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1、全国各地中考数学常考压轴题（含答案）1(12 分)如图，已知抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中点 A 的坐标是(1，0)，点 C的坐标是(4，3)(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)上的抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点 E 是(1)中抛物线上的一动点且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及点 E 的坐标 解：(1)yx24x3(2)对称轴为直线x2，直线AC的解析式为yx1，要使BCD的周长最小，点D应为直线AC与直线x2的交点，故点D
2、的坐标是(2，1)(3)点E在抛物线上，设点E的坐标为(x，x24x3)，过点E作EFx轴，交AC于点F，交x轴于点G，过点C作CHEF，垂足为点H.点F在直线yx1上，点F的坐标为(x，x1)，EF(x1)(x24x3)x25x4.SACESAEFSEFC12EF(AGCH)12(x25x4)332x2152x632(x52)2278，320，故当x52时，S最大278，点E的坐标为(52，34)2(12 分)如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C，D 两点，直径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C，O，D 的一个动点，AM 所在的直线交O 于点 N，点 P
3、 是直线 CD 上另一点，且 PMPN.(1)当点 M 在O 的内部，如图，试判断 PN 与O 的位置关系，并写出证明过程；(2)当点 M 在O 的外部，如图，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点 M 在O 的外部，如图，AMO15，求图中阴影部分的面积 解：(1)PN与O相切证明：连结ON，则ONAOAN.PMPN，PNMPMN.AMOPMN，PNMAMO，PNOPNMONAAMOOAN90，ONPN，PN与O相切(2)成立证明：连结ON，则ONAOAN.PMPN，PNMPMN.在RtAOM中，OMAOAM90，PNMONA90，PNO1809090，ONPN，PN
4、与O相切(3)连结ON，由(2)可知ONP90.AMO15，PMPN，PNM15，OPN30，PON60，AON30.过点N作NEOD，垂足为点E，则NE32S阴影SAOCS扇形AONSCON12OCOA301236012CONE1211112121321211234 3(9 分)如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DEAD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证：DCDE；(2)若tanCAB12，AB3，求 BD 的长 解：(1)连结OC，CD是O的切线，OCD90，ACODCE90.又EDAD，EDA90，EADE90.OCOA，ACOE
5、AD，DCEE，DCDE(2)设BDx，则ADABBD3x，ODOBBD1.5x.在RtEAD中，tanCAB12，ED12AD12(3x)，DC12(3x)在RtOCD中，OC2CD2DO2，则1.5212(3x)2(1.5x)2，解得x13(舍去)，x21，故BD1 4(10 分)端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽子的销售情况 请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题 解：小华：设定价为x元，利润为y元，则销售量为(500 x30.110)个 由题意，得y(x2)(500 x30.110)100 x21000 x1600100(x5)2900.当y800时，100
6、(x5)2900800，解得x4或x6.售价不能超过进价的240%，x2240%，即x4.8，故x4，即小华的问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润 小明：依题意，得y100(x5)2900.a1000，x4.8时，y随x的增大而增大，故当x4.8时，函数能取最大值，即y最大100(4.85)2900896.故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大 5(8 分)如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的，现想用毛毡搭建底面积为 9 m2，高为 6 m，外围高为 2 m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留)解：蒙古
7、包的底面积为9 m2，高为6 m，外围(圆柱)高2 m，圆锥的底面半径为3 m，圆锥高为：624 m，圆锥的母线长为32425 m，圆锥的侧面积为3515 m2，圆锥的底面周长为236 m，圆柱的侧面积为6212 m2.故需要毛毡(1512)27 m2 6(9 分)已知抛物线 yax2bx3 的对称轴是直线 x1.(1)求证：2ab0；(2)若关于x的方程ax2bx80的一个根为4，求方程的另一个根 解：(1)对称轴是直线x1b2a，2ab0(2)方程ax2bx80的一个根为4，16a4b80.2ab0，b2a，16a8a80，解得a1，则b2，ax2bx80为x22x80，则(x4)(x2)
