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1、北师大版九年级数学上册第（1-3）单元试卷（含答案）第一章 单元检测试卷(满分：100 分，时间：90 分钟)一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.下列性质中菱形不一定具有的性质是()A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形 2.下列命题中，真命题是()A两条对角线垂直的四边形是菱形 B对角线垂直且相等的四边形是正方形 C两条对角线相等的四边形是矩形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形的周长为 4，一个内角为 60，则较短的对角线长为()A2 B.3 C1 D.12 4.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个
2、角，打开如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成()A22.5角 B30角 C45角 D60角 ,第 5 题图),第 6 题图),第 7 题图)5.如图，点 E，F，G，H 分别为四边形 ABCD 的四边 AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形 EFGH，下列说法正确的是()A一定不是平行四边形 B一定不是中心对称图形 C可能是轴对称图形 D当 ACBD 时它是矩形 6.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别是 6 cm，8 cm，AEBC 于点 E，则 AE 的长是()A.485 cm B.245 cm C.125 cm D5 3 cm 7.如图，在ABC 中，点 D 是边
3、 BC 上的点(与 B，C 两点不重合)，过点 D 作 DEAC，DFAB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是()A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形 B若 BDCD，则四边形 AEDF 是菱形 C若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形 D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形 8.如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为()A3 B3.5 C2.5 D2.8,第 8 题图),第 9 题图),第 10 题图)9.如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按
4、住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这两个正方形重叠部分的面积是()A.12 B.33 C133 D.21 10.如图，点 E 为边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线上一点，BEBC，点 P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于 R，则 PQPR 的值为()A.22 B.12 C.32 D.2 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11.已知菱形的周长是 20 cm，一条对角线长为 8 cm，则菱形的另一条对角线长为（）cm.12.矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件 ABBC(答案不唯一)，
5、使其成为正方形(只填一个即可)13.如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEAD，ADE75，则AEB（）.,第 13 题图),第 15 题图),第 16 题图)14.直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm和 6 cm，则它的面积是（）cm2.15.如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 的中点为 O，过点 O 作 OEBC 于点 E，连接 OA，已知 AB5，BC12，则四边形 ABEO 的周长为（）.16.如图，MON45，OA11，作正方形 A1B1C1A2，周长记作 C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作 C3；点 A
6、1，A2，A3，A4在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，B4在射线 OM 上，依此类推，则第 n 个正方形的周长（）.三、解答题(一)(本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)17.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的点，求证：AECE.18.如图，已知菱形 ABCD 两条对角线 BD 与 AC 的长度之比为 34，周长为 40 cm，求菱形的高及面积 19.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边上一点，EFCE，交 AB 于点F，若 DE2，矩形的周长为 16，且 CEEF，求 AE 的长 四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 7 分，共 2
7、1 分)20.如图，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OBCOCB.(1)求证：平行四边形 ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形 21.如图，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E.(1)求证：DCAEAC；(2)只需添加一个条件，即 ADBC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明 22.如图，在ABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于D，交 AB 于 E，F 在 DE 的延长线上，且 AFCEAE.(1)求证：四边形 ACEF 是平行四边形；(2)当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是
