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1、212 解一元二次方程 212.1 配方法 第 1 课时 直接开平方法 1理解解一元二次方程的“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 2提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程 3理解形如 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法 阅读教材第 5 至 6 页“练习”的部分，完成以下问题 问题 1 一桶某种油漆可刷的面积为 1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道 x225，根据平方根的意义，直接开平方得 x5.问题 2 解下列方程：(1)3x215；
2、(2)4(x1)290；(3)x24x49.知识探究 一般地，对于方程 x2p：(1)当 p0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：x1 p，x2 p；(2)当 p0 时，方程有两个相等的实数根 x1x20；(3)当 p0 时，因为对任意实数 x，都有 x20，所以方程无实数根 自学反馈 解下列方程：(1)x28；(2)(2x1)25；(3)x26x92;(4)4m290；(5)x24x41;(6)3(x1)29108.解一元二次方程的实质：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为“降次转化思想”活动 1 小组讨论 例 用平方根的意义解下列方程：(1)(
3、3x1)27；(2)y22y124；(3)9n224n1611.解：(1)1 73.(2)12 6.(3)4 113.运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根 活动 2 跟踪训练 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x1)260；(2)x24x45；(3)9x26x14;(4)36x210；(5)4x281;(6)(x5)225；(7)x22x14.活动 3 课堂小结 应用直接开平方法解形如 x22axa2b(b0)，可得 xa b达到降次转化的目的 【预习导学】问题 1 略 问题 2(1)x 2.(2)x112，x252.(3)x11，x25.自学反馈(1)x2
4、 2.(2)x1512，x2 512.(3)x1 23，x2 23.(4)x32.(5)x11，x23.(6)x11 39，x21 39.【合作探究】活动 2 跟踪训练(1)x11 2，x21 2.(2)x12 5，x22 5.(3)x11，x213.(4)x116，x216.(5)x192，x292.(6)x10，x210.(7)x11，x23.第 2 课时 配方法 通过可直接化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 阅读教材第 6 至 9 页的部分，完成以下问题 问题 1 填空：(1)x26x_(x_)2；(2)x2x_(x_
5、)2；(3)4x24x_(2x_)2.问题 2 解方程：x26x40.知识探究 1如果方程能化成 a(xb)2c 的形式，那么可得 x_.2以上解法中，为什么在方程 x26x40 两边加 5？加其他数行吗？_.3什么叫配方法？_.4配方法的目的是什么？_.5配方法的关键是什么？_.自学反馈 用配方法解下列关于 x 的方程：(1)x24x20；(2)x212x10；(3)2x24x80;(4)2x22x5.活动 1 小组讨论 例 用配方法解下列关于 x 的方程：(1)x28x10；(2)2x213x.解：(1)x14 15，x24 15.(2)x11，x212.(1)用配方法解一元二次方程时，方
6、程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为 1 的，可以将方程各项除以二次项系数；(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方；(3)注意：配方时一定要在方程两边同加 活动 2 跟踪训练 1若 x24xp(xq)2，则 p、q 的值分别是()Ap4，q2 Bp4，q2 Cp4，q2 Dp4，q2 2填空：(1)x210 x_(x_)2；(2)x212x_(x_)2；(3)x25x_(x_)2；(4)x223x_(x_)2.3用配方法解下列关于 x 的方程：(1)x236x700；(2)x22x350；(3)2x24x10;(4)x28x70；(5)x24x10;(6)x26x50；
7、(7)2x26x20;(8)9y218y40；(9)x232 3x.4如果 x24xy26y z2130，求(xy)z的值 类似第 4 题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式 活动 3 课堂小结 1用配方法解一元二次方程的步骤 2用配方法解一元二次方程的注意事项 【预习导学】问题 1(1)9 3(2)14 12(3)1 1 问题 2 x13 5，x23 5.知识探究 1bca 2.不行 3.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 4.降次 5.配平 自学反馈(1)x12 2，x22 2.(2)x114174，x214174.(3)x11 5，x21 5.(4)x111
8、12，x2 1112.【合作探究】活动 2 跟踪训练 1B 2.(1)25 5(2)36 6(3)254 52(4)19 13 3.(1)x118 254，x218 254.(2)x15，x27.(3)x1162，x2162.(4)x11，x27.(5)x12 3，x22 3.(6)x11，x25.(7)x132132，x232132.(8)y11133，y21133.(9)x1x2 3.4由已知方程，得 x24x4y26y9 z20，即(x2)2(y3)2 z20.x2，y3，z2.(xy)z2(3)2136.21.2.2 公式法 1理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念 2会
9、熟练应用公式法解一元二次方程 阅读教材第 9 至 12 页的部分，完成以下问题 1用配方法解下列方程：(1)6x27x10；(2)4x23x52.2如果这个一元二次方程是一般形式 ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知 ax2bxc0(a0)，试推导它的两个根 x1b b24ac2a，x2b b24ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 知识探究 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
10、 ax2bxc0，当 b24ac0 时，将 a、b、c 代入式子 xb b24ac2a就得到方程的根，当 b24ac0，方程没有实数根；(2)xb b24ac2a叫做一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根；(5)一般地，式子 b24ac 叫做方程 ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用希腊字“”表示，即b24ac.自学反馈 用公式法解下列方程：(1)2x24x10；(2)5x23x2；(3)(x2)(3x5)0;(4)4x23x10.活动
