2008年高考数学试卷(北京.理)含详解2546.pdf-淘文阁

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1、梦想不会辜负一个努力的人 all试题 1 绝密使用完毕前 2008 年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题共 40 分）注意事项：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。一、本题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中

2、，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集R，集合 A=|x|-2x3|，B=|x|x-1 或 x4|，那么集合 A（vB）等于(A)|x|-2x4|（B）|x|x3 或4|(C)|x|-2xbc (B)bac(C)cab (D)bca(3)“函数 f(x)(xR)存在反函数”是“函数 f(x)在 R 上为增函数”的(A)充分而不必要条件（B）必要而不充分条件(C)充分必要条件（D）即不充分也不必要条件（4）若点 P 到直线 x=1 的距离比它到点（2，0）的烛 1，则点 P 的轨迹为（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 x-y+10,（5）若实数 x,y 满足 x+y0,则 z

3、=3x+y的最小值是 x0,(A)0 (B)1 (C)3 (D)9(6)已知数列an对任意的 p,qNm满足 ap+q=ap+aq,且 aP=-6,那么 ap+q等于（A）-165 (B)-33 (C)-30 (D)21（7）过直线 y=x 上的一点作圆（x-5）2=2 的两条切线 l1，l2，当直线 l1，l2关于 y=x 对称时，综们之间的夹角为（A）30 （B）45 (C)60 (D)90(8)如图，动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD1上。过点 P 作垂直平面 BB1D1D 的直线，与正方体面相关于 M、N，设 BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是

4、梦想不会辜负一个努力的人 all试题 2 绝密使用完毕前 2008 年普通高等学校校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第卷（选择题共 40 分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二 15 16 17 18 19 20 总分分数得分评分人二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）已知(a-i)2=2i,其中 I 是虚数单位，那么实数 a=。（10）已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且a=|b|=4,那么 b（2a+b）的值为。（11）若nxx)1(22展开式的各

5、项数之和为 32，则 n=,其展开式中的常数项为。（用数字作答）（12）如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0)=;=xIfxI)()(lim 。（用数字作答）（13）已知函数 f(x)=x2=cos x,对于22，上的任意x1,x2,有如下条件：x1x2;x21x22;|x1|x2.其中能使 f(x1)f(x2)恒成立的条件序是 .(14)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在点 P1(x1,y1)处，其中 x1=1,y1=1,当 k2 时，x1=xx-1+1-5T

6、（51k）-T（52K）yk=yk+1+T（51k）-T（52K）梦想不会辜负一个努力的人 all试题 3 T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T(2,6)=2,T(0,2)=0.按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为；第 2008 棵树种植点的坐标应为。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。得分评分人（15）（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=sin2x+3sinxsin(x+2)(0)的最小正周期为.（）求的值；（）求函数 f(x)在区间0，23上的取值范围.得分评分人（16）（本小题共 14 分）如图，在三棱锥

7、 P-ABC 中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAC；（）求二面角 B-AP-C 的大小；（）求点 C 到平面 APB 的距离.得分评分人（17）（本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岁位服务，每上岗位至少有一名志愿者.（）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求的分布列.梦想不会辜负一个努力的人 all试题 4 得分评分人（18）（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=22(1)xbx,求导

8、函数 f1(x),并确定 f(x)的单调区间.得分评分人（19）（本小题共 14 分）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 l.（）当直线 BD 过点（0，1）时，求直线 AC 的方程；（）当ABC=60，求菱形 ABCD 面积的最大值.得分评分人（20）（本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2,an,定义变换 T1，T1将数列 A 变换成数列 T1（A）：n,a1-1,a2-1,an-1.对于每项均是非负整数的数列 B：b1,b2,bm,定义变换 T2，T2将数列 B 各项从大到小排列，然后去掉所有

