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1、栏目索引第第1818讲讲 直角三角形与三角函数直角三角形与三角函数栏目索引总纲目录泰安考情分析泰安考情分析基础知识过关基础知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂巩固练习随堂巩固练习栏目索引泰安考情分析泰安考情分析栏目索引基础知识过关基础知识过关知识点一知识点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角形知识点四知识点四 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用栏目索引基础知识过关知识点一知识点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定1.1.直角三角形的性质直角三角形的性质(1)直角三
2、角形的两个锐角 互余 .(2)在直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的 一半 .(3)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方 .(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .栏目索引基础知识过关2.2.直角三角形的判定直角三角形的判定(1)有两个锐角 互余 的三角形是直角三角形.(2)如果三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,且满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.温馨提示温馨提示 (1)勾股定理阐述的是直角三角形中三边之间的数量关系,即在直角三角形中,已知两边长度能够运用勾股定理求第三边的长度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判断一个三角形是不是直角
3、三角形;证明两条线段垂直.栏目索引基础知识过关知识点二知识点二 锐角三角函数锐角三角函数1.锐角三角函数的定义如图,在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c,则A的正弦sin A= ,A的余弦cosA= = ,A的正切tan A= = .A 的对边斜边acA 的邻边斜边bcAA的对边的邻边ab栏目索引基础知识过关温馨提示温馨提示 (1)sin A、cos A、tan A表示的是一个整体,是指两条线段的比,没有单位.(2)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关,与该角所处的直角三角形的大小无关.栏目索引基础知识过关2.2.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值三角函数 304560s
4、in cos tan 1122232322212333栏目索引基础知识过关温馨提示温馨提示 30、45、60角的正弦值的分母都是2,分子分别是1、 、 ,由此可知,随着角的度数的增大,正弦值逐渐增大;同理可得,随着角的度数的增大,余弦值逐渐减小.3.三角函数之间的关系(1)同角三角函数之间的关系:sin2+cos2=1,tan = .(2)互余两角的三角函数之间的关系:若A +B=90,则sin A =cosB,sin B=cos A.sincos23栏目索引基础知识过关知识点三知识点三 解直角三角形解直角三角形1.1.解直角三角形的定义解直角三角形的定义: :由直角三角形中除直角外的已知元素
5、,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.栏目索引基础知识过关2.2.直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两个锐角之间的关系:A+B= 90 ;(3)边角之间的关系:sin A= ,cos A= ,tan A= ,sin B= ,cos B= ,tan B= .温馨提示温馨提示 解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)、无斜用切(正切)、宁乘勿除、取原避中”.acbcabbcacba栏目索引基础知识过关知识点四知识点四 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用1
6、.1.解直角三角形应用中常见的术语解直角三角形应用中常见的术语栏目索引基础知识过关仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方所形成的角叫仰角,视线在水平线下方所形成的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线所成的锐角叫坡角,i=tan =方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向,其与旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)通常表达成北(南)偏东(西)度,如图,A点位于O点的北偏东30方向,B点位于O点的南偏东60方向,C点位于O点的北偏西45方向(或西北方向)hl栏目索引基础知识过关2.2.解直角三角
7、形在实际问题中应用的一般步骤解直角三角形在实际问题中应用的一般步骤(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数解直角三角形.栏目索引泰安考点聚焦泰安考点聚焦考点一考点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数考点三考点三 解直角三角形解直角三角形栏目索引泰安考点聚焦考点一考点一 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定例例1 1如图,在直角O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处,那么滑动杆
8、的中点C所经过的路径是( B )A.直线的一部分 B.圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分栏目索引泰安考点聚焦解析解析连接OC、OC,如图,AOB=90,C为AB中点,OC=AB=AB=OC,当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.故选B.1212栏目索引泰安考点聚焦考点二考点二 锐角三角函数锐角三角函数例例2 2如图,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos A的值是( D )A. B. C. D. 34433545栏目索引泰安考点聚焦解析解析根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可,AB=5,BC=3,AC=4
9、,cos A= = .故选D.ACAB45栏目索引泰安考点聚焦变式变式2-12-1在ABC 中,若角A,B满足 +(1-tan B)2= 0,则C 的大小是 ( D )A.45B.60 C.75D.1053cos2A栏目索引泰安考点聚焦解析解析由题意得,cos A=,tan B=1,则A=30,B=45,则C=180-30-45=105.故选D.32栏目索引泰安考点聚焦考点三考点三 解直角三角形解直角三角形例例3 3 (2016泰安)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46方向上,若该船继续向南航行至离
