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1、梦想不会辜负一个努力的人 all试题 1 数 学 E 单元 不等式 E1 不等式的概念与性质 5，2014山东卷 已知实数 x，y 满足 axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x211y21 B.ln(x21)ln(y21)C.sin xsin y D.x3y3 5D 解析 因为 axay(0a1)，所以 xy，所以 sin xsin y，ln(x21)ln(y21)，1x211y21都不一定正确，故选 D.42014四川卷 若 ab0，cdbd B.acbc D.adbc 4D 解析 因为 cd0，所以1d1c0，与 ab0 对应相乘得，adbc0，所以ad1），xa1a2x1
2、，3xa1xa2.由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2a213，可得 a8.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 2 当 aa2，xa11xa2，3xa1（x1）.由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2a213，可得 a4.综上可知，a 的值为4 或 8.E3 一元二次不等式的解法 2、2014全国卷 设集合 Mx|x23x40，Nx|0 x5，则 MN()A(0，4 B0，4)C1，0)D(1，0 2B 解析 因为 Mx|x23x40 x|1x4，Nx|0 x5，所以 MNx|1x40 x5x|0 x4 12、2014新课标全国卷 设函数 f(x)3sinxm，若存在 f(x)
3、的极值点 x0满足 x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)12C 解析 函数 f(x)的极值点满足xm2k，即 xmk12，kZ，且极值为 3，问题等价于存在 k0使之满足不等式 m2k01223m2.因为k122的最小值为14，所以只要14m234，解得 m2 或 mzC或 zAzCzB或 zBzCzA，解得 a1 或 a2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，zyax 可变为 yaxz，令 l0：yax，则由题意知 l0AB 或 l0AC，故 a1 或 a2.62014北京卷 若 x，y 满足xy20，k
4、xy20，y0，且 zyx 的最小值为4，则 k 的值为()A2 B2 C.12 D12 6D 解析 可行域如图所示，当 k0 时，知 zyx 无最小值，当 ka0)，利用二次函数求最值，显然函数 m(a)5a28 5a20 的最小值是4520（8 5）2454，即 a2b2的最小值为 4.故选 B.18，2014陕西卷 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值 18解：(1)方法一：PAP
5、BPC0，又PAPBPC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，63x0，63y0，解得x2，y2，即OP(2，2)，故|OP|2 2.方法二：PAPBPC0，则(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，OP13(OAOBOC)(2，2)，|OP|2 2.(2)OPmABnAC，(x，y)(m2n，2mn)，xm2n，y2mn，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 8 两式相减得，mnyx，令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.5，2014四川卷 执行如图 1-1 所示的程序框图，如果输入的 x，yR，那么输
6、出的 S的最大值为()图 1-1 A0 B1 C2 D3 5 C 解析 题中程序输出的是在xy1，x0，y0的条件下 S2xy 的最大值与 1 中较大的数结合图像可得，当 x1，y0 时，S2xy 取得最大值 2，21，故选 C.22014天津卷 设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，y1，则目标函数 zx2y 的最小值为()A2 B3 C4 D5 2B 解析 画出可行域，如图所示解方程组xy20，y1，得x1，y1，即点 A(1，1)梦想不会辜负一个努力的人 all试题 9 当目标函数线过可行域内 A 点时，目标函数有最小值，即 zmin11213.13 2014浙江卷 当实数 x
7、，y 满足x2y40，xy10，x1时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 13.1，32 解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中 A(1，0)，B(2，1)，C1，32.当 a0 时，0y32，1x2，所以 1axy4 不可能恒成立；当 a0 时，借助图像得，当直线 zaxy 过点 A 时 z 取得最小值，当直线 zaxy 过点 B 或 C 时 z 取得最大值，故1a4，12a14，1a324，解得 1a32.故 a1，32.E6 基本不等式2abab 16、2014辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22ab4b2c0 且使|2ab|最大时，3a
8、4b5c的最小值为_ 162 解析 由题知 2c(2ab)23(4a23b2)(4a23b2)113(2ab)24a23b234(2ab)2，即 2c54(2ab)2，当且仅当4a213b213，即 2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值85c，此时 c402.3a4b5c18211814222，当且仅当 a34，b12，c52时，3a4b5c取最小值2.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 10 14，2014山东卷 若ax2bx6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2b2的最小值为_ 142 解析 Tr1Cr6(ax2)6rbxrCr6a6rbrx123r，令 123r3，得 r3
9、，所以C36a63b320，即 a3b31，所以 ab1，所以 a2b22ab2，当且仅当 ab，且 ab1 时，等号成立故 a2b2的最小值是 2.10，2014四川卷 已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OAOB2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是()A2 B3 C.17 28 D.10 10B 解析 由题意可知，F14，0.设 A(y21，y1)，B(y22，y2)，OAOBy1y2y21y222，解得 y1y21 或 y1y22.又因为 A，B 两点位于 x 轴两侧，所以 y1y20，即 y1y22.当 y21
10、y22时，AB 所在直线方程为 yy1y1y2y21y22(xy21)1y1y2(xy21)，令 y0，得 xy1y22，即直线 AB 过定点 C(2，0)于是 SABOSAFOSACOSBCOSAFO122|y1|122|y2|1214|y1|18(9|y1|8|y2|)182 9|y1|8|y2|3，当且仅当 9|y1|8|y2|且 y1y22 时，等号成立当 y21y22时，取 y1 2，y2 2，则 AB 所在直线的方程为 x2，此时求得 SABOSAFO2122 21214 217 28，而17 283，故选 B.14，2014四川卷 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定