9、为零的项，得到数列 T2（B）：又定义 S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b21+b22+b2m.设 A0是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+1=T2(T1(Ak)(k=0,1,2,)（）如果数列 A0为 5，3，2，写出数列 A2,A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K，当 kK 时，S(Ak+1)=S(Ak).梦想不会辜负一个努力的人 all试题 5 2008 年高考北京理科数学详解一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

11、引起注意。3“函数()()f x xR存在反函数”是“函数()f x在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【标准答案】:B【试题分析】:函数()()f x xR存在反函数，至少还有可能函数()f x在R上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。【高考考点】:充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。【易错提醒】:单调性与一一对应之间的关系不清楚【备考提示】:平时注意数形结合训练。4若点P到直线1x 的距离比它到点(2 0)，的距离小 1，则点P的轨迹为（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【标准答案】:D【试题分析】:把P到直线1

12、x 向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线梦想不会辜负一个努力的人 all试题 6 的定义。【高考考点】:二次函数的定义。【易错提醒】:没有转化的意识【备考提示】:基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。5若实数xy，满足1000 xyxyx，则23xyz的最小值是（）A0 B1 C3 D9【标准答案】:B【试题分析】:解出可行域的顶点，带入验证。【高考考点】:线性规划【易错提醒】:顶点解错【备考提示】:高考基本得分点。6 已知数列 na对任意的*pqN，满足p qpqaaa，且26a ，那么10a等于（）A165 B33 C30 D21【标准答案】:C【试题分析】:由已知4a2a

13、+2a-12，8a4a+4a24,10a=8a+2a=-30【高考考点】:数列【易错提醒】:特殊性的运用【备考提示】:加强从一般性中发现特殊性的训练。7过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（）A30 B45 C60 D90【标准答案】:C【试题分析一】:过圆心 M 作直线l：y=x 的垂线交与 N 点，过 N 点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为 600。【试题分析二】:明白 N 点后，用图象法解之也很方便【高考考点】:直线与圆的位置关系。【易错提醒】:N 点找不到。【备考提示】:数形结合这个解题方法在高考中应用的

14、非常普遍，希望加强训练。8如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN，设BPx，MNy，则函数()yf x的图象大致是（）梦想不会辜负一个努力的人 all试题 7 【标准答案】:B【试题分析】:显然，只有当 P 移动到中心 O 时，MN 有唯一的最大值，淘汰选项 A、C；P 点移动时，x 与 y 的关系应该是线性的，淘汰选项 D。【高考考点】:截面，线与面的位置关系。【易错提醒】:找不到特殊点 O，或者发现不了 O 的特殊性。【备考提示】:加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。二、填空题：本大题共 6 小题

15、，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9已知2()2aii，其中i是虚数单位，那么实数a 【标准答案】:-1【试题分析】:a22ai1a212ai2i，a=1【高考考点】:复数的运算【易错提醒】:增根 a=1 没有舍去。【备考提示】:高考基本得分点。10已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么(2)bab的值为【标准答案】:0【试题分析】:利用数形结合知，向量 a 与 2a+b 垂直。【高考考点】:向量运算的几何意义【易错提醒】:如果使用直接法，易出现计算错误。【备考提示】:向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。11若231nxx展开式的各项

16、系数之和为 32，则n ，其展开式中的常数项为（用数字作答）【标准答案】:5 10【试题分析】:显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即 n=5；将 5 拆分成“前3 后 2”恰好出现常数项，C2510.【高考考点】:二项式【易错提醒】:课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误【备考提示】:二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。12 如图，函数()f x的图象是折线段ABC，其中ABC，的坐标分别为(0 4)(2 0)(6 4)，则(0)f f ；A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O 2 B C

17、A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 8 0(1)(1)limxfxfx （用数字作答）【标准答案】:2 -2【试题分析】:f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知0(1)(1)limxfxfx 2.【高考考点】:函数的图像，导数的几何意义。【易错提醒】:概念“导数的几何意义”不清。【备考提示】:在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。13已知函数2()cosf xxx，对于 2 2，上的任意12xx，有如下条件：12xx；2212xx；12xx 其中能使12()()f xf