8、菱形，并说明理由 五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)23.如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C处，折痕为 EF.(1)求证：BEBF；(2)若ABE20，求BFE 的度数；(3)若 AB6，AD8，求 AE 的长 24.如图，在RtABC 中，B90，AC60 cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s的速度向点 A 匀速运动，同时点E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是 t s(0t15)
9、过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF.(1)求证：AEDF；(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由；(3)当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 25.已知正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，CD 上的点，连接AE，BF 相交于点 H，且 AEBF.(1)如图 1，连接 AC 交 BF 于点 G，求证：AGFAEB45；(2)如图 2，延长 BF 到点 M，连接 MC，若BMC45，求证：AHBHBM；(3)如图 3，在(2)的条件下，若点 H 为 BM 的三等分点，连接 BD，DM，若 HE1，求BDM
10、的面积 答 案 一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形 2.下列命题中，真命题是(D)A两条对角线垂直的四边形是菱形 B对角线垂直且相等的四边形是正方形 C两条对角线相等的四边形是矩形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形的周长为 4，一个内角为 60，则较短的对角线长为(C)A2 B.3 C1 D.12 4.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开 如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)A22.5角 B30角 C45角
11、 D60角 ,第 5 题图),第 6 题图),第 7 题图)5.如图，点 E，F，G，H 分别为四边形 ABCD 的四边 AB，BC，CD，DA 的中点，则关于四边形 EFGH，下列说法正确的是(C)A一定不是平行四边形 B一定不是中心对称图形 C可能是轴对称图形 D当 ACBD 时它是矩形 6.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别是 6 cm，8 cm，AEBC 于点 E，则 AE 的长是(B)A.485 cm B.245 cm C.125 cm D5 3 cm 7.如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 上的点(与 B，C 两点不重合)，过点 D 作 DEAC，DFAB，分
12、别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是(D)A若 ADBC，则四边形 AEDF 是矩形 B若 BDCD，则四边形 AEDF 是菱形 C若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形 D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形 8.如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为(C)A3 B3.5 C2.5 D2.8,第 8 题图),第 9 题图),第 10 题图)9.如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这两个正方形重叠部
13、分的面积是(D)A.12 B.33 C133 D.21 10.如图，点 E 为边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线上一点，BEBC，点 P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于 R，则 PQPR 的值为(D)A.22 B.12 C.32 D.2 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11.已知菱形的周长是 20 cm，一条对角线长为 8 cm，则菱形的另一条对角线长为 6cm.12.矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件 ABBC(答案不唯一)，使其成为正方形(只填一个即可)13.如图，点 E 为正方形 ABCD
14、外一点，AEAD，ADE75，则AEB30.,第 13 题图),第 15 题图),第 16 题图)14.直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm和 6 cm，则它的面积是 30cm2.15.如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 的中点为 O，过点 O 作 OEBC于点 E，连接 OA，已知 AB5，BC12，则四边形 ABEO 的周长为 20.16.如图，MON45，OA11，作正方形 A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形 A2B2C2A3，周长记作 C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作 C3；点 A1，A2，A3，A4在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，B4在
15、射线 OM 上，依此类推，则第 n 个正方形的周长 Cn2n1.三、解答题(一)(本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)17.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的点，求证：AECE.证明：四边形 ABCD 为正方形，ABCB，ABECBE.在ABE 和CBE 中，ABCB，ABECBE，BEBE，ABECBE(SAS)，AECE 18.如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为34，周长为 40 cm，求菱形的高及面积 解：BDAC34，设 BD3x，AC4x，BO3x2，AO2x，又AB2BO2AO2，AB52x，菱形的周长是 40 cm，AB40
