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1、第36课 锐角三角函数和解直角三角形 1锐角三角函数的意义，锐角三角函数的意义，RtABC中，设中，设C90，为为 RtABC的一个锐角，则：的一个锐角，则：的正弦的正弦 sin .的余弦的余弦 cos .的正切的正切 tan .要点梳理要点梳理230、45、60的三角函数值，如下表：的三角函数值，如下表：正弦正弦余弦余弦正切正切30456013同角三角函数之间的关系：同角三角函数之间的关系：sin2cos2 ；tan .互余两角的三角函数关系式：互余两角的三角函数关系式：(为锐角为锐角)sin ；cos .函数的增减性：函数的增减性：(090)(1)sin，tan的值都随的值都随 ；(2)c
2、os都随都随 1cossin增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小4解直角三角形的概念、方法及应用解直角三角形的概念、方法及应用 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形有未知元素的过程叫做解直角三角形 直角三角形中的边角关系：在直角三角形中的边角关系：在RtABC中，中，C90，A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c则：则：(1)边与边的关系：边与边的关系：；(2)角与角的关系：角与角的关系：；(3)边与角的关系：边与角的关系：.5三角形面积公式：三角形面积公式：S ah .a2b
3、2c2AB90sinAcosB ，cosAsinB ；tanA ，tanBabsinC1 1正确理解三角函数的概念正确理解三角函数的概念 书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐；若锐角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略角的符号，如角的符号，如sinABC，余弦和正切的写法同理由定义可以看，余弦和正切的写法同理由定义可以看出，锐角出，锐角A的正弦
4、、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的比，的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的比，因此都是正数；因为锐角因此都是正数；因为锐角A的取值范围是的取值范围是0A90，则三角函数，则三角函数的取值范围是的取值范围是0sin A1,0cos A0；当；当A确定时，三确定时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应个比值也分别有唯一确定的值与之对应 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2解直角三角形在实际问题中的应用解直角三角形在实际问题中的应用 解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以
5、下几个方面：度量航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等解这类问题的一般步骤是：工作、工程建筑、测量距离等解这类问题的一般步骤是：(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；建立数学模型；(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；把它们分割成直角三角形；(3)寻求基础直角三角形，并解这个
6、三角形或设未知数进行求寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解解1(2011烟台烟台)如果如果ABC中，中，sin Acos B ，则下列，则下列最确切的结论是最确切的结论是()AABC是直角三角形是直角三角形 BABC是等腰三角形是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 DABC是锐角三角形是锐角三角形 解析：当解析：当sinA ，cosB 时，时，AB45，所以所以ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形基础自测基础自测C2(2011湖州湖州)如图，已知在如图，已知在RtABC中，中，C90，BC1，AC2，则，则tan A的值为的值为()A2 B.C.D.解析：在
7、解析：在RtABC中，中，C90，tanA .B3(2011茂名茂名)如图，已知如图，已知45Acos A Csin Atan A Dsin Acos A 解析：当解析：当45AB，BCAC，在在RtABC中，中，sinA ，cosA ，sinAcosA.B4(20011镇江镇江)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，CDAB，垂足为，垂足为D.若若AC ，BC2，则，则sinACD的值为的值为()A.B.C.D.解析：在解析：在RtABC中，中，ACB90，AC ，BC2，则，则AB3.由由CDAB，得，得ACDB，所以所以sinACDsinB .A5(2011苏州苏州)如图，在四边
8、形如图，在四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AB、AD的中点若的中点若EF2，BC5，CD3，则，则tan C等于等于()A.B.C.D.解析：连接解析：连接BD，因为，因为E、F分别是分别是AB、AD的中点，所以的中点，所以EF是是ABD的中位线，的中位线，BD2EF224.在在BCD中，中，BD4，BC5，CD3.由由BD2CD2BC2，得，得BDC90，所以所以tanC .B题型一特殊角三角函数参与实数运算题型一特殊角三角函数参与实数运算【例例 1】计算计算tan45sin454sin30cos45 tan30.解：原式解：原式1 4 .探究提高探究提高 利用特殊角的三角函数值进行
