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1、2019 年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（）试题 2019.12 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1.设全集|5,*Ux xxN，集合1A，3，3B，4，则()UCAB _.答案：2，分析：由全集|5,*Ux xxN，可得1U，2，3，4，然后根据集合混合运算的法则即可求解 解：1A，3，3B，4，1AB，3，4，|5,*1Ux xxN，2，3，4，()2UCAB 2.已知i是虚数单位，若复数(1 2)()zi ai的实部与虚部相等，则实数a的值为 答案：3 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求
2、得a值 解：(12)()(2)(21)zi aiaai，且z的实部与虚部相等，221aa，即3a 故答案为：3 3.函数2()log(1)f xxx的定义域为_.答案：0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于 0，再结合对数函数的真数大于 0 即可求解.注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页包含填空题（第 114 题）、解答题（第 1520 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，
3、必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠解：由题意得010 xx，解得01x 故函数()f x的定义域为0,1)4.从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 答案：23 分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论 解：从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙）
4、，（甲丁），（乙丙），（乙丁），共 4 种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263，故答案为：23 5.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 800，检测结果的频率分布直方图如图所示根据标准，单件产品质量在区间25，30)内为一等品，在区间20，25)和30，35)内为二等品，其余为次品则样本中次品件数为 答案：200 分析：结合频数分布直方图确定落在10，15，)、15，20)、35，40的人数由容量频率组距组距求出 解：样本容量为 800，检测结果的频率分布直方图如图所示 根据标准，单件产品质量在区间25，30)内为一等品，在区间20，25)和30，35)内为二等品，
5、其余为次品其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200 故答案为：200 6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为 答案：8 分析：根据程序框图进行模拟运算即可 解：1a，1b，10a 否，2a，1b，10a 否，123a，211b，10a 否，314a，312b，10a 否，426a，422b，10a 否，628a，624b，10a 否，8412a，1248b，10a 是，输出8b，故答案为：8 7.若抛物线22ypx(0)p 的焦点恰好是双曲线22451xy的右焦点，则p _ 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p 解：双曲线22451xy的右焦
6、点是(3，0)，抛物线22ypx的焦点为(3，0)，32p，6p 故答案为：6 8.已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f xxx 是定义在R上的奇函数，则()8f的值为 答案：2 分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可 解：()3sin(2)cos(2)2sin(2)6f xxxx，()f x是奇函数，6k，即6k，kZ，0，0k时，6，即()2sin 2f xx，则2()2sin()22842f ，故答案为：2 9.已知数列na与2nan均为等差数列(*)nN，且12a，则10a 答案：20 分析：设等差数列na的公差为d又数列2nan均为等差数列(*)
7、nN，且12a，可得222(2)2(22)2213dd，解得d，即可得出 解：设等差数列na的公差为d 又数列2nan均为等差数列(*)nN，且12a，222(2)2(22)2213dd，解得2d 则1029220a 故答案为：20 10.如图，在ABC中，4AB，2AC，60BAC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，若134DE DF，则线段BD的长为 答案：32 分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC，再由余弦定理可得：2 3BC，然后设(01)BDBC剟，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DFBEBDDCCF，解得：14，即可得解
8、解：因为在ABC中，4AB，2AC，60BAC，所以4AB AC，又在ABC中，由余弦定理可得：2222cosBCABACAB ACCAB，又4AB，2AC，60BAC，得2 3BC，设(01)BDBC剟，则()()DE DFBE BDDC CF 11()(1)22ABBCBCAC 11()()(1)22ABACACAB 222111()(1)()(22)224ABACAB AC 212187 134，解得：14，即14BDBC，即线段BD的长为32，故答案为：32 11.已知点(3,0)A，(1,2)B ，若圆222(2)(0)xyrr上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为 4，则r
9、的取值范围是 答案：2(2，9 2)2 分析：求得|AB的值，得出两点M，N到直线AB的距离相等，写出AB的直线方程，根据圆上的点到直线AB的距离求出r的取值范围 解：由题意可得22|(1 3)(20)2 2AB ，根据MAB和NAB的面积均为 4，可得两点M，N到直线AB的距离为2 2；由于AB的方程为032013yx ，即30 xy；若圆上只有一个点到直线AB的距离为2 2，则有圆心(2,0)到直线AB的距离为|203|2 22r，解得22r；若圆上只有 3 个点到直线AB的距离为2 2，则有圆心(2,0)到直线AB的距离为|203|2 22r，解得9 22r；综上，r的取值范围是2(2，
