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1、考点 12 平面向量的线性表示 【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019 无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 ABa2b，BC4ab，CD5a3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是_ 2、（2017 年苏州期末）设1e与2e是两个不共线向量，1232eeAB，12eeCBk，1232eeCDk，若A，B，D三点共线，则k 3、（2017 徐州期末）在ABC中，若点D，E，F依次是边AB上的四等分点，设1eCB，2eCA，用1e，2e表示CF，则CF 4、（2016 年南通一模）如图，在ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点.F为边AB上的点，且3ABAF，
2、若ADxAFyAE，,x yR，则xy的值为 .5（2017 泰州期中）如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且3|2,|,|2 32OAOBOC，若(,)R OCOAOB，则_，_ ABCO 6、（2016 年苏北四市联考）如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边,AB AD分别 交于,E F两点，且交其对角线于K，其中，25AEAB，12AFAD，AKAC，则的值为 【问题探究，变式训练】题型一 向量的共线定理与平面向量的线性运算 知识点拨：注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例 1、(2018 南京学情调研）设向量a(1，4
3、)，b(1，x)，ca3b.若ac，则实数x的值是_ 【变式 1】、(2017 南京学情调研）已知向量a(1,2)，b(m,4)，且a(2ab)，则实数m的值为_ 【变式 2】、(2017 苏州暑假测试）设 x，yR，向量a(x,1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.【变式 3】、已知点C，D，E是线段AB的四等分点，O为直线AB外的任意一点，若A B C D E F K()OCODOEm OAOB，则实数 m的值为 【关联 1】、(2016 南京、盐城、徐州二模）已知O为ABC的外心，若51213OAOBOC 0，则C=【关联 2】、在ABC中，C45，O是ABC的外心，若OCm
4、OAnOB(m，nR)，则mn的取值范围是_ 题型二 平面向量的基本定理的应用 知识点拨：运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质，如平行和相似。例 2、(2019 苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形ABCDEF中，若ADACAE（，R），则的值为 E A B C D E F（第 1 题）A B C 6 2 3.5（第 2 题）【变式 1】、(2019 泰州期末）已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上一点，且满足PAPB2PD0，PAPBPC0，则 _ 【变式 2】、在ABC中，AB2
5、，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AOxAByAC(x，yR)，则xy的值为_.【变式 3】、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BEBABD(，R)，则_.【变式 4】、（2017 苏州期末）在ABC中，2BDDC，若12ADABAC，则12的值为 【关联 1】、（2016 年南通一模）如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，2BGGO，设CDAG，若15ADABAC()R，则的值为 【关联 2】、（2017 年江苏卷）如图,在同一个平面内，向量OA、OB，OC的模分别为 1,1，2，OA与OC的夹角为，且tan7，OB与OC的夹角为45
6、，若(,)OCmOAnOB m nR,则mn的值为_ 题型三 平面向量基本定理的综合运用 知识点拨：向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化 基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法 例 3、（2017 年苏州一模）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足APmABnAD(m，n均为正实数)，则1m1n的最小值为_ ABCDOG A C B O 【变式 1】、（2017 年徐州联考）如图，经过ABO的重心G的直线与OA，OB交
7、于点P，Q，设OPmOA，OQnOB，R,nm，则nm11的值为 【变式 2】、（2017 泰州期末）如图，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1，A120，E，F分别是边AB，AC上的点，且AEmAB，AFnAC，其中m，n()0，1.若EF，BC的中点分别为M，N，且m4n1，则|MN的最小值为_ 【关联 1】、（2018 年南通二模）已知ABC是边长为 3 的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足AQ23AP13AC，则|BQ|的最小值是_.【关联 2】、（2016 年扬州检测）在ABC中，E为边AC上一点，且3ACAE，P为BE上一点，且满足(0,0)APmABnAC mn，求mnmnmn的最小值 A B C E P