9、数的运算，往往与绝对值、乘方、利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合准确地记住三角函数值是解决此类题目开方、二次根式相结合准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记的关键，所以必须熟记题型分类题型分类 深度剖析深度剖析知能迁移知能迁移1计算：计算：(1)tan45的值是的值是_；解析：解析：tan45 1110.0(2)2sin60_；解析：解析：2sin602 .(3)_.解析：解析：|tan301|1tan301 .1题型二仰角、俯角、方向角有关问题题型二仰角、俯角、方向角有关问题【例例 2】已知：如图，在某建筑物已知：如图，在某建筑物AC
10、上，挂着上，挂着“多彩云南多彩云南”的宣的宣传条幅传条幅BC，小明站在点，小明站在点F处，看条幅顶端处，看条幅顶端B，测得仰角为，测得仰角为30，再往条幅方向前行再往条幅方向前行20m到达点到达点E处，看到条幅顶端处，看到条幅顶端B，测得仰角，测得仰角为为60，求宣传条幅，求宣传条幅BC的长的长(小明的身高不计，结果用含有根小明的身高不计，结果用含有根号的式子表示号的式子表示)解：设解：设BCx，在，在RtBCF中，中，tanF ，CF x.在在RtBCE中，中，tanBEC ，EC x.FEFCEC，x x20.x20，x10 .答：宣传条幅答：宣传条幅BC的长是的长是10 m.探究提高探究
11、提高 此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，变形求得物体高度变形求得物体高度知能迁移知能迁移2(2011潜江潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌一只小鸟从五月石榴红，枝头鸟儿歌一只小鸟从石榴树上的石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处从处从A处看房处看房屋顶部屋顶部C处的仰角为处的仰角为30，看房屋底部，看房屋底部D处的俯角为处的俯角为45，石榴树，石榴树与该房屋之间的水平距离为与该房屋之
12、间的水平距离为3 m，求出小鸟飞行的距离，求出小鸟飞行的距离AC和和房屋的高度房屋的高度CD.解：作解：作AECD于点于点E.由题意可知：由题意可知：CAE30，EAD45，AE3 m.在在RtACE中，中，tanCAE ，即，即tan 30 .CE3 tan 303 3m，AC2CE236(m).在在RtAED中，中，ADE90EAD904545，DEAE3 (m)DCCEDE(33 )m.答：答：AC6m，DC(33 )m.题型三解直角三角形的简单应用题型三解直角三角形的简单应用【例例 3】(2010赤峰赤峰)关于三角函数有如下的公式：关于三角函数有如下的公式：sin()sincoscos
13、sin cos()sincossinsin tan()(1tantan0)利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的 三角函数来求值，如三角函数来求值，如tan105tan(4560)(2 )根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物如图，直升飞机在一建筑物CD上方上方A点处测得建筑物顶端点处测得建筑物顶端D点的俯点的俯角角为为60，底端，底端C点的俯角点的俯角为为75，此时直升飞机与建筑物，此时直升飞机与建筑物CD的的水平距离水平距离
14、BC为为42m，求建筑物，求建筑物CD的高的高解：过点解：过点D作作DEAB于于E，在在RtADE中，中，ADEa60，AEEDtan60BCtan6042 .在在RtACB中，中，ACB75，ABBCtan75，tan75tan(4530)2 ，AB42(2 )8442 ，CDBEABAE8442 42 84.答：建筑物答：建筑物CD的高为的高为84m.探究提高探究提高 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的
15、有关知识解决问题直角三角形的有关知识解决问题知能迁移知能迁移3(2011安顺安顺)一次数学活动课上，老师带领学生去测一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到处观测到河对岸水边有一点河对岸水边有一点C，测得，测得C在在A北偏西北偏西31的方向上，沿河岸向的方向上，沿河岸向北前行北前行40m到达到达B处，测得处，测得C在在B北偏西北偏西45的方向上，请你根据的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度以上数据，求这条河的宽度(参考数值：参考数值：tan 31 )解：如图，过点解：如图，过点C作作CDAB于
16、于D，由题意由题意DAC31，DBC45，设设CDBDx，则则ADABBD40 x，在在RtACD中，中，tanDAC ，则，则 ，解得解得x60.答：这条河的宽是答：这条河的宽是60m.题型四解直角三角形在实际中的应用题型四解直角三角形在实际中的应用【例例 4】(2010杭州杭州)如图，台风中心位于点如图，台风中心位于点P，并沿东北方向，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为移动，已知台风移动的速度为30千米千米/时，受影响区域的半径时，受影响区域的半径为为200千米，千米，B市位于点市位于点P的北偏东的北偏东75方向上，距离方向上，距离P点点320千米千米处处 (1)说明本次台风会影响
17、说明本次台风会影响B市；市；(2)求这次台风影响求这次台风影响B市的时间市的时间 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：解：(1)作作BHPQ于点于点H，在，在RtBHP中，由条件知，中，由条件知，PB320，BPQ754530，得得BH320sin30160200，本次台风会影响本次台风会影响B市市 44分分 (2)如图，若台风中心移动到如图，若台风中心移动到P1时，台风时，台风 开始影响开始影响B市，台风中心移动到市，台风中心移动到P2时，时，台风影响结束台风影响结束 由由(1)得得BH160，由条件得，由条件得BP1BP2200，P1P22 24