10、9 2)2 故答案为：2(2，9 2)2 12.已知函数2()234xaaxf xxxlnxee，其中e为自然对数的底数，若存在实数0 x使0()3f x成立，则实数a的值为 答案：12ln 分析：令2()233g xxxlnx，()4xaaxh xee，求出()g x与()h x的值域即可判断0 x的值，从而得出a的值 解：令()3f x 可得：22334x aa xxxlnxee，令2()233g xxxlnx，()4xaaxh xee，则21431()43xxg xxxx，令()0g x可得24310 xx，即1x 或14x （舍)，当01x时，()0g x，当1x 时，()0g x，(
11、)g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，()g xg（1）4，()4(4)244x aa xx aa xx aa xh xeeeeee（当且仅当4x aa xee即2xaln时取等号），0()3f x，即00()()g xh x，012xaln，12aln 故答案为：12ln 13.已知函数32 ln,0(),0ex xf xxx x，若函数2()()g xf xax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.答案：(0,1)2 解：当0 x 时，由()0g x 得，320 xaxx，0 x 或210 xax 当2a 时，在(,0上有三个根，当2a 时，在(,0上有两个根，当2a
12、时，在(,0上有一根 当0 x 时，由()0g x 得22 ln0exax，则22 lnexax，设22 ln()exh xx（0 x），32(12ln)()exh xx 当(0,)xe时,()0h x，函数单调递增，当(,)xe时,()0h x，函数单调递减 可结合图像可知，0()1ahe时，方程有两个根；当1a 或0a 时，方程有一个根；当1a 时，方程没有实根，综上：当01a或2a 时，()g x有三个零点.14.在锐角三角形ABC，AD是边BC上的中线，且ADAB，则111tantantanABC的最小值为 答案：132 分析：不妨设1BDDC，BC边上的高为h，则tan2Bh，2ta
13、n3Ch，再根据正切值求出tan A，然后用基本不等式可求得 解：不妨设1BDDC，BC边上的高为h，则tan2Bh，2tan3Ch，从而tantan2tantan()3tantan114BCABCBCh，所以1111313132tantantan28282hhABChh，（当且仅当1328hh，即132h时，取等）故答案为：132 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是1010（1）求3cos
14、()4的值；（2）若以x轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为55，求的值 分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果 解：因为锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知sin 1010 从而cos 3 101 sin210（1）3cos()cos4 cos 3sin4 sin 34，3 1021025()1021025 （2）因为钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是55，所以cos 55，从而sin 2 51cos25 于是sin()sin cos cos s
15、in 1053 102 52()1051052 因为为锐角，为钝角，所以(2，3)2，从而34 16.（本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱111ABCA B C中，点D在棱BC上，1ADC D，点E，F分别是1BB，11A B的中点（1）求证：D为BC的中点；（2）求证：/EF平面1ADC 分析：（1）推导出1CCABC，1ADCC，从而AD 平面11BCC B，进而ADBC，由此能证明D为BC的中点（2）连结1AC，1AC，交于点O，连结DO，1A B，推导出1/ODA B，1/EFA B，从而/EFOD，由此能证明/EF平面1ADC 证明：（1）在正三棱柱111ABCA B C中，点D
16、在棱BC上，1ADC D，1CCABC，1ADCC，111C DCCC，AD平面11BCC B，ADBC，D为BC的中点（2）连结1AC，1AC，交于点O，连结DO，1A B，正三棱柱111ABCA B C中，11ACC A是矩形，O是1AC的中点，1/ODA B，点E，F分别是1BB，11A B的中点，1/EFA B，/EFOD，EF平面1ADC，DO 平面1ADC/EF平面1ADC 17.（本小题满分 14 分）某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成（如图1)每座帐篷的体积为354 m，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r（单位：)m的半球体，下层是半径为rm，高为hm的圆柱
17、体（如图2)经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为 2 千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为 3 千元设所有帐篷的总建造费用为y千元（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即322543rr h，表示出h，则22(222323)10yrrrh，化简得25460()yrr；再由254203rr，则313 3r，所以定义域为3|13 3rr，（2）254()f rrr，313 3r，根据导函数求出其最小值即可 解：（1）由题意可得322543rr
18、h，所以25423hrr，所以2222542(222323)1010060()3yrrrhrrrr，即25460()yrr；因为1r，0h，所以254203rr，则313 3r，所以定义域为3|13 3rr，（2）设254()f rrr，313 3r，则254()2frrr，令()0f r，解得3r，当1r，3)时，()0f r，()f r单调递减；当(3r，33 3)时，()0f r，()f r单调递增，所以当3r 时，()f r取极小值也是最小值，且()1620minf r 答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620千元 18（本小题满分 16 分）如图，已知椭圆2222:1(0)