16、410(cm)，即52x10，x4，BD12 cm，AC16 cm，S菱形 ABCD12BDAC12121696(cm2)，又S菱形 ABCDABh，h96109.6(cm)，菱形的高是 9.6 cm，面积是 96 cm2 19.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边上一点，EFCE，交AB 于点 F，若 DE2，矩形的周长为 16，且 CEEF，求 AE 的长 解：EFEC，1390.在矩形 ABCD 中，AD90，3290，12.又EFEC，EFACED(AAS)，AECD.设 AEx，则 DCx.由矩形的周长为 16 得 2x28，x3，即 AE 的长为 3 四、解答题(二)(
17、本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)20.如图，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OBCOCB.(1)求证：平行四边形 ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形 解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，OBCOCB，OBOC，ACBD，平行四边形 ABCD 是矩形(2)ABAD(或 ACBD 答案不唯一)理由：四边形 ABCD 是矩形，又ABAD，四边形 ABCD 是正方形(或：四边形 ABCD 是矩形，又ACBD，四边形 ABCD 是正方形)21.如图，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E.(1
18、)求证：DCAEAC；(2)只需添加一个条件，即 ADBC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明 解：(1)在DCA 和EAC 中，DCEA，ADCE，ACCA，DCAEAC(SSS)(2)添加 ADBC，可使四边形 ABCD 为矩形理由：ABDC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形CEAE，E90，由(1)知DCAEAC，DE90，四边形 ABCD 为矩形 22.如图，在ABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE 交BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 的延长线上，且 AFCEAE.(1)求证：四边形 ACEF 是平行四边形；(2)当B 满足什么条件时，四
19、边形 ACEF 是菱形，并说明理由 解：(1)由题意知FDCDCA90，EFCA，AEFEAC.AFCEAE，FAEFEACECA.又AEEA，AECEAF，EFCA，四边形 ACEF 是平行四边形(2)当B30时，四边形 ACEF 是菱形理由：B30，ACB90，AC12AB.DE 垂直平分 BC，BECE.AECE，AEBECE12AB，ACCE，由(1)得四边形 ACEF 是平行四边形，四边形 ACEF是菱形 五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)23.如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C处，折痕为 EF.(1)求证：
20、BEBF；(2)若ABE20，求BFE 的度数；(3)若 AB6，AD8，求 AE 的长 解：(1)由题意得BEFDEF.四边形 ABCD 为矩形，DEBF，BFEDEF，BEFBFE，BEBF(2)四边形 ABCD为矩形，ABF90；而ABE20，EBF902070；又BEFBFE，BFE 的度数为 55(3)由题意知 BEDE；设 AEx，则 BEDE8x，由勾股定理得(8x)262x2，解得 x74，即 AE 的长为74 24.如图，在RtABC 中，B90，AC60 cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s的速度向点 A 匀速运动，同时点E 从点 A 出发沿
21、AB 方向以 2 cm/s的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是 t s(0t15)过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF.(1)求证：AEDF；(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由；(3)当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 解：(1)DFC90，C30，DC4t，DF2t，又AE2t，AEDF(2)能，理由：ABBC，DFBC，AEDF，又AEDF，四边形 AEFD 为平行四边形，当 AEAD 时，四边形 AEFD为菱形，即 604t2t，解得 t10，
22、当 t10 秒时，四边形 AEFD为菱形(3)当DEF90时，由(1)知四边形 AEFD 为平行四边形，EFAD，ADEDEF90，A60，AED30，AD12AEt，又 AD604t，即 604tt，解得 t12；当EDF90时，四边形 EBFD 为矩形，在RtAED 中A60，则ADE30，AD2AE，即 604t4t，解得 t152；若EFD90，则 E 与 B 重合，D 与 A 重合，此种情况不存在 综上所述，当 t152 s或 12 s时，DEF 为直角三角形 25.已知正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，CD 上的点，连接AE，BF 相交于点 H，且 AEBF.(1)如
23、图 1，连接 AC 交 BF 于点 G，求证：AGFAEB45；(2)如图 2，延长 BF 到点 M，连接 MC，若BMC45，求证：AHBHBM；(3)如图 3，在(2)的条件下，若点 H 为 BM 的三等分点，连接 BD，DM，若 HE1，求BDM 的面积 解：(1)四边形 ABCD 是正方形，ABCBCD90，ACBACD45，AEBF，AEBFBC90，FBCBFC90AEBBFC，AGFBFCACF，AGFAEB45(2)过 C 作 CKBM 于 K，BKCAHB90，BMC45，CKMK，四边形 ABCD 是正方形，ABBC，ABCBCD90，ABHBCK，ABHBCK(AAS)，