18、0，88分分 台风影响的时间台风影响的时间t 8(小时小时)1010分分 探究提高探究提高 此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系求影响危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系求影响情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另过的路程，其中最靠近台风方向的
19、一点表示台风开始影响，另一点表示台风结束影响一点表示台风结束影响知能迁移知能迁移4(2010乌鲁木齐乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形，如图某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面所示，其中天桥斜面CD的坡度为的坡度为i1 ，(i1 是指铅直是指铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比的比)，CD的长为的长为10m，天桥另一斜面，天桥另一斜面AB坡角坡角ABG45.(1)写出过街天桥斜面写出过街天桥斜面AB的坡度；的坡度；(2)求求DE的长；的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将斜面的坡度变缓，将其其45坡角改为坡角改为30，
20、方便过路群众，改建后斜面为，方便过路群众，改建后斜面为AF.试计算此试计算此改建需占路面的宽度改建需占路面的宽度FB的长的长(结果精确结果精确0.01)解：解：(1)在在RtAGB中，中，ABG45，AGBG，AB的坡度的坡度 1.(2)在在RtDEC中，中，tanC ，C30.又又CD10，DE CD5.(3)由由(1)知，知，AGBG5，在，在RtAFG中，中，AFG30，tanAFG ，即，即 ，解得解得FB5 53.66.答：改建后需占路面宽度约为答：改建后需占路面宽度约为3.66 m.2424添加辅助线，把分散条件集中起来添加辅助线，把分散条件集中起来试题试题如图，如图，AD是是BC
21、边上的高，边上的高，AD DC BD1 2 3，求求BAC的度数的度数学生答案展示学生答案展示 不能添加辅助线来考虑，从而无法下手不能添加辅助线来考虑，从而无法下手剖析剖析 如图，延长如图，延长BA，过，过C画画CEAB，只要求，只要求BAC的外角即可的外角即可易错警示易错警示正解过正解过C作作CEBA，交，交BA的延长线于点的延长线于点E.设设ADm，则，则DC2m，BD3m，AC m，AB m.BB，ADBCEB90，BECBDA.m.CE m.在在RtAEC中，中，sinEAC ，EAC45，BAC135.批阅笔记批阅笔记 如果题目中的条件比较分散，所给的图形不够完整，我们如果题目中的条
22、件比较分散，所给的图形不够完整，我们可以通过作垂线，作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形可以通过作垂线，作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形的问题转化为解直角三角形的数学模型的问题转化为解直角三角形的数学模型(化斜为直的思想化斜为直的思想)，把分散的条件集中起来，构造直角三角形、相似三角形，以把分散的条件集中起来，构造直角三角形、相似三角形，以达到解题目的达到解题目的方法与技巧方法与技巧 1.准确理解三角函数概念，熟练运用正弦、余弦、正切的定准确理解三角函数概念，熟练运用正弦、余弦、正切的定义义 2.形成解直角三角形思考过程的程序：在不同的条件下，应形成解直角三角形思考过程的程序：在不同的条件
23、下，应有不同的考虑；无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应有不同的考虑；无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知的数值，少用在前面的求解中刚刚算出的数值，尽量代入已知的数值，少用在前面的求解中刚刚算出的数值，以减少以错传误的机会以减少以错传误的机会 3.解直角三角形应用题的思考方法：解直角三角形应用题的思考方法：(1)寻求各类应用题的共同思考步骤：寻求各类应用题的共同思考步骤：审题，把情景尽可能弄通、弄细致，甚至画个示意图；审题，把情景尽可能弄通、弄细致，甚至画个示意图；把示意图转化为几何图；把示意图转化为几何图；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 从要求的量所在的直角三角形分析
24、，解之，若条件不足，从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回已知条件挂上钩，然后层层返回 (2)积累各种类型应用题的特殊思考步骤，如：测高问题，测积累各种类型应用题的特殊思考步骤，如：测高问题，测不可到达的两点间距离问题，航海有关问题等不可到达的两点间距离问题，航海有关问题等失误与防范失误与防范 1在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转
25、化为求在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值求锐角三角函数值)转化为旧知转化为旧知识识(求直角三角形的边长求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理若原，因此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直直角边还是斜边角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即的位置和类型，即A的对边为的对边为BC，B的对边为的对边为AC，C的对边的对边为为AB.2在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况要周到，不可遗漏某一种情况完成考点跟踪训练 36