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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 1,0,1,2|1ABx x，则AB A1,0,1 B 0,1 C1,1 D0,1,2 2若(1i)2iz，则 z=A1i
2、 B1+i C1 i D1+i 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 4（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A16 B8 C4
3、 D2 6已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Ae1ab，B a=e，b=1 C1e1ab，D1ea，1b 7函数3222xxxy在6,6的图像大致为 A B C D 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于 A4122 B5122 C6
4、122 D7122 10双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为 A3 24 B3 22 C2 2 D3 2 11设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,+单调递减，则 Af（log314）f（322）f（232）Bf（log314）f（232）f（322）Cf（322）f（232）f（log314）Df（232）f（322）f（log314）12设函数 f x=sin（5x）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且
5、仅有 2 个极小值点 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是 12 29510，)其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若25cab，则cos,a c_.14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，12103aaa，则105SS_.15设12FF，为椭圆 C:22+13620 xy的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则 M 的坐标为_.16 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥 O
6、EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16 cm4 cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，
7、每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtA
8、BC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.20（12 分）已知函数32()2f xxaxb.（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在,a b，使得()f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，说明理由.21已知曲线 C：y=22x，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为
9、A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE的面积.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在 M 上，
10、且|3OP，求 P 的极坐标.23选修 45：不等式选讲（10 分）设,x y zR，且1xyz.（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a 或1a .2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C 12D 二、填空题 1323 144 15(3,15)16118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.
11、15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA 因为sinA0，所以sinsin2ACB 由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB 因为cos02B，故1sin22B，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积34ABCSa 由正弦定理得sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC 由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C9
12、0，由（1）知A+C=120，所以30C0，则当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减；若 a=0，()f x在(,)单调递增；若 a0，则当,(0,)3ax 时，()0fx；当,03ax时，()0fx故()f x在,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减.（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知，()f x在0，1单调递增，所以()f x在区间0，l的最小值为(0)=fb，最 大 值 为(1)2fab.此 时 a，b 满 足 题 设 条 件 当 且 仅 当1b ，21ab，即 a=0，1
13、b （ii）当 a3 时，由（1）知，()f x在0，1单调递减，所以()f x在区间0，1的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab此时 a，b 满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即 a=4，b=1（iii）当 0a3 时，由（1）知，()f x在0，1的最小值为3327aafb，最大值为 b或2ab 若3127ab，b=1，则33 2a，与 0a3 矛盾.若3127ab，21ab，则3 3a 或3 3a 或 a=0，与 0a3 矛盾 综上，当且仅当 a=0，1b 或 a=4，b=1 时，()f x在0，1的最小值为-1，最大值为1 21解：（1）设111,2D tA x y，则21
14、12xy.由于yx，所以切线DA的斜率为1x，故11112yxxt.整理得1122+1=0.txy 设22,B xy，同理可得2222+1=0txy.故直线AB的方程为2210txy.所以直线AB过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy，可得2210 xtx.于是2121212122,1,121xxtx xyyt xxt ，2222121212|11421ABtxxtxxx xt.设12,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则212221,1dtdt.因此，四边形ADBE的面积22121|312SABddtt.设M为线段AB的中点，则21,2M t
15、 t.由 于EMAB ，而2,2EMt t，AB 与 向 量(1,)t平 行，所 以220ttt.解得t=0或1t .当t=0时，S=3；当1t 时，4 2S.因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.22.解：（1）由题设可得，弧 ,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所 以1M的 极 坐 标 方 程 为2cos04，2M的 极 坐 标 方 程 为32sin44，3M的极坐标方程为32cos4.（2）设(,)P，由题设及（1）知 若04，则2cos3，解得6；若344，则2sin3，解得3或23；若34，则2cos3，解得56.综上，P的极坐标为3,6或3,3
16、或23,3或53,6.23解：（1）由于2(1)(1)(1)xyz 222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当 x=53，y=13，13z 时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43.（2）由于 2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立 因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)133a，解得3a 或1a