10、灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 680.927 2,sin 460.719 3,sin 220.374 6,sin 440.694 7) ( B )A.22.48海里 B.41.68海里C.43.16海里 D.55.63海里栏目索引泰安考点聚焦解析解析过点P作PGMN于G.依题意可知MN=60海里,PMN=22,PNG=44.MPN=PMN,NP=MN=60海里.在RtPNG中,sinPNG= ,PG=PNsinPNG=PNsin 44600.694 741.68(海里).此时轮船离灯塔的距离约为41.68海里,故选B.PGPN栏目索引泰安考点聚焦变式变式3-
11、13-1如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上,则C处与灯塔A的距离是 ( D )A.20海里 B.40海里C.海里 D.海里20 3340 33栏目索引泰安考点聚焦解析解析如图,作AMBC于M.由题意得,DBC=20,DBA=50,BC=60=40海里,NCA=10,则ABC=DBA-DBC=50-20=30.BDCN,BCN=DBC=20,ACB=ACN+BCN=10+20=30,ACB=ABC=30,AB=AC,4060栏目索引泰安考点聚焦AMBC于M,CM=BC
12、=20海里.在RtACM中,AMC=90,ACM=30,AC= = (海里).故选D.12cosCMACM203240 33栏目索引泰安考点聚焦温馨提示温馨提示 根据例题和变式训练可以发现,一般解直角三角形类题目的处理,可以看做是“割补”思想的拓展,即把原图形通过“割补”,处理成有“公共边”的两个直角三角形,具体题目中,再根据公共边的“已知”或“未知”决定进行直接运算或者设未知数x.栏目索引随堂巩固训练一、选择题一、选择题1.(2017浙江温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos = ,则小车上升的高度是 ( A )A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米1213随堂
13、巩固训练栏目索引随堂巩固训练2.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,DE=1,则BC= ( C )A. B.2 C.3 D. +233栏目索引随堂巩固训练3.(2018泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为 ( C )A.3 B.4 C.6 D.8栏目索引随堂巩固训练二、填空题二、填空题4.(2018泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则si
14、nABE的值为 .1010栏目索引随堂巩固训练解析解析由折叠知AB=AB=6,在RtABC中,根据勾股定理得AC=8,设AE=x,则AE=x,在RtDEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8+x)2,解得x=2,即AE的长为2.在RtAEB中,求得sinABE= .1010栏目索引随堂巩固训练5.(2018滨州)在ABC中,C=90,若tan A=,则sin B= .解析解析如图所示:C=90,tan A= ,设BC=x,则AC=2x,故AB= x,则sin B= = = .122 55125ACAB25xx2 55栏目索引随堂巩固训练三、解答题三、解答题6.(2018德州
15、)如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m.从C点测得A点的仰角 为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度. 参考数据:sin 37 ,cos 37 ,tan 37 ,sin 534,cos 53 ,tan 35 3545343543栏目索引随堂巩固训练栏目索引随堂巩固训练解析解析过点D作DEAB于点E,则DE=BC=60 m,在RtABC中,tan 53=,= ,AB=80 m.在RtADE中,tan 37= ,= ,AE=45 m,BE=CD=AB-AE=35 m.答:两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.ABBC60AB43AEDE60AE 34现代人每天生活在纷繁、复
16、杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是-生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务.生活
17、简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦.生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给
18、你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵.生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我
19、们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得
20、太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自
21、己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，
22、阳春白雪，触目横斜千万朵，赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，不负今生曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不
23、悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也;“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。1987年，她14岁，在湖南益阳的一个小镇卖茶，1毛钱一杯。因为她的茶杯比别人大一号，所以卖得最快，那时，她总是快乐地忙碌着。她17岁，她把卖茶的摊点搬到了益阳市，并且改卖当地特有的“擂茶”。擂茶制作比较麻烦，但能卖个好价钱，她也总是忙忙碌碌。她20岁，仍在卖茶，不过卖茶的地点又变了，在省城长沙，店面也由摊点变成了小店。客人进门后，必能品尝到热乎乎的香茶，在尽情享用后，他们或多或少会掏钱再带上一两袋茶叶。199
24、7年，她24岁，长达十年的光阴，她始终在茶叶与茶水间滚打。这时，她已经拥有37家茶庄，遍布于长沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商们一提起她的名字莫不竖起大拇指。她的最大梦想实现了。“在慢慢习惯于喝咖啡的潮流下，也有洋溢着茶叶清香的茶庄出现，那就是我开的”说这句话时她已经把茶庄开到了故事虽短，内涵颇深，一件事，只有始终坚韧不拔地去做，无谓任何艰难险阻，不左右摇摆，不顾左右而言它，才能披荆斩棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起来。事实上，我们在做一件事的时候，总是不自觉地放大困难，使得我们产生畏惧之心，没有了乘风破浪的豪情与气魄。困难并不可怕，可怕的是我们没有直面困难的勇气。面对着被自己放大了的困难，我们需要有的就是坚持的精神，或许只是一瞬间的坚持我们就挖掘了自身潜能，造就了一个全新的自己。有时做一件事就像是跑400米，当你已经跑过300米，面对着那已出现在眼前的终点线时，你实际上并不需要多想，要做的就是再加把劲，冲过去，得到真正属于自己的成绩。坚持是一种信念，让你有不怕困难、奋勇向前的勇气;让你有乘风破浪、直击沧海的豪情;让你有不达目的誓不罢休的毅力。所以我们既然选择了，就一定要走下去，不要在有限的时间里，蹉跎无限的光阴。只有如此，到暮年之时，细细回想起来，才不会有年华虚度、韶华易逝的感慨。