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1、第二章第二章 矩阵习题课矩阵习题课一一.主要内容主要内容二二.典型例题典型例题三三.测验题测验题1一一.主要内容主要内容1.矩阵的定义矩阵的定义简记为简记为实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数2一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等:同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应
2、元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足3数乘满足数乘满足数与数与矩阵相乘：矩阵相乘：数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：设设规定规定其中其中4乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律5 A是是n 阶方阵，阶方阵，方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足:6转置矩阵转置矩阵:一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵:把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置
3、矩阵，记作的转置矩阵，记作 .满足：满足：对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：幂等矩阵：幂等矩阵：为为n阶方阵，且阶方阵，且7伴随矩阵：伴随矩阵：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵83.逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可
4、逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且9满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）待定系数法）待定系数法（2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3）初等变换法）初等变换法分分块块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵105.5.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初初等等变变换换 逆逆变变换换三种三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换11矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵：由
5、单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。127.初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩
6、阵定理：定理：138.用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1：推论推论2：如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等行变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时，就变成就变成 。14即，即，159.解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法或者或者161.矩阵的基本运算矩阵的基本运算2.方阵的幂方阵的幂3.逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求
7、解、证明4.矩阵方程矩阵方程5.矩阵的分块运算矩阵的分块运算二二.典型例题典型例题1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算例例1：设矩阵：设矩阵求与求与A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为解：设所求矩阵为由由得得其中其中a，b为实数为实数17例例2：设：设求求的行列式。的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：解：18例例3：设：设 4 阶方阵阶方阵其中其中 均为均为 4 维列向量，且已知行列式维列向量，且已知行列式求行列式求行列式分析：根据矩阵
8、加法定义及行列式性质求分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：解：192.方阵的幂方阵的幂例例4：设：设求求解解：（递推法）（递推法）所以，当所以，当 时时当当 时时20例例5：已知：已知求求 与与解：解：21又又223.逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明例例6:求求A的逆矩阵的逆矩阵解：解：23注意注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换244.矩阵方程矩阵方程例
9、例7:解矩阵方程解矩阵方程其中其中 均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵方程解解25例例8:8:解：解：（用初等变换法）（用初等变换法）例例9：书：书p68 2.14265.矩阵的分块运算矩阵的分块运算例例1010：(书书p70 2.21)p70 2.21)设设n阶矩阵阶矩阵A及及s阶矩阵阶矩阵B都可逆，求都可逆，求解：设所求逆矩阵为解：设所求逆矩阵为则则27例例11:11:28解解:（）根据分块矩阵的乘法，得）根据分块矩阵的乘法，得（）由（）可得）由（）可得29