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1、立体几何专题复习 一、填空 1.已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 【答案】【解析】试题分析：因为平面平面,所以 D 到直线 BC 距离为三棱柱的高，2.对于以下命题：（1）若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线平行；（2）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；（3）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与两个平面的交线平行；（4）若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.则真命题有 个.【答案】1 3.已知正四棱锥底面边长为，体积为 32，则此四棱锥的侧棱长为 .ABCD4AB3BCACDACBACABCD 245DACBAC
2、ABCD 113 41211224,3 46,63255355D ABCABCABCVSh ShV 24【答案】5【解析】试题分析：，得；正四棱锥底面对角线长为 8，则此四棱锥的侧棱长为 4.设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若ba，bc，则ca；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(写山所有正确命题的序号)【答案】【解析】b 和 c 可能异面，故错；c 可能 c，故错；c 有可能 c，c，故错；根据面面垂直的判定，故正确 5.一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍，若圆锥底面半径为3 cm，则圆锥的体积是_cm3.【答案】3【解析】设圆锥的母线长为
3、，高为。圆锥的侧面积等于，圆锥底面面积为，又因为圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍，故，圆锥的体积是 6.设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 .【答案】2 132,4 24 2323VShS3h 22345Rh1232SR侧 233S底123=62SR侧R=2 3 22h=33R 1133333Sh 底2 310【解析】试题分析：设正四棱锥底面正方形的中心为,顶点为,则,则，则正四棱锥的体积为，得 7.将半径为 5 的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三 个圆锥的底面半径依次为，则 【答案】5【解析】试题分析：由题意得，扇形弧长为对应圆
4、锥底面周长，因此 8.如图，长方体中，为的中点，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值为 【答案】【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为，二、解答 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.ABCDOP6AO 2OPh231(2 3)283Va2a 1:2:3123,r r r123rrr1231232()255rrrrrr 1111ABCDABC DO1BDOABD1V11OADD A2V12VV12,a b c1122111111,322123262VabcabcVabcVbcaVABCDP ABCDPAPDCEPD/PBEACPADABCD【
5、答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般 利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得 PBOE（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明 CD平面 PAD 而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证：先由 PA平面 PDC转化为线线垂直 PACD，再由 ADCD，转化为线面垂直 CD平面 PAD 试题解析：(1)连接 BD 与 AC 相交于点 O，连结 OE2 分 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点 因为 E 为棱 PD 中点，所以 PB
6、OE4 分 因为 PB平面 EAC，OE平面 EAC，所以直线 PB平面 EAC6 分 2.（14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，E 为 PD 的中点.O P A B C D E/ABDC2DCABAPADPBACBDAC求证：（1）平面 PBC；（2）平面 ACE.【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）要证平面 PBC，就要证平行于平面内一条直线，为此想象把沿平移到过的位置，这条直线应该在平面内，为此作辅助线，取中点，可证；（2）要证平面 ACE，就是要证垂直于平面内两条相交直线，观察已知条件，由及是中点，从而有，题设中有，正好可得平面，于是有，命题得证 试题解析：（1）取 PC
7、 中点 F，连结 EF，BF，E 为 PD 中点，且.且，且.四边形 ABFE 为平行四边形，.平面 PBC，平面 PBC，平面 PBC./AEPD/AEAEPBCAEABBPBCPCF/AEBFPD PDACEPAADEPDPDAEPBACBDACAC PBDACPD/EFDC12EFDC/ABDC12ABDC/EFABEFAB/AEBFAE BF/AE（2），平面 PBD，平面 PBD，.，E 为 PD 的中点，.，平面 ACE.3.在正四面体中，点在上，点在上，且 证明：（1）平面；（2）直线直线 【答案】（1）略；（2）略【解析】试题分析：（1）证明 EFAC，利用直线与平面平行的判定
8、定理，即可证明结论；（2）取 BD 的中点 M，连 AM，CM，证明 BD平面 AMC，可得 BDAC，利用 HFAC，证明直线 BD直线 EF 试题解析：（1）因为点在上，点在上，且，1 分 所以，3 分 又平面，平面，PBACBDACPBBDBAC PD ACPDAPADPDAEAEACAPD CDFCDDDF:FCD:2:3 F/CDFFCDDDF:FCD:2:3 F/CF CCC所以平面6 分（2）取的中点，连，因为为正四面体，所以，8 分 又，所以平面，10 分 又平面，所以，12 分 又，所以直线直线14 分 4.如图，已知直三 棱柱中，、分别为、中点，.（1）求证：平面；（2）求
