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1、 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷南通名师高考原创卷命题组数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共页,包含填空题(共 题)、解答题(共题),满分为 分,考试时间为 分钟.考试结束后,请将答题卡交回.答题前,请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 毫米签字笔填写在答题卡上.作答试题必须用书写黑色字迹的 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.如有作图需要,须用 B铅笔绘写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.参考公式:球的体积V球 R,其中R为球的半径一、填空题:本大题
2、共 小题,每小题分,共计 分请把答案填写在答题卡相应位 置上 已知集合A,Bx|x,xR,则AB已知复数z的实部为,且满足(i)za i,其中i为虚数单位,则实数a的值是下图是根据某学校 位学生的身高(单位:厘米)制成的频率分布直方图,则所调查的学生中身高在 ,)内的学生人数是(第题)IF o rnF r o mT oS t e pIII fI T h e nII E n dI fE n dF o rP r i n tI(第题)一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的I的值是函数yx l n(x)的定义域是在区间(,)中任取一个数x则能使,x是某个三角形三边长的概率是在平面直角坐标系x
3、 O y中,曲线y(xa x)ex在点(,)处的切线方程为xy(e是自然对数的底数),则实数a的值是在正方体内有一个球,该球与正方体的六个面均相切记正方体的体积为V,球O体积为V,则VV的值是设三个等差数列an,bn,cn 的前n项和分别为Sn,Tn,Un已知abc,abc,则S T U 的值是 已知函数f(x)xx,g(x)x,x,x,x则不等式f(x)g(x)的解集是 已知e是单位向量,向量a满足ae,且|a|at e|对任意实数t恒成立,则|a|的取值范围是 在平面直角坐标系x O y中,椭圆xay(a)与为双曲线xmy有公共焦点F,F设P是椭圆与双曲线的一个交点,则PFF的面积是 已知
4、s i n()s i n(),t a n(),则t a n的值是 已知二次函数f(x)xb xc,当x,时,|f(x)|,则的最大值是二、解答题:本大题共小题,共计 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分 分)在平面直角坐标系中,设向量p(c o sA,s i nA),q(s i nB,c o sB)其中A,B分别是A B C的两个内角()若pq,求C的值;()若pqs i n C,A B,求A B C的面积的最大值(本小题满分 分)如图,在三棱锥PA B C中,P A平面A B C,A BB C,A FF P,D为A C的中点,E为B C中点求证:(
5、第 题)()B DP C;()P E平面F B D(本小题满分 分)为防止新冠肺炎病毒的传播,净化空气,确保医务人员的安全,某医院决定喷洒一种消毒剂,每天次根据实验知,每喷洒该消毒剂个单位,空气中释放出有效杀毒成份浓度y(毫克/立方米)随时间x(小时)的变化近似为yx,x,x,x 当空气中的有效杀毒浓度不少于(毫克/立方米)时,才能起到杀死新冠肺炎病毒的作用若第一次喷洒时间为,且喷洒个单位的消毒剂()问第一次喷洒后多少小时内有效杀毒?()若第二次喷洒时间为当日 ,则第二次至少喷洒多少个单位的消毒剂,使一天内(到次日)都能有效杀毒 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师高考数学原创押题卷 南通名师
6、高考数学原创押题卷(本小题满分 分)如图在平面直角坐标系x O y中,已知椭圆C:xayb,C:xayb(ab),椭圆C的右顶点和上顶点分别为A和B,过A,B分别引椭圆C的切线l,l,切点为C,D()若a,b,求直线l的方程;()若直线l与l的斜率之积为,求椭圆C的离心率(第 题)(本小题满分 分)已知函数f(x)l nxx,g(x)k(x)(k)()求f(x)的单调区间;()证明:fk()gk();()若关于x的方程f(x)g(x)有唯一解,求k的值(本小题满分 分)数列an 满足:a,a,ananan()n(n,)()当n时,求ananan的值;()设bnan()an,cnan anan证
