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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(2013江苏，1)函数的最小正周期为_2(2013江苏，2)设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_3(2013江苏，3)双曲线的两条渐近线的方程为_4(2013江苏，4)集合1,0,1共有_个子集5(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_6(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙899
2、0918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_7(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_8(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.9(2013江苏，9)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_10(2013江苏，10)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，.若
3、(1，2为实数)，则12的值为_11(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_12(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a0，b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若，则椭圆C的离心率为_13(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x0)图象上一动点若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为_14(2013江苏，14)在正项等比数列an中，a6a73.则满足a1a2ana
4、1a2an的最大正整数n的值为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值16(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.17(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标
5、系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路A
6、C长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19(2013江苏，19)(本小题满分16分)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.20(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减
7、函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论数学(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21(2013江苏，21)A选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.B选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数
8、方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标D选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值23(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列an：1，2
9、，2,3,3,3，4，4，4，4，即当(kN*)时，an(1)k1k.记Sna1a2an(nN*)对于lN*，定义集合Pln|Sn是an的整数倍，nN*，且1nl(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2 000中元素的个数2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1答案：解析：函数的最小正周期.2答案：5解析：|z|(2i)2|44ii2|34i|5.3答案：解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为.4答案：8解析：由于集合1,0,1有3个元素，故其子集个数为238.5答案：3解析：
10、第一次循环后：a8，n2；第二次循环后：a26，n3；由于2620，跳出循环，输出n3.6答案：2解析：由题中数据可得，.于是(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22，由，可知乙运动员成绩稳定故应填2.7答案：解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，7；n的可能取值为1,2,3，9.由于是任取m，n：若m1时，n可取1,2,3，9，共9种情况；同理m取2,3，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7963种若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，
11、因此满足条件的情形有4520种故所求概率为.8答案：124解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为12，SADESABC14.因此V1V2124.9答案：解析：由题意可知抛物线yx2在x1处的切线方程为y2x1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x2y0平移到过点A时，x2y取得最大值.当直线x2y0平移到过点B(0，1)时，x2y取得最小值2.因此所求的x2y的取值范围为.10答案：解析：由题意作图如图在ABC中，1，2.故12.11答案：(5,0)(5，)解析：函数f(x)为奇函数，且x0时，f(x)x24x，则f(x)原不等式等价于或由此可解得
12、x5或5x0.故应填(5,0)(5，)12答案：解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为，即bxcybc0.于是可知，.，即.a2(a2c2)6c4.6e4e210.e2.13答案：1，解析：设P点的坐标为，则|PA|2.令，则|PA|2t22at2a22(ta)2a22(t2)结合题意可知(1)当a2，t2时，|PA|2取得最小值此时(2a)2a228，解得a1，a3(舍去)(2)当a2，ta时，|PA|2取得最小值此时a228，解得a，a(舍去)故满足条件的实数a的所有值为，1.14答案：12解析：设正项等比数列an的公比为q，则由，a6a7a5(qq2)3可得q2，于是an
13、2n6，则a1a2an.，q2，a61，a1a11a2a101.a1a2a111.当n取12时，a1a2a1227a1a2a11a12a1226成立；当n取13时，a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a132627213.当n13时，随着n增大a1a2an将恒小于a1a2an.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0.故ab.(2)解：因为ab(cos cos ，s
14、in sin )(0,1)，所以由此得cos cos()由0，得0，又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而，所以，.16证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.17解：(1)
15、由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.18解：(1)在ABC中，因为cos
16、 A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BC500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为
17、v m/min，由题意得，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内19证明：由题设，.(1)由c0，得.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b1b4，即，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有c(d1b1)令A，Bb1d1a，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)
18、在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即0，b1d1a0，cd10.若d10，则由0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又因为cd10，所以c0.20解：(1)令f(x)0，考虑到f(x)的定义域为(0，)，故a0，进而解得xa1，即f(x)在(a1，)上是单调减函数同理，f(x)在(0，a1)上是单调增函数由于f(x)在(1，)上是单调减函数，故(1，)(a1，)，从而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a当xln a时，g(x)0；当xln a时，g(x)
19、0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a1，即ae.综上，有a(e，)(2)当a0时，g(x)必为单调增函数；当a0时，令g(x)exa0，解得aex，即xln a.因为g(x)在(1，)上是单调增函数，类似(1)有ln a1，即0ae1.结合上述两种情况，有ae1.当a0时，由f(1)0以及f(x)0，得f(x)存在唯一的零点；当a0时，由于f(ea)aaeaa(1ea)0，f(1)a0，且函数f(x)在ea,1上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点另外，当x0时，f(x)a0，故f(x)在(0，)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点当0ae1时，令f(x)a0，解
20、得xa1.当0xa1时，f(x)0，当xa1时，f(x)0，所以，xa1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a1)ln a1.当ln a10，即ae1时，f(x)有一个零点xe.当ln a10，即0ae1时，f(x)有两个零点实际上，对于0ae1，由于f(e1)1ae10，f(a1)0，且函数f(x)在e1，a1上的图象不间断，所以f(x)在(e1，a1)上存在零点另外，当x(0，a1)时，f(x)a0，故f(x)在(0，a1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a1)上只有一个零点下面考虑f(x)在(a1，)上的情况先证f(ea1)a(a2ea1)0.为此，我们要证明：当xe时，exx2.设
21、h(x)exx2，则h(x)ex2x，再设l(x)h(x)ex2x，则l(x)ex2.当x1时，l(x)ex2e20，所以l(x)h(x)在(1，)上是单调增函数故当x2时，h(x)ex2xh(2)e240，从而h(x)在(2，)上是单调增函数，进而当xe时，h(x)exx2h(e)eee20.即当xe时，exx2.当0ae1，即a1e时，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)0，又f(a1)0，且函数f(x)在a1，ea1上的图象不间断，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零点又当xa1时，f(x)a0，故f(x)在(a1，)上是单调减函数，所以f(x)在(a1，)上只有一个零点综合，当a
22、0或ae1时，f(x)的零点个数为1，当 0ae1时，f(x)的零点个数为2.数学(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.B选修42：矩阵与变换解：设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.C解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通
23、方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.D证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(
24、0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.23解：(1)由数列an的定义得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a11
25、5，所以S11，S21，S33，S40，S53，S66，S72，S82，S96，S1010，S115，从而S1a1，S40a4，S5a5，S62a6，S11a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i1)i(2i1)(iN*)事实上，当i1时，Si(2i1)S33，i(2i1)3，故原等式成立；假设im时成立，即Sm(2m1)m(2m1)，则im1时，S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)
26、(i1)由上可知Si(2i1)是2i1的倍数，而ai(2i1)j2i1(j1,2，2i1)，所以Si(2i1)jSi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1,2，2i1)的倍数又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数，而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1,2，2i2)，所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1,2，2i2)的倍数，故当li(2i1)时，集合Pl中元素的个数为13(2i1)i2，于是，当li(2i1)j(1j2i1)时，集合Pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47，故集合P2 000中元素的个数为312471 008.专心-专注-专业