11、点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_ 145 解析 由题意可知，定点 A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以 AB 为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|PA|2|PB|225，当且仅当|PA|PB|时等号成立 E7 不等式的证明方法 202014北京卷 对于数对序列 P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，记 T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中 maxTk1(P)，a1a2ak表示 Tk1(P)和 a1a2ak两个数中最
12、大的数(1)对于数对序列 P：(2，5)，(4，1)，求 T1(P)，T2(P)的值；(2)记 m 为 a，b，c，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列 P：(a，b)，(c，d)和 P：(c，d)，(a，b)，试分别对 ma 和 md 两种情况比较 T2(P)和 T2(P)的大小；梦想不会辜负一个努力的人 all试题 11(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小，并写出 T5(P)的值(只需写出结论)20解：(1)T1(P)257，T2(P)1max
13、T1(P)，241max7，68.(2)T2(P)maxabd，acd，T2(P)maxcdb，cab 当 ma 时，T2(P)maxcdb，cabcdb.因为 abdcbd，且 acdcbd，所以 T2(P)T2(P)当 md 时，T2(P)maxcdb，cabcab.因为 abdcab，且 acdcab，所以 T2(P)T2(P)所以无论 ma 还是 md，T2(P)T2(P)都成立(3)数对序列 P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的 T5(P)值最小，T1(P)10，T2(P)26，T3(P)42，T4(P)50，T5(P)52.19、2014天津卷
14、 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 设集合 M0，1，2，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A.(2)设 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai，biM，i1，2，n.证明：若 anbn，则 st.19解：(1)当 q2，n3 时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得 A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n 及 anbn，可得 st(a1b1)(a2b2)q(
15、an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1（q1）（1qn1）1qqn1 10，所以 s1），xa1a2x1，3xa1xa2.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 12 由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2a213，可得 a8.当 aa2，xa11xa2，3xa1（x1 时，对 x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在 x0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于12131n1x1x，x0.令 x1n，nN，则1n1lnn1n.下面用数学归纳法证明 当 n1 时，12ln 2，结论成立 假设当 nk
16、时结论成立，即12131k1ln(k1)那么，当 nk1 时，12131k11k2ln(k1)1k2ln(k1)lnk2k1ln(k2)，即结论成立 由可知，结论对 nN成立 方法二：上述不等式等价于12131n1x1x，x0.令 x1n，nN，则 lnn1n1n1.故有 ln 2ln 112，ln 3ln 213，ln(n1)ln n1n1，上述各式相加可得 ln(n1)12131n1，结论得证 方法三：如图，0nxx1dx 是由曲线 yxx1，xn 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，而1223nn1是图中所示各矩形的面积和，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 15 1223nn10nxx
17、1dx 0n11x1dxnln(n1)，结论得证 E9 单元综合 16、2014辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22ab4b2c0 且使|2ab|最大时，3a4b5c的最小值为_ 162 解析 由题知 2c(2ab)23(4a23b2)(4a23b2)113(2ab)24a23b234(2ab)2，即 2c54(2ab)2，当且仅当4a213b213，即 2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值85c，此时 c402.3a4b5c18211814222，当且仅当 a34，b12，c52时，3a4b5c取最小值2.12、2014辽宁卷 已知定义在0，1上的函数 f(x)满足：
18、f(0)f(1)0；对所有 x，y0，1，且 xy，有|f(x)f(y)|12|xy|.若对所有 x，y0，1，|f(x)f(y)|k 恒成立，则 k 的最小值为()A.12 B.14 C.12 D.18 12B 解析 不妨设 0yx1.当 xy12时，|f(x)f(y)|12时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)(f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|12|x1|12|y0|12(xy)1214.故 kmin14.32014天津卷 设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，y1，则目标函数 zx2y 的最小值为()A2 B3 C4 D5 3B 解析 画出可行域，如图所
19、示解方程组xy20，y1，得x1，y1，即点 A(1，1)梦想不会辜负一个努力的人 all试题 16 当目标函数线过可行域内 A 点时，目标函数有最小值，即 zmin11213.162014广州七校联考 不等式|x2|x1|5 的解集为_ 163，2 解析 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为3x2.42014安徽六校联考 若正实数 x，y 满足 xy2，且1xyM 恒成立，则 M 的最大值为()A1 B2 C3 D4 4A 解析 xy2 xy，且 xy2，22 xy，当且仅当 xy1 时，等号成立，xy1，1xy1，1M，Mmax1.72014福建宁德期末 已知关于 x 的不等式 x24a
20、x3a20)的解集为(x1，x2)，则 x1x2ax1x2的最小值是()A.63 B.23 3 C.43 3 D.23 6 7C 解析 由题知 x1x24a，x1x23a2，x1x2ax1x24a13a2 434 33，当且仅当 a36时，等号成立 62014长沙模拟 若 f(x)为奇函数，且在区间(0，)上单调递增，f(2)0，则f（x）f（x）x0 的解集是()A(2，0)(0，2)B(，2)(0，2)C(2，0)(2，)D(，2)(2，)6D 解析 因为 f(x)为奇函数，且在区间(0，)上单调递增，所以 f(x)在区间(，0)上单调递增又 f(x)f(x)，所以f（x）f（x）x0 等价于2f（x）x0.根据题设作出 f(x)的大致图像如图所示 由图可知，2f（x）x0 的解集是(，2)(2，)梦想不会辜负一个努力的人 all试题 17 132014浙江六市六校联考 已知正数 x，y 满足 xy1x9y10，则 xy 的最大值为_ 138 解析 1x9y10(xy)，(xy)1x9y10(xy)(xy)2.又(xy)1x9y109xyyx10616，10(xy)(xy)216，即(xy)210(xy)160，2xy8，xy 的最大值为 8.