7、明:数列bn 是等比数列;数列cn 是等差数列数学(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共页,均为解答题(第 题).满分为 分,考试时间为 分钟.考试结束后,请将答题卡交回.答题前,请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 毫米签字笔填写在答题卡上.作答试题必须用书写黑色字迹的 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.如有作图需要,须用 B铅笔绘写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.【选做题】本题包括A,B,C三小题,每小题 分请选定其中两小题 ,并在相应的答题 区域内作答 若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算
8、步骤A 选修:矩阵与变换(本小题满分 分)已知矩阵A()求A的逆矩阵A;()求矩阵A的特征值B 选修:坐标系与参数方程(本小题满分 分)在极坐标系中,已知点A,(),B,(),C,()()求直线B C的极坐标方程;()求A B C的面积C 选修:不等式选讲(本小题满分 分)已知a,b,c是非负实数,满足abc求(abc)abc()的最小值【必做题】第 题、第 题,每小题 分,共计 分请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分 分)如图,在正四棱柱A B C DABCD中,A A,A B,E,F分别是B C,B B的中点()求直线A F与平面CD E所成角的
9、正弦值;()求二面角AAFD的余弦值(第 题)(本小题满分 分)设a,a,an的值分别独立地从集合,n 中随机选取,记由a,a,an组成的数集的元素个数为X()当n时,求X的概率;()求X的数学期望E X 南通名师高考数学原创押题卷(答案)南通名师高考数学原创押题卷参考答案数学I【答案】,【解析】AB,x|x,xR,【答案】【解析】法一:由(i)za i,得za i i(a i)(i)(a)(a)i再由z的实部为,得a 法二:设zbi,bR由(i)bi a i,得ab【答案】【解析】在 ,)的学生数为()【答案】【解析】I的值 分别为,最后输出的值为【答案】(,),(,)【解析】原函数的定义域
10、是x,x,解得x或x【答案】【解析】要使,x能构成一个三角形,则x,即x,故其概率为【答案】【解析】由y(xxa xa)ex,y|xa,故a【答案】【解析】设球的半径为R,则正方体的棱长为R,VR,V R,故VV【答案】【解析】因为an,bn,cn 都是等差数列,所以数列anbncn 也是等差数列,且公差d ,故abc ,S T U 【答案】x|x【解析】法一:因为g(x)|x|,所以不等式f(x)g(x)等价于xx|x|,这等价于|x|x|,于是,|x|,解得x法二:原不等式等价于xxxx或xxx,x解得x或x,即x 【答案】,【解析】在平面直角坐标系中,不妨设e(,),由ae,得a(,s)
11、,则 s(t)s对任意实数t恒成立,所以 s|s|,解得|s|,故s,|a|【答案】【解析】根据对称性,不妨设P在第一象限由题设可知FF(a)(m)c即am,ac,cm根据椭圆与双曲线的定义得 南通名师高考数学原创押题卷(答案)P FP Fa,P FP Fm,P Fam,P Fam在PFF中,由余弦定理得c o s FP FP FP FFFP FP F(am)(am)c(am)(am)(amcam(ac)(cm)am 所以,s i n FP F ,SP FFP FP Fs i n FP F(am)【答案】【解析】由s i n()s i n()得s i n c o sc o s s i n s
12、i n c o s c o s s i n,则t a n t a n,t a nt a n t a n t a n而t a n()t a nt a nt a nt a nt a nt a nt a nt a nt a nt a n t a n所以,t a n t a n(),即t a n 【答案】【解析】(方法)由x,时,|f(x)|得f()b c,f()bc,f()()bc,由得()f()f()f(),故 而当f(x)x,x,时,|f(x)|,此时(方法)由条件和设问知,该问题与对称轴的位置无关,不失一般性,可设b因是求的最大值,由二次函数图象特征知,且c下略 【解析】()由pq,即c o
13、sAc o sBs i nAs i nB,所以c o s(AB)因为AB,所以AB,故C()由pqs i n C得c o sAs i nBs i nAc o sBs i n C,即s i n(AB)s i n C,因为ABC,C(AB),所以s i nCs i n(AB)s i n C即s i nCs i nCc o sC因为C(,),s i nC,所以c o sC,即C由余弦定理aba bc o sCc得aba b,(a,b,c分别为内角A,B,C的对边)由基本不等式aba b得a b,当且仅当ab时,取得等号所以SA B Ca bs i nCa b,当且仅当ab时,取得等号所以A B C面
14、积的最大值为 【证明】()因为D是A C中点,A BB C,所以B DA C又因为P A平面A B C,B D平面A B C,所以P AB D又P A,A C平面P A C,P AA CA,所以B D平面P A C,因为P C平面P A C,所以B DP C()连A E交B D于G,连F G因为D,E分别为A B C边A C,B C的中点,所以G是A B C的重心,于是A GG E 南通名师高考数学原创押题卷(答案)又由已知得A FF P,即A FF P,所以A GG EA FF P,所以F GP E因为F G平面F B D,P E 平面F B D,所以P E平面F B D 【解析】()设早上