18、x恒成立的条件序号是【标准答案】:【试题分析】:函数2()cosf xxx显然是偶函数，其导数 y=2x+sinx 在 0 x2时，显然也大于 0，是增函数，想象其图像，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，满足这一点。当 x1=2,x2=-2时，均不成立。【高考考点】:导数，函数的图像，奇偶性。【易错提醒】:忽视了函数是偶函数。【备考提示】:加强导数综合应用的训练。14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkP xy，处，其中11x，11y，当2k时，11121 5551255kkkkkkxxTTkkyyTT，()T a表示非负实数

19、a的整数部分，例如(2.6)2T，(0.2)0T 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为；第 2008 棵树种植点的坐标应为【标准答案】:(1,2)(3,402)【试题分析】:T5251kTk组成的数列为 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1(k=1,2,3,4)。一一带入计算得：数列 nx为 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列 ny为 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第 6 棵树种在(1,2)，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 9 第 2008 棵树种在(3,402)。【高考

20、考点】:数列的通项【易错提醒】:前几项的规律找错【备考提示】:创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题共 13 分）已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数()f x在区间203，上的取值范围【标准答案】:（见后）【高考考点】:三角函数式恒等变形，三角函数的值域。【易错提醒】:公式的记忆，范围的确定，符号的确定。【备考提示】:综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。16（本小题共 1

21、4 分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC （）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离【标准答案】:（见后）【高考考点】:直线与直线的垂直，二面角，点面距离【易错提醒】:二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一【备考提示】:找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。17（本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗

22、位服务的人数，求的分布列【标准答案】:【高考考点】:概率，随机变量的分布列【易错提醒】:总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把 C25混淆为 A25【备考提示】:近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。18（本小题共 13 分）已知函数22()(1)xbf xx，求导函数()fx，并确定()f x的单调区间 A C B P 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 10【标准答案】:【高考考点】:导数，导数的应用【易错提醒】:公式记忆出错，分类讨论出错【备考提示】:大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。19（本小题共 14 分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆22

23、34xy上，对角线BD所在直线的斜率为 1（）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值【标准答案】:【高考考点】:直线方程，最值【易错提醒】:不会使用判别式和韦达定理【备考提示】:解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配。20（本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列12nAaaa：，定义变换1T，1T将数列A变换成数列 1()T A：12111nnaaa，对于每项均是非负整数的数列12mBbbb：，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B；又定义2221212()

24、2(2)mmS Bbbmbbbb 设0A是每项均为正整数的有穷数列，令121()(012)kkAT T Ak，（）如果数列0A为 5，3，2，写出数列12AA，；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明1()()S T AS A；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当kK时，1()()kkS AS A【标准答案】:【高考考点】:数列【易错提醒】:入口出错【备考提示】:由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，新数列的前几项一定不难出错，它出错，则整体出错。梦想不会辜负一个努力的人 all试题 11 2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工

25、农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1D 2A 3B 4D 5B 6C 7C 8B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）91 100 115 10 122 2 13 14(12)，(3 402)，三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15（共 13 分）解：（）1 cos23()sin222xf xx311sin2cos2222xx 1sin 262x 因为函数()f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1()sin 262f xx 因为203x，所以72666x，所以1sin 2126x，

26、因此130sin 2622x，即()f x的取值范围为302，16（共 14 分）解法一：（）取AB中点D，连结PDCD，APBP，PDAB ACBC，CDAB PDCDD，AB平面PCD A C B D P A C B E P 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 12 PC 平面PCD，PCAB（）ACBC，APBP，APCBPC 又PCAC，PCBC 又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC 取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAP EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP BEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCB

