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 B.若20mn n,则 C 是椭圆,且其离心率为32 C.若0mn,则 C 是双曲线,其渐近线方程为220 xymn D.若2mn,则 C 是双曲线,其离心率为3或62 12.已知等比数列na的公比12q ,等差数数列 nb的首项118b,若88ab且99ab,则以下结论正确的有()A.89a B.890aa C.98bb D.100b
6、三填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知点1,2,3A,0,1,2B,APPB,则|AP _.14.已知双曲线 C 过点3.2且渐近线为33yx,则双曲线 C 的标准方程为_.15.某市要建一个椭圆形场馆,其中椭圆的长轴长为 200 米,短轴长为 120 米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域,当这个区域的面积最大时,矩形的周长为_米.16.如图,已知直线:l yx与曲线12:C ylog x,设1P为曲线 C 上 纵坐标为 1 的点,过1P作 y 轴的平行线交 l 于2Q,过 Q2作 y 轴的垂线交曲线 C 于2P;再过2P作y 轴的平行线交 l
7、于点 Q3,过3Q作 y 轴的垂线交曲线 C 于 P3;设点1P,2P,3P,P的横坐标分别为1a,2a,3a,na.若2019at.则2020a_用 t 表示).四解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.在113nnaa,18nnaan,112nnaa 这三个条件中任选一个,补充下面的问题:设nS是数列n的前 n 项和,且44a,_,补充完后.(1)求na的通项公式;(2)判断nS是否存在最大值(说明理由).注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12 分)如图,在四棱锥SABCD中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,SD平面 ABC
8、D,E,F分别为 AB,SC 的中点.()证明:EFCD.(2)若8SD,求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值.19.(12 分)已知数列na的前 n 项和nS满足122,nnSSnnN,且14a.(1)求数列na的前 n 项和nS及通项公式na(2)记116nnnbaa,Tn为 nb的前 n 项和,求nT.20.(12 分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,ABCD 为直角梯形,/ADBC,BCCD,平面 SCD平面ABCD,SCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形,224BCADCD,E 为线段 BS 上一点，BEES.(1)若2,证明:SD平面 ACE；(2)若二面角SACE的
9、余弦值为13,求的值.21.(12 分)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关如:从椭圆 的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览,其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线1C和一个“开了孔”的椭圆 C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于 x 轴对称,且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点,1F,2F为椭圆2C的焦点,同时1F也为抛物线1C的焦点,其中椭圆的短轴长为2 3,在2F处放置一个光源,其中一条光线经过椭圆
10、两次反射后再次回到2F经过的路程为 8.由2F照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔,再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.(1)求抛物线1C的方程;(2)若由2F发出的一条光线经由椭圆2C上的点 P 反射后穿过小孔,再经抛物线上的点 Q 反射后刚好与椭圆相切,求此时的线段1QF的长;(3)在(2)的条件下,求线段PQ 的长.22.(12分)已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点F 的坐标为(1,0),左焦点为,且椭圆C 上的点与两个焦点F,F所构成的三角形的面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,已知 P,Q两点是位于x 轴同侧的椭圆上的两点,且直线PF,QF的斜率之和为0,试问PFQ的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值:若不存在,请说明理由.