24、BHCKMK，AHBK，BMBKMKAHBH(3)由(2)得，BHCKMK，H 为BM 的三等分点，BHHKKM，过 E 作 ENCK 于 N，四边形 HENK是矩形，HKENBH，BHEENC，BHEENC(ASA)，HECNNK1，CKBH2，BM6，连接 CH，HKMK，CKMH，BMC45，CHCM，MCH90，BCHDCM，BHCDMC(SAS)，BHDM2，BHCDMC135，DMB90，BDM 的面积为12DMBM6 北师大版九年级数学上册第二单元试卷（含答案）(满分：100 分，时间：90 分钟)一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.下列方程中，是关
25、于 x 的一元二次方程是()A3(x1)22(x1)B.1x21x20 Cax2bxc0 Dx22xx21 2.把方程 x210 x3 左边化成含有 x 的完全平方式，下列做法正确的是()Ax210 x(5)228 Bx210 x(5)222 Cx210 x5222 Dx210 x52 3.关于 x 的一元二次方程 x2bx100 的一个根为 2，则 b 的值为()A1 B2 C3 D7 4.方程(x2)(x3)0 的解是()Ax2 Bx3 Cx12，x23 Dx12，x23 5.解方程(x1)(x3)5 较为合适的方法是()A直接开平方法 B配方法 C公式法或配方法 D因式分解法 6.关于
26、x 的一元二次方程 kx24x20 有实数根，则 k 的取值范围是()Ak2 Bk2 且 k0 Ck2 且 k0 Dk2 7.已知一元二次方程 x23x10 的两个根分别是 x1，x2，则 x21x2x1x22的值为()A3 B3 C6 D6 8.某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得()A168(1x)2108 B168(1x)2108 C168(12x)108 D168(1x2)108 9.有一块长 32 cm，宽 24 cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子
27、的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是()A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 10.定义运算：a*ba(1b)若 a，b 是方程 x2x14m0(m0)的两根，则 b*ba*a 的值为()A0 B1 C2 D与 m 有关 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11.方程(x2)2x2 的解是（）。12.当 k0 时，方程 x2(k1)xk0 有一根是（）.13.写出以 4，5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是（）14.若关于 x 的方程 x2mxm0 有两个相等实数根，则代数式 2m28m1 的值为（）.15.在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形
28、风景画(如图 1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图 2)，使整个挂图的面积是 80 平方分米，设金色纸边宽为 x 分米，可列方程为（）.16.毕业晚会上，某班同学每人向本班其他同学送一份小礼品，全班共互送 306 份小礼品，则该班有（）名同学 三、解答题(一)(本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)17.用指定方法解下列方程：(1)x24x20(配方法);(2)x23x20(公式法)18.已知方程 x2ax3a0 的一个根是 6，求 a 的值和方程的另一个根 19.试证明关于x的方程(a28a20)x22ax10无论a取何值，该方程都是一元二次方程 四、解答题(二
29、)(本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)20.某地地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款 12100元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？21.已知关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm10.(1)求证：无论 m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x1，x2是原方程的两根，且|x1x2|2 2，求 m 的值 22.已知：关于 x 的方程 x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)
30、若ABC 为等腰三角形，BC5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长 五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)23.已知一元二次方程 x2pxq10 的一个根为 2.(1)求 q 关于 p 的关系式；(2)求证：方程 x2pxq0 有两个不等的实数根；(3)若方程 x2pxq10 有两个相等的实数根，求方程 x2pxq0 两根 24.某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60 cm，宽 40 cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边(1)若丝绸花边的面积为 650 cm2，求丝绸花边的宽度；(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每
31、天可售出 200 件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是 2000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低 1 元，每天可多售出 20 件，请问该公司每天所获利润能否达到 22500 元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由 25.如图，在RtABC 中，AC24 cm，BC7 cm，点 P 在 BC 上，从点 B 到点 C 运动(不包括点 C)，点 P 运动的速度为 2 cm/s；点 Q 在AC 上从点 C 运动到点 A(不包括点 A)，速度为 5 cm/s.若点 P，Q 分别从 B，C 同时运动，且运动时间记为 t 秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程(1)当