8、0，解得x14，x22，故方程的另一个根为2 7(9 分)如图，以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC，BC的交点分别为 D，E，且DEBE.(1)试判断ABC 的形状，并说明理由(2)已知半圆的半径为 5，BC12，求sinABD 的值 解：(1)ABC为等腰三角形理由如下：连结AE，DEBE，DAEBAE，即AE平分BAC.AB为直径，AEB90，AEBC，ABC为等腰三角形(2)ABC为等腰三角形，AEBC，BECE12BC12126.在RtABE中，AB10，BE6，AE102628.AB为直径，ADB90，12AEBC12BDAC，BD81210485.在RtABD中，
9、AB10，BD485，ADAB2BD2145，sinABDADAB14510725 8(10 分)某调查小组采用简单随机抽样的方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：(1)该调查小组抽取的样本容量是多少？(2)求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5 小时的人数，并补全频数分布直方图；(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间 解：(1)由题意，可得0.5小时的人数为100人，所占比例为20%，本次调查共抽取了500名学生(2)1.5小时的人数为5000.24120(人)，补 全 条 形 图 略 (3)根 据 题 意，得100
10、0.520011201.5802100200120801.18，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时 9(10 分)如果抛物线 yax2bxc 过定点 M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 yx22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答 解：(1)依题意，选择点(1，1)作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得yx22x2(答案不唯一)(2)定点抛物线的顶点
11、坐标为(b，cb21)，且12bc11，c12b.顶点纵坐标cb2122bb2(b1)21，当b1时，cb21最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c1，抛物线的解析式为yx22x 10(12 分)如图，E 的圆心 E(3，0)，半径为 5，E 与 y 轴相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的上方)，与 x 轴的正半轴交于点 C，直线 l的解析式为 y34x4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线过点 B.(1)求抛物线的解析式；(2)判断直线 l 与E 的位置关系，并说明理由；(3)动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时，求出点 P 的坐标及最小距离 解：(
12、1)连结AE，由已知，得AECE5，OE3.在RtAOE中，由勾股定理，得OAAE2OE252324.OCAB，由垂径定理，得OBOA4，OCOECE358，A(0，4)，B(0，4)，C(8，0)抛物线的顶点为C，设抛物线的解析式为ya(x8)2，将点B的坐标代入上述解析式，得64a4，故a116，y116(x8)2，y116x2x4为所求抛物线的解析式(2)在直线l的解析式y34x4中，令y0，得34x40，解得x163，点D的坐标为(163，0)当x0时，y4，点A在直线l上在RtAOE和RtDOA中，OEOA34，OAOD34，OEOAOAOD.又AOEDOA90，AOEDOA，AEO
13、DAO.AEOEAO90，DAOEAO90，即DAE90，因此直线l与E相切于点A(3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为点Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M.设M(m，34m4)，P(m，116m2m4)，则PM34m4(116m2m4)116m214m8116(m2)2314.当m2时，PM取得最小值314，此时P(2，94)对于PQM，PMx轴，QMPDAOAEO.又PQM90，PQM的三个内角固定不变，在动点P运动的过程中，PQM的三边的比例关系不变，当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小PM最小sinQMPPM最小sinAEO31445315，当抛物线上的动点P的
14、坐标为(2，94)时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315 11(7 分)如图，已知在ABC 中，ABAC6，BC10.求ABC 的外接圆的半径 r.解：连结OA，OB，OC，OA与BC相交于点E.ABAC，OBOC，OA垂直平分BC，BE12BC5.在RtABE中，AB6，BE5，AE11.在RtOBE中，r252(r11)2，r181111 12(7 分)已知二次函数 yx22xm.(1)如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点 A(3，0)，与 y 轴交于点 B，直线 AB与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标 解：(1)二次函数的图象与x轴有两个交点，224m0，m1(2)二次函数的图象过点A(3，0)，096m，m3，二次函数的解析式为yx22x3.令x0，则y3，B(0，3)设直线AB的解析式为ykxb，03kb，3b，解得k1，b3，直线AB的解析式为yx3.抛物线yx22x3，的对称轴为x1，把x1代入yx3得，y2，P(1，2)