9、证：平面平面 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 试题解F/CDCCDD CD C DCCCDC F/CDF111CBAABC ACAB DEBC1CCDBBC11/DE1ABCDAB11ABC析：证明：（1）、分别为、中点，2 分 平面，平面 平面 6 分（2）直三棱柱中，平面 平面 8 分，为中点 ，又，平面，平面 11 分 又，平面 平面 平面 平面平面 14 分 5.(本小题满分 14 分)如图：四棱锥 PABCD 中，PDPC，底面 ABCD 是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，点 M 是 CD 的中点(1)求证：AM平面 PBC；(2)求证：CDPA.(第 15 题图)【
10、答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力，难度较小.【解析】证明：(1)在直角梯形 ABCD 中，ABCD，CD2AB，点 M 是 CD 的中点，由 ABCM，且 ABCM，DEBC1CC1/DEBCDE 1ABC1BC 1ABC/DE1ABC111ABCABC1CC ABCAD ABC1CCADABACDBCADBC1CCBCC1CCBC 11BCC B11面ADBCC B1BC 11BCC B1ADBC11BCB D1B DADD1B DAD 1AB D1BC1AB D1BC 1ABC1AB D1AB
11、C所以四边形 ABCM 是平行四边形，且是矩形(3 分)所以AMBC，（4分）又因为BC 平面PBC，（5分）AM是平面PBC外一条直线，（6分）故 AM平面 PBC，(2)连接 PM，因为 PDPC，点 M 是 CD 的 中点，所以 CDPM，(8 分)又因为四边形 ABCM 是矩形，CDAM，(9 分)CDAM，CDPM，PM 平面PAM，AM 平面PAM，（10分）PMMAM，（11分）CD平面 PAM.(12 分)又因为 AP 平面 PAM，(13 分)所以 CDPA.(14 分)6.如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.
12、【答案】（1）详见解析（2）详见解析 111ABCABC11ACC AO11ACC A2ACBMBC/OM11ABB A1ABC 1ABC试题解析：（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以.4 分 又平面，平面，所以平面.6 分（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面.8 分 而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面.12 分 又面，所以面面.14 分 7（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1 与B1D1交于点O.（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平
13、面A1C1FE.1ABCO1ACMBC1/OMABOM 11ABB A1AB 11ABB A/OM11ABB A111ABCABC1CC ABC1CCBC2ACBBCAC1,CC AC 11ACC A1CCACCBC 11ACC A1AC 11ACC ABC 1AC11ACC A11ACAC,BC1AC 1ABC1BCACC1AC 1ABC1AC 1ABC1ABC 1ABCOD OD 【答案】（1）详见解析（2）详见解 析【解析】试题分析：（1）证明四点共面，实质就是证明 线线平行，由题意确定证明目标：EFA1C1，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EFAC从而转化 证明 ACA
14、1C1，这可利用棱柱中侧棱相互平行且相等性质得：四边形 AA1C1C为平行四边形，因此得证 ACA1C1（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理，经多次转化得证：先由直棱柱证得侧棱，再由菱形得从而可推得平面，即 OD最后结合已知条件A1E，推证平面 A1C1FE.试题解析：（1）连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是ABC 的中位线，所以 EFAC 2 分 由直棱柱知 AA1CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA1C1 5 分 所以 EFA1C1，故 A1，C1，F，E 四点共面7 分（2）连接 BD，因为直棱柱中平面，平面，所以
15、9 分 1DD 11AC11AC11B D11AC 11BB D D11ACOD OD 1DD 1111ABC D11AC 1111ABC D1DD 11AC因为底面 A1B1C1D1 是菱形，所以 又，所以平面 11 分 因为平面，所以 OD 又A1E，平面 A1C1FE，平面 A1C1FE，所以平面 A1C1FE.14 分 8.如图，在三棱锥中，点，分别为，的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，为的中点，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件及，转化到平
16、面，再转化到，因此得到平面，即 试题解析：证明（1）点，分别为，的中点，11AC11B D1DD111=B DD11AC 11BB D DOD11BB D D11ACOD 11AC11A EA11AC 1A E OD PABC90PACBAC PAPBDFBCAB/DFPACPF AD DFCPABPAPBFABPFABACABACAPAC PABACPFPF ABCADPFDFBCAB，又平面，平面，直线平面 6 分 （），又，在平面内，平面，8 分 平面，为的中点，在平面内，平面，12 分 平面，14 分 已知三角形中，角所对边分别为，满足且，则三角形面积的最大值为_【答案】【解析】由题意
17、得，因为，/DFACDF PACAC PAC/DFPAC90PACBAC ACABACAPABAPA,AB APPABAC PABPFPABACPFPAPBFABPFABACPFPFABACABA,AC ABABCPF ABCADABCADPF DFCPAB由三角形的正弦定理得，解得，又，所以，所以三角形的面积，又，所以 所以，当，三角形面积的最大值为。在平面直角坐标系xOy中，点0 3A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：设,24C aa，则圆方程为22241xaya 又设00(,)M xy，2MAMO 22220000344xyxy，即220014xy 这说明M既在圆22241xaya上，又在圆2214xy上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，222 1024(1)2 1aa ，解得1205a，即a的取值范围是120,5