32、 t 为何值时，P，Q 两点的距离为 5 2 cm?(2)当 t 为何值时，PCQ 的面积为 15 cm2?(3)请用配方法说明，点 P 运动多少时间时，四边形 BPQA 的面积最小？最小面积是多少？答 案 一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.下列方程中，是关于 x 的一元二次方程是(A)A3(x1)22(x1)B.1x21x20 Cax2bxc0 Dx22xx21 2.把方程 x210 x3 左边化成含有 x 的完全平方式，下列做法正确的是(B)Ax210 x(5)228 Bx210 x(5)222 Cx210 x5222 Dx210 x52 3.关于 x 的一
33、元二次方程 x2bx100 的一个根为 2，则 b 的值为(C)A1 B2 C3 D7 4.方程(x2)(x3)0 的解是(D)Ax2 Bx3 Cx12，x23 Dx12，x23 5.解方程(x1)(x3)5 较为合适的方法是(C)A直接开平方法 B配方法 C公式法或配方法 D因式分解法 6.关于 x 的一元二次方程 kx24x20 有实数根，则 k 的取值范围是(C)Ak2 Bk2 且 k0 Ck2 且 k0 Dk2 7.已知一元二次方程 x23x10 的两个根分别是 x1，x2，则x21x2x1x22的值为(A)A3 B3 C6 D6 8.某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为
34、108 元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得(B)A168(1x)2108 B168(1x)2108 C168(12x)108 D168(1x2)108 9.有一块长 32 cm，宽 24 cm的矩形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是(C)A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 10.定义运算：a*ba(1b)若 a，b 是方程 x2x14m0(m0)的两根，则 b*ba*a 的值为(A)A0 B1 C2 D与 m 有关 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24
35、分)11.方程(x2)2x2 的解是 x12，x21.12.当 k0 时，方程 x2(k1)xk0 有一根是 0.13.写出以 4，5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是x2x200.14.若关于 x 的方程 x2mxm0 有两个相等实数根，则代数式 2m28m1 的值为 1.15.在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如图 1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图 2)，使整个挂图的面积是 80 平方分米，设金色纸边宽为 x 分米，可列方程为(2x6)(2x8)80.16.毕业晚会上，某班同学每人向本班其他同学送一份小礼品，全班共互送 306 份小礼品，则该班
36、有 18 名同学 三、解答题(一)(本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)17.用指定方法解下列方程：(1)x24x20(配方法);(2)x23x20(公式法)解：x12 2，x22 2 解：x11，x22 18.已知方程 x2ax3a0 的一个根是 6，求 a 的值和方程的另一个根 解：根据题意得，626a3a0，a4，方程为 x24x120，设另一个根为 x1，则 x164，得 x12，故 a 的值是 4，方程的另一个根为2 19.试证明关于 x 的方程(a28a20)x22ax10 无论 a 取何值，该方程都是一元二次方程 证明：a28a20(a4)244，无论 a 取何值，a
37、28a204，即无论 a 取何值，原方程的二次项系数都不会等于 0，关于 x 的方程(a28a20)x22ax10，无论 a 取何值，该方程都是一元二次方程 四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分)20.某地地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款12100 元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)10%(2)12100(10.1)13 310(元)21.已知关于 x 的一元二次方程 x2(m3)xm
38、10.(1)求证：无论 m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x1，x2是原方程的两根，且|x1x2|2 2，求 m 的值 解：(1)(m3)24(m1)m22m5(m1)240，无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根(2)x1，x2是原方程的两根，x1x2(m3)，x1x2m1.|x1x2|2 2，(x1x2)28，(x1x2)24x1x28，(m3)24(m1)8，m11，m23，m 的值为 1 或3 22.已知：关于 x 的方程 x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若ABC 为等腰三角形，BC5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长
39、解：(1)(4m)24(4m21)40，无论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根(2)0，ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5 是方程 x24mx4m210 的根将 x5 代入原方程，得：2520m4m210，解得：m12，m23.当m2 时，原方程为 x28x150，解得：x13，x25，3，5，5能够组成三角形，该三角形的周长为 35513；当 m3 时，原方程为 x212x350，解得：x15，x27，5，5，7 能够组成三角形，该三角形的周长为 55717.综上所述：此三角形的周长为 13 或 17 五、解答题(三)(本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分)23
40、.已知一元二次方程 x2pxq10 的一个根为 2.(1)求 q 关于 p 的关系式；(2)求证：方程 x2pxq0 有两个不等的实数根；(3)若方程 x2pxq10 有两个相等的实数根，求方程 x2pxq0 两根 解：(1)一元二次方程 x2pxq10 的一根为 2，42pq10，q2p5(2)x2pxq0，p24qp24(2p5)(p4)240，方程 x2pxq0 有两个不等的实数根(3)x2pxq10有两个相等的实数根，p24(q1)0，由(1)可知 q2p5，联立方程组得p24q40，q2p5，解得p4，q3，把p4，q3代入 x2pxq0，得 x24x30，解得x11，x23 24.