11、1 小组讨论 例 1 在什么情况下，一元二次方程 ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？解：b24ac，0 时，有两个不相等的实数根；0 时，有两个相等实数根；0 时，没有实数根 例 2 写出一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)的求根公式：xb b24ac2a 例 3 方程 x24x40 的根的情况是(B)A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 活动 2 跟踪训练 1利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x23x320；(2)16x224x90；(3)x24 2x90;(4)3x210 x2x28x.2
12、用公式法解下列方程：(1)x2x120；(2)x2 2x140；(3)x24x82x11;(4)x(x4)28x；(5)x22x0;(6)x22 5x100.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对 a，b，c 的值，再判断的正负 活动 3 课堂小结 1求根公式的概念及其推导过程 2公式法的概念 3应用公式法解一元二次方程 4一元二次方程根的情况 【预习导学】自学反馈(1)x1162，x2162.(2)x12，x213.(3)x12，x253.(4)无解【合作探究】活动 2 跟踪训练 1(1)有两个不相等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)无实数根(4)有两个不相等的实数根 2.(1)x13，
13、x24.(2)x12 32，x22 32.(3)x11，x23.(4)x12 6，x22 6.(5)x10，x22.(6)无解 212.3 因式分解法 1会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程 2能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性 阅读教材第 12 至 14 页，完成预习内容 1将下列各题因式分解：ambmcm_；a2b2_；a22abb2_.2解下列方程：(1)2x2x0(用配方法)；(2)3x26x0(用公式法)知识探究 仔细观察上面两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其他的解法吗？1对于一元二次方程，先将方程右边化为 0，然后对方程
14、左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做_ 2如果 ab0，那么 a0 或 b0，这是因式分解法的根据如：如果(x1)(x1)0，那么x10 或_，即 x1 或_ 自学反馈 1说出下列方程的根：(1)x(x8)0；(2)(3x1)(2x5)0.2用因式分解法解下列方程：(1)x24x0；(2)4x2490；(3)5x220 x200.活动 1 小组讨论 例 1 用因式分解法解下列方程：(1)5x24x0；(2)3x(2x1)4x2；(3)(x5)23x15.解：(1)x10，x245.(2)x123，x212.(3)x15，x2
15、2.解这里的(2)(3)题时，注意整体的思想 例 2 用因式分解法解下列方程：(1)4x21440；(2)(2x1)2(3x)2；(3)5x22x14x22x34；(4)3x212x12.解：(1)x16，x26.(2)x143，x22.(3)x112，x212.(4)x1x22.注意本例中的方程可以使用多种方法求解 活动 2 跟踪训练 1用适当的方法解下列方程：(1)x2x0；(2)x2x120；(3)3x26x3;(4)4x21210；(5)4x2x90.2 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径 活动 3 课堂小结 1因式分解法解一元二次方
16、程的一般步骤：(1)将方程右边化为 0；(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3)令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 2归纳解一元二次方程不同方法的优缺点 【预习导学】(abc)m(ab)(ab)(ab)2 知识探究 1因式分解法 2.x10 x1 自学反馈 1(1)x10，x28.(2)x113，x252.2(1)x10，x24.(2)x172，x272.(3)x1x22.【合作探究】活动 2 跟踪训练 1(1)x10，x21.(2)x14，x23.(3)x1x21.(4)x1112，x2112.(5)x11 1458，x21
17、1458.2.设小圆形场地的半径为x m 则可列方程 2x2(x5)2.解得 x155 2，x255 2(舍去)答：小圆形场地的半径为(55 2)m.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1理解并掌握根与系数关系：x1x2ba，x1x2ca.2会用根的判别式及根与系数的关系解题 阅读教材第 15 至 16 页，完成预习内容 知识探究 1完成下列表格：方程 x1 x2 x1x2 x1x2 x25x60 2 3 5 6 x23x100 2 5 3 10 问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；(两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项)x2pxq0 的两根为 x1，x2，用式子
18、表示你发现的规律(x1x2p，x1x2q)2完成下列表格：方程 x1 x2 x1x2 x1x2 2x23x20 2 12 32 1 3x24x10 13 1 43 13 问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：用语言叙述发现的规律；(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比)ax2bxc0 的两根为 x1，x2，用式子表示你发现的规律(x1x2ba，x1x2ca)3利用求根公式推导根与系数的关系：ax2bxc0 的两根 x1_，x2_ 则 x1x2_，x1x2_.自学反馈 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(
19、1)x23x10；(2)2x23x50；(3)13x22x0.活动 1 小组讨论 例 1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x14x2.解：(1)x1x26，x1x215.(2)x1x273，x1x23.(3)x1x254，x1x214.先将方程化为一般形式，找对 a、b、c 的值 例 2 已知方程 2x2kx90 的一个根是3，求另一根及 k 的值 解：另一根为32，k3.本题有两种解法：一种是根据根的定义，将 x3 代入方程先求 k，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答 例 3 已知，是方程 x23x50 的两根，不解方程，
20、求下列代数式的值(1)11；(2)22；(3).解：(1)35.(2)19.(3)29或 29.活动 2 跟踪训练 1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x23x15；(2)5x214x2；(3)x23x210；(4)4x21440；(5)3x(x1)2(x1);(6)(2x1)2(3x)2.2两根均为负数的一元二次方程是()A7x212x50 B6x213x50 C4x221x50 Dx215x80 两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数 活动 3 课堂小结 1一元二次方程的根与系数的关系 2一元二次方程的根与系数的关系成立的前提条件 【预习导学】知识探究 3.b b24ac2a b b24ac2a ba ca 自学反馈(1)x1x23，x1x21.(2)x1x232，x1x252.(3)x1x26，x1x20.【合作探究】活动 2 跟踪训练 1(1)x1x23，x1x215.(2)x1x20，x1x21.(3)x1x23，x1x28.(4)x1x20，x1x236.(5)x1x253，x1x223.(6)x1x223，x1x283.2.C