27、ECBE 二面角BAPC的大小为6arcsin3（）由（）知AB 平面PCD，平面APB 平面PCD 过C作CHPD，垂足为H 平面APB平面PCDPD，CH平面APB CH的长即为点C到平面APB的距离由（）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC CD 平面ABC，PCCD 在RtPCD中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD 2 33PC CDCHPD 点C到平面APB的距离为2 33 A C B D P H 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 13 解法二：（）ACBC，APBP，APCBPC 又PCAC，PCBC ACBCC，PC平面ABC AB 平面A

28、BC，PCAB（）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz 则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt，2 2PBAB，2t，(0 0 2)P，取AP中点E，连结BECE，ACPC，ABBP，CEAP，BEAP BEC是二面角BAPC的平面角(011)E，(011)EC，(211)EB，23cos326EC EBBECEC EB 二面角BAPC的大小为3arccos3（）ACBCPC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离如（）建立空间直角坐标系Cxyz 2BHHE，点H的坐标为2 2 23 3 3，2 33CH A C B

29、P z x y H E 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 14 点C到平面APB的距离为2 33 17（共 13 分）解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE，那么3324541()40AAP EC A，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10AP EC A，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P EP E （）随机变量可能取的值为 1，2事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则235334541(2)4C APC A 所以3(1)1(2)4PP，的分布列是 1 3 P 34 14 1

30、8（共 13 分）解：242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx 3222(1)xbx 32(1)(1)xbx 令()0fx，得1xb 当1 1b，即2b 时，()fx的变化情况如下表：x(1)b，1b(11)b，(1)，()fx 0 梦想不会辜负一个努力的人 all试题 15 当1 1b，即2b 时，()fx的变化情况如下表：x(1)，(11)b，1b(1)b，()fx 0 所以，当2b 时，函数()f x在(1)b，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)，上单调递减当2b 时，函数()f x在(1)，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)b，上单调递减当1 1b

31、，即2b 时，2()1f xx，所以函数()f x在(1)，上单调递减，在(1)，上单调递减 19（共 14 分）解：（）由题意得直线BD的方程为1yx 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD 于是可设直线AC的方程为yxn 由2234xyyxn ，得2246340 xnxn 因为AC，在椭圆上，所以212640n ，解得4 34 333n 设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，则1232nxx，212344nx x，11yxn，22yxn 所以122nyy 所以AC的中点坐标为344n n，由四边形ABCD为菱形可知，点344n n，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n 梦想

32、不会辜负一个努力的人 all试题 16 所以直线AC的方程为2yx ，即20 xy（）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA 所以菱形ABCD的面积232SAC 由（）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234 34 3(316)433Snn 所以当0n 时，菱形ABCD的面积取得最大值4 3 20（共 13 分）（）解：05 3 2A：，10()3 4 21T A：，1210()4 3 21AT T A：，；11()4 3 210T A：，2211()4 3 21AT T A：，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为12naaa，则1()T A为n，1

33、1a，21a，1na，从而 112()22(1)3(1)(1)(1)nS T Anaana222212(1)(1)(1)nnaaa 又2221212()2(2)nnS Aaanaaaa，所以1()()S T AS A 12223(1)2()nnnaaa 2122()nnaaan 2(1)0n nnn，梦想不会辜负一个努力的人 all试题 17 故1()()S T AS A（）证明：设A是每项均为非负整数的数列12naaa，当存在1ijn，使得ijaa时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则()()2()jiijS BS Aiajaiaja2()()0jiij aa 当存在1mn，使得120mmnaaa时，若记数列12maaa，为C，则()()S CS A 所以2()()S TAS A 从而对于任意给定的数列0A，由121()(012)kkAT T Ak，可知11()()kkS AS T A 又由（）可知1()()kkS T AS A，所以1()()kkS AS A 即对于kN，要么有1()()kkS AS A，要么有1()()1kkS AS A 因为()kS A是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有12()()()kkkS AS AS A 即存在正整数K，当kK时，1()()kkS AS A

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