15、六点为时,设过x小时后,空气中有效杀毒浓度为f(x)(毫克/立方米),则f(x)yx(),x,x,x 当x 时,f(x)(x)()当 x 时,由 x,得x 答:第一次喷洒个单位消毒剂后 个小时内有效杀毒()晚上 点时,距离早上第一次喷洒已 个小时,若第二次喷洒剂量为a单位,则第x(x)时小后,空气中有效杀毒浓度g(x)(毫克/立方米),则g(x)a(x)x,(x)令x t,则t,xt g(x)h(t)ta ta,要使一天内都有效杀毒,则h(t)在区间(,上恒成立即h();h(a 答:第二次至少喷漆()个单位的消毒剂,使一天内都有效杀毒 【解析】()当a,b,C:xy,C:x yA(,),设过A
16、(,)处的切线方程为yk(x),代入C,得(k)x kx k令(k)(k)(k),得k,k,所以l的方程为:y(x)()设l,l的斜率分别为k,k,则kk l,l的方程分别:yk(xa),ybkx联立yk(xa),xayb,消去y,得(bak)xakxakab由 ak(bak)(akab),得akb 联立ybkx,xayb,消去y,得(bak)xab kxab由 abk(bak)ab,得akb 得akkb,abe 【解析】()因为f(x)l nxx,令f(x),得xe,列表如下:x(,e)e(e,)f(x)f(x)极大值所以f(x)的单调减区间为(e,),单调增区间为(,e)()fk()gk(
17、)l nkk 南通名师高考数学原创押题卷(答案)令h(x)x l nx,则h(x)xx,得x所以当x(,)时,h(x),h(x)在区间(,)单调减;当x(,)时,h(x),h(x)在区间(,)单调增所以h(x)h()故当k时,hk(),即l nkk,所以fk()gk()()方程f(x)g(x)l nxxk(x),且x是原方程的一个根令m(x)l nxxk(x),m(x)l nxxk令m(x),即k x l nx()下面证明,只有k时,函数m(x)有唯一零点当k时,m(x)l nxx,且m()所以m(x)在(,)为单调增函数,在(,)上为单调减函数故函数m(x)有唯一零点当k时,令n(x)k x
18、 l nx,因n()k,nk()k l nk l nk,又因为n(x)为增函数,所以方程()在,k()有唯一根,记为x,当x(,x),m(x)n(x)x,所以m(x)在(,x)单调增,故m(x)m(),而由()可知mk(),即m(x)mk(),所以,函数m(x)在区间x,k()至少再有一个零点,所以函数m(x)至少有两个零点当k时,同理可证函数m(x)在区间k,x()还有一个零点综上所述,若方程f(x)g(x)有唯一的解,则k 【解析】()由a,a,得a,anan an anan an an an an()n an an an an an an an an an an an an an an
19、an an aaa()由()可知ananan,即ananan,则bnan()an()anan()an()an()bn,又a()a,公比q 所以数列bn 是等比数列,公比q 由cnan anan,于是cncnan an anan anan(anan)(anan)(anan)an(anan)an(cncn)(cncn)an(anan)anan(anan)ananananananan(anan)an(anan)anan an ancn所以,cncncn 南通名师高考数学原创押题卷(答案)易得cc,根据递推式可知,cn,(n,)所以数列cn 是等差数列数学(附加题)A【解析】()由|A|,所以A()f
20、()()(),解得 B【解析】()因为极点(,)在直线B C上,所以B C的极坐标方程为:,(R)()设O为极点,则点O,B,C三点共线,且B是O C的中点,所以SA B CSO A CO AO Cs i n()C【证明】由柯西不等式(abc)abc()aabbcc()(abc)当a,bc时不等式等号成立所以欲求的最小值为 【解析】以D A为x轴,D C为y轴,DD为z轴,建立如图的空间坐标系则D(,),A(,),A(,),C(,),C(,),E(,),F(,)()设平面CD E的法向量n(x,y,),则nD E,nD Cx,y,)(,),(x,y,)(,)xy,yn(,)设直线A F与平面C
21、D E所成角为,则s i nnA F|n|A F|()平面A AF的一个法向量n(,),同()可求得平面AD F的法向量n(,)设二面角AAFD为,由图可知,是锐角,所以c o snn|n|n|【解析】()(法一)当n时,(a,a,a)共有以下 种不同的情况(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)其中有个不同数字的有 个,故P(X)(法二)共有 个(a,a,a),只有一个数的有个,三个都不相同的有!,故恰有个数的有 故P(X)()对于任意R,定义随机变量Xk,若k在a,a,an中出现,若k不在a,a,an中出现(k,n)则E Xk即为k在a,a,an中出现的概率对于每个ai,它不是k的概率为nn,故E Xknn()n所以E XE XE XE Xnn(nn)nnn(n)nnn