19、xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，若椭圆C经过点(0,3)，离心率为12，直线l过点2F与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）若点N为12FAF的内心（三角形三条内角平分线的交点），求12F NF与12F AF面积的比值；（3）设点A，2F，B在直线4x 上的射影依次为点D，G，E连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由 分析：（1）由题意知3b 12ca，可得32ba，解得a即可得出椭圆C的方程（2）由点N为12F AF的内心，可得点N为12F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得1
20、2121212121|21(|)2F NFF AFF FrSSAFAFF Fr（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于2F G的中点5(,0)2下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点5(,0)2T 设直线l的方程为(1)yk x，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120kxk xk设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由题意，得1(4,)Dy，2(4,)Ey，则直线AE的方程为2121(4)4yyyyxx令52x，此时21215(4)42yyyyx，把根与系数关系代入可得0y，因此点5(,0)2T在直线AE上同理可证，点5(,0)2T
21、在直线BD上即可得出结论 解：（1）由题意知3b 因为12ca，所以32ba，解得2a，所以椭圆C的方程为：22143xy（2）因为点N为12FAF的内心，所以点N为12F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，则12121212121|2121223(|)2F NFF AFF FrSccSacacAFAFF Fr（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于2F G的中点5(,0)2 下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点5(,0)2T 设直线l的方程为(1)yk x，联立22(1)143yk xxy化简得2222(34)84120kxk xk 因
22、为直线l经过椭圆C内的点(1,0)，所以0 设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则212283 4kxxk，21 2241234kx xk 由题意，得1(4,)Dy，2(4,)Ey，则直线AE的方程为2121(4)4yyyyxx 令52x，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)yyxyyyyyxx 12211 212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)xk xk xxkkx xk xxxx 22221412882534342(4)kkkkkkkx 3332124328244002(4)(34)kkkkkxk，所以点5(,0)2T在直线AE上 同理可证，点5
23、(,0)2T在直线BD上 所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点5(,0)2T 19.（本小题满分 16 分）设数列na，nb分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列（1）已知11b，23260b bb，求数列nb的前n项的和nS；（2）已知22a，4710+21aaa，且数列+nnab的前三项成等比数列，若数列 nb唯一，求1b的值.（3）已知数列na的公差为(0)d d，且11 122(1)22nnna ba ba bn，求数列na，nb的通项公式（用含n，d的式子表达）；（1）解：设nb的公比为q，则有360qq，即2(2)(23)0qqq；解得2q ；1(2)3nnS
24、；（2）na为等差数列，又22a，4710+21aaa 7321a，77a，则公差1d，则nan 数列+nnab的前三项成等比数列，即11+b，22+b，33+b成等比，2213(2+)(1+)(3+)bbb，整理得131+=bb 设数列nb的公比为q，显然10b 则2111+=bbq，21110bqb 数列 nb唯一确定，1104(1)0bb 解得：11b 或10b（舍）即11b （3）解：11 122(1)22nnna ba ba bn 1 12211(2)22nnna ba babn，得2(2)nnna bnn；1 12a b；*2()nnna bnnN 111(1)2(2)nnnabn
25、n 令，得12(2)1nnanqnan；其中q是数列nb的公比；122(1)(3)2nnanqnan 令，得2221(2)(3)(1)nnna an nnan；31234a aa，即1121(2)3()4ad aad；解得1ad或13ad；若13ad，则40a，有444420a b，矛盾；1ad满足条件，此时nadn；2nnbd；20.（本小题满分 16 分）设a为实数，已知函数()xf xaxe()aR（1）当0a 时，求函数()f x的单调区间；（2）设b为实数，若不等式2()2f xxbx对任意的1a及任意的0 x 恒成立，求b的取值范围；（3）若函数()()lng xf xxx(0)x
26、有两个相异的零点，求a的取值范围 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2xex b对任意的0 x 恒成立，构造函数()2xxex，利用导数求出函数的最值即可求出b的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围 解：（1）当0a 时，因为()(1)xfxa xe，当1x 时，()0f x；当1x 时，()0f x所以函数()f x单调减区间为(,1)，单调增区间为(1,)（2）由2()2f xxbx，得22xaxexbx，由于0 x，所以2xaexb对任意的1a及任意的0 x 恒成立 由于0 xe，所以xxaee，所以2xex
27、 b对任意的0 x 恒成立 设()2xxex，0 x，则()2xxe，所以函数()x在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以()(minxln2)22ln2，所以22bln2（3）由()lnxg xaxexx，得1(1)(1)()(1)1xxxaxeg xa xexx，其中0 x 若0a时，则()0g x，所以函数()g x在(0,)上单调递增，所以函数()g x至多有一个零点，不合题意；若0a 时，令()0g x，得10 xxea 由第（2）小题知，当0 x 时，()222xxexln 20，所以2xex，所以22xxex，所以当0 x 时，函数xxe的值域为(0,)所