41、某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60 cm，宽 40 cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边(1)若丝绸花边的面积为 650 cm2，求丝绸花边的宽度；(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出 200 件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是 2000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低 1 元，每天可多售出 20 件，请问该公司每天所获利润能否达到 22500 元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由 解：(1)设花边的宽度为 x cm，根据题意得：(602x)(40 x)6040650，整理得 x270 x325
42、0，解得：x5 或 x65(舍去)答：丝绸花边的宽度为 5 cm(2)设每件工艺品降价 x 元出售，则根据题意可得：(100 x40)(20020 x)200022500，整理得：x250 x6250，解得：x25.售价为 1002575(元)，答：当售价定为 75 元时能达到利润 22500 元 25.如图，在RtABC 中，AC24 cm，BC7 cm，点 P 在 BC 上，从点 B 到点 C 运动(不包括点 C)，点 P 运动的速度为 2 cm/s；点 Q 在AC 上从点 C 运动到点 A(不包括点 A)，速度为 5 cm/s.若点 P，Q 分别从 B，C 同时运动，且运动时间记为 t
43、秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程(1)当 t 为何值时，P，Q 两点的距离为 5 2 cm?(2)当 t 为何值时，PCQ 的面积为 15 cm2?(3)请用配方法说明，点 P 运动多少时间时，四边形 BPQA 的面积最小？最小面积是多少？解：(1)在RtABC 中，AC24 cm，BC7 cm，AB25 cm，设经过 t s后，P，Q 两点的距离为 5 2 cm，t s后，PC(72t)cm，CQ5t cm，根据勾股定理可知 PC2CQ2PQ2，代入数据(72t)2(5t)2(5 2)2；解得 t1 或 t129(不合题意舍去)(2)设经过 t s后，SPCQ的面积为 15 cm2
44、.t s后，PC(72t)cm，CQ5t cm，SPCQ12(72t)5t15，解得 t12，t21.5，经过 2 s或 1.5 s后，SPCQ的面积为 15 cm2(3)设经过 t s后，PCQ 的面积最大，则此时四边形 BPQA 的面积最小，t s后，PC(72t)cm，CQ5t cm，SPCQ12PCCQ12(72t)5t52(2t27t)，配方得 SPCQ5(t74)22451624516，即 t74 s时，PCQ 的最大面积为24516，四边形 BPQA 的面积最小值为：SABCSPCQ 最大1272424516109916(cm2)，当点 P 运动74秒时，四边形 BPQA 的面积
45、最小为109916cm2 第三章单元测试卷(时间：100 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是(A)A经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定 B抛掷 10000 次硬币与抛掷 12000 次硬币“正面向上”的频率相同 C抛掷 50000 次硬币，可得“正面向上”的频率为 0.5 D若抛掷 2000 次硬币“正面向上”的频率是 0.518，则“正面向下”的频率也为 0.518 2.在一个不透明的袋中装有 2 个黄球和 2 个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放
46、回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是(C)A.18 B.16 C.14 D.12 3.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为(C)A.23 B.12 C.13 D.16 4.在一个不透明的袋中装着 2 个红球和 1 个黄球，它们除颜色外其他均相同，随机从袋中摸出 2 个小球，两球恰好都是红球的概率为(B)A.12 B.13 C.14 D.16 5.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 6 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸
47、球试验发现，摸到黄球的频率是 0.3，则估计盒子中大约有红球(B)A16 个 B14 个 C20 个 D30 个 6.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率是(B)A.34 B.23 C.13 D.12,第6题图),第7题图),第 10 题图)7.如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是(C)A.1925 B.1025 C.625 D.525 8.掷两枚正六面体骰子，所得点数之和为 11 的概率为(A)A.118 B.136 C.112 D.115 9.有三张正面分别写有数字1，1，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片
48、背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点(a，b)在第二象限的概率是(B)A.16 B.13 C.12 D.23 10.如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2在 x 轴上，点 B1，B2在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以 A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是(D)A.34 B.13 C.23 D.12 二、填空题(本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11.在一个不透明的袋子
49、中有 10 个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为 40%，估计袋中白球有4 个 12.有一双白手套和一双黑手套(不分左右)，小明夜里出门，因天气寒冷要戴手套，可恰好停电，则小明左手戴白手套，右手戴黑手套的概率是13.13.有 A，B 两只不透明口袋，每只口袋装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B 袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是14.14.如图，一只蚂蚁从 A 点出发到 D，E，F 处寻觅食物假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向
50、左下到达 B 处，也可以向右下到达 C 处，其中 A，B，C 都是岔路口)那么，蚂蚁从 A 出发到达 E 处的概率是12.15.从长度分别为 2，4，6，7 的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是12.16.形状大小一样、背面相同的四张卡片，其中三张卡片正面分别标有数字“2”“3”“4”，小明和小亮各抽一张，前一个人随机抽一张记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机抽一张记下数字算一次，如果两人抽一次的数字之和是 8 的概率为316，则第四张卡片正面标的数字是 5 或 6.三、解答题(一)(本大题 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分)17.随机掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次