28、以存在00 x，使得0010ax ex，即001ax ex ，且当0 xx时，()0g x，所以函数()g x在0(0,)x上单调递增，在0(x，)上单调递减 因为函数有两个零点1x，2x，所以0000()()maxg xg xax exxln001xxln 00 x 设()1lnxxx，0 x，则1()10 xx，所以函数()x在(0,)上单调递增 由于(1)0，所以当1x 时，()0 x，所以式中的01x 又由式，得001x exa 由第（1）小题可知，当0a 时，函数()f x在(0,)上单调递减，所以1ea，即1(ae，0)()i 由于111()(1)0eaegeee，所以01()()
29、0gg xe 因为011xe，且函数()g x在0(0,)x上单调递减，函数()g x的图象在0(0,)x上不间断，所以函数()g x在0(0,)x上恰有一个零点；()ii 由于1111()()gelnaaaa ，令1tea，设()tF tetln t，te，由于te时，lntt，2tet，所以设()0F t，即1()0ga 由式，得当01x 时，0001x exxa，且01()()0gg xa，同理可得函数()g x在0(x，)上也恰有一个零点 综上，1(ae，0)2019 年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（）试题 2019.12 21本题共 2 小题，每小题 10 分，共计 20
30、 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵11aAb，A的一个特征值2，其对应的一个特征向量是121 （1）求矩阵A；（2）设直线l在矩阵1A对应的变换作用下得到了直线:4m xy，求直线l的方程 分析：（1）由111211aAb 即可求出a，b；（2）设直线:4m xy上的任意一点(,)x y在矩阵A对应的变换作用下得到点(,)x y，根据122144xxxyyyxy ，可得2,3.6xyxxyy进而得到l的方程；解：（1）1122112aaAbb ，124212 ，24,22,ab解得2,4,ab 故1214A；注 意 事 项
31、 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页包含填空题（第 114 题）、解答题（第 1520 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠（2）1214A，121331166A
32、，设直线:4m xy上的任意一点(,)x y在矩阵1A对应的变换作用下得到点(,)x y，则2121333311116666xyxxyyxy 21,3311,66xxyyxy 2,4.xxyyxy 4xy，23y ，直线l的方程为23y B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为()4R，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为4cos,(1cos2xy 为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标 分析：化直线l的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C的参数方程为普通方程，联立求解得答案 解：直线l的直角坐标方程为yx 由方程4cos,1co
33、s2xy，可得22212cos2()48xyx，又1 cos1 剟，44x 剟 曲线C的普通方程为21(44)8yxx 剟 将直线l的方程代入曲线方程中，得218xx，解得0 x，或8x（舍去）直线l与曲线C的交点P的直角坐标为(0,0)第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分）如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面四边形ABCD为菱形，12A AAB，3ABC，E，F分别是BC，1AC的中点（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11AMA
34、D若/CM平面AEF，求实数的值 分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11AMAD求出平面AEF的法向量，利用/CM平面AEF，即可求实数的值 解：因为四棱柱1111ABCDABC D为直四棱柱，所以1A A 平面ABCD 又AE 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以1A AAE，1A AAD 在菱形ABCD中3ABC，则ABC是等边三角形 因为E是BC中点，所以BCAE 因为/BCAD，所以AEAD 建立空间直角坐标系则(0A，0，0)，(3C，1，0)，(0D，2，0)，1(0A，0，2)，(3E，0，0
35、)，3(2F，12，1)（1）(0AD，2，0)，3(2EF ，12，1)，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为1242 1 1 （2）设(M x，y，)z，由于点M在线段1A D上，且11A MA D，则(x，y，2)(0z，2，2)则(0M，2，22)，(3CM ，21，22)设平面AEF的法向量为0(nx，0y，0)z 因为(3AE，0，0)，3(2AF，12，1)，由00003031022xxyz，得00 x，00102yz 取02y，则01z ，则平面AEF的一个法向量为(0n，2，1)由于/CM平面AEF，则0n CM，即2(21)(22)0，解得23 23（本小题满分 10 分
36、）已知袋中装有大小相同的 2 个白球、2 个红球和 1 个黄球一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将 3 个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中当出现第n局得n分(*)nN的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束（1）求在一局游戏中得 3 分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望()E X 分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得 2 分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望 解：（1）设在一局游戏中得 3 分为事件A，则P（A）1112213525CCCC；（2）由题意随机变量X的可能取值为 1，2，3，4；且在一局游戏中得 2 分的概率为1221222135310CCCCC；则2122351(1)5CCP XC，436(2)51025P X，43228(3)(1)5105125P X，43342(4)(1)5105125P X，X的分布列为：X 1 2 3 4 P 15 625 28125 42125 162